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浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 尖子生测试卷
（答案解析）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．将二次函数y＝（x﹣3）（x+2）的图象向左平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（ ）
A．y＝x（x+5） B．y＝（x+3）（x﹣2）
C．y＝x（x﹣1） D．y＝（x﹣3）（x﹣5）
【答案】A
【解析】将二次函数y＝（x﹣3）（x+2）的图象向左平移3个单位长度，平移后的函数表达式为y＝（x﹣3+3）（x+2+3）= x（x+5）；
故答案为：A．
2．向空中发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为 （ ），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】B
【解析】∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是： ，
∴炮弹所在高度最高时： 时间是第10秒．
故答案为：B．
3．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5， ）
C．（4， ） D．（5，3）
【答案】B
【解析】连接PC、PO、PA，
设点P坐标（m，﹣ ）
令x=0，则y= ，点C坐标（0， ），
令y=0则﹣ x2+ x+ =0，解得x=﹣2或10，
∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0），
∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC= × ×m+ ×10×（﹣ ）﹣ × ×10=﹣ （m﹣5）2+ ，
∴x=5时，△PAC面积最大值为 ，
此时点P坐标（5， ）．
故点P坐标为（5， ）．
4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝－1，给出下列结果
①＞4ac，②abc＞0，③2a＋b＝0，④a＋b＋c＞0，⑤a－b＋c＜0，则正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
【答案】D
【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac＞，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x=﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②错误；
又∵对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴2a﹣b=0，所以③错误；
∵根据图像知，当x=1时，y>0，
∴a＋b＋c＞0，所以④正确；
∵根据图像知，当x=－1时，y<0，
∴a－b＋c＜0，所以⑤正确．
故选D
5．已知当 时，二次函数 的值恒大于1，则k的取值范围是（ ）
A．k≥ B．－ ≤k≤－
C．－ ＜k＜0 D．－ ≤k＜0
【答案】A
【解析】二次函数 的图象是一条开口向上的抛物线，
（1）当抛物线的对称轴 时，
要使二次函数解析式的值 时恒大于1，
只要 ， ，
解得： ，
∴ ；
（2）当抛物线的对称轴 时，
要使二次函数解析式的值 时恒大于1，
∵抛物线 过定点(0，3)，
∴只要 即可；
（2）当抛物线的对称轴 在区间 时，
∵ ，即 ，
此时，要使二次函数解析式的值 时恒大于1，
只要 即可，
解得： ，
∴ ，
综上所述：k的取值范围是： ，
故答案为：A.
6．已知函数 （a为常数），当 时，y随x增大而增大. 是该函数图象上的两点，对任意的 和 ， 总满足 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的对称轴为 ，
当 时，y随x增大而增大.
∵ ，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴ ，
解得 ，
对任意的 和 ， 总满足 ，
∵ ，
∴ 差的最大值是 上的最大值与最小值的差，
把抛物线配方得： ，
在 区间内，
抛物线的最小值为y2= ，
抛物线的最大值为，x=5时，y1= ，
∵ 总满足 ，
∴ - ，
解得 ，
∴实数a的取值范围是 ，
故答案为：B.
7．把二次函数的图象作关于x轴的对称变换 ，所得图象的解析式为，若，则m的最大值为（ ）
A．-4 B．0 C．2 D．6
【答案】D
【解析】由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为
则与相同
由对称轴得：，解得
当时，由函数得；由函数得
则，即
将，代入得：
整理得：
解得
则m的最大值为6
故答案为：D．
8．已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．
∴函数有最小值，抛物线开口向上，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴，
解得，
故答案为：B．
9．若二次函数 的图象与 轴的交点坐标分别是 、 ，且 ，图象上有一点 在 轴下方，对于以下说法：① ；② 是方程 的解；③ ；④ ，对于以上说法正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．③④ D．①③
【答案】B
【解析】∵二次函数 的图象与 轴的交点坐标分别是 、 ，
∴ 有两个不相等的根
∴ ，故①正确；
∵图象上有一点 在 轴下方，
∴ ，故④正确，
又∵图象上有一点 在 轴下方，
∴ 时， ，
∴ 是方程 的解，故②正确，
当 时，图象上有一点 在 轴下方，
∴
当 时，图象上有一点 在 轴下方，
∴ 或 ，故③错误
故答案为：B.
10．新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，
∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，
当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，
∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，
综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，
故答案为：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知点M（1，4）在抛物线y=ax2﹣4ax+1上，如果点N和点M关于该抛物线的对称轴对称，那么点N的坐标是 ．
【答案】（3，4）
【解析】∵抛物线y=ax2﹣4ax+1对称轴为x=﹣=2，
∴点M（1，4）关于该抛物线的对称轴对称点N的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
12．若二次函数y=ax2+8x+(a-3)的图象最高点的纵坐标为3，则a的值是 ．
【答案】-2
【解析】依题可得：a＜0，
∴，
解得：a=-2或a=8（舍去），
∴a=-2.
故答案为：-2.
13．已知关于x的二次函数y=-4x+m，在-1≤ x≤3 的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值为
【答案】-2
【解析】∵y=x2-4x+m=（x-2）2+m-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，最小值为m-4，
∵抛物线在-1≤ x≤3 的取值范围内最大值为7，
∴1+4+m=7，
∴m=2，
∴抛物线的最小值为m-4=-2.
14．已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
【答案】8
【解析】 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8.
故答案为：8.
15．“若抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不等实根。”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若d、e(d＜e)是关于x的方程1＋(x﹣f)(x﹣g)=0的两根，且f＜g，则d、e、f、g的大小关系是 ．
【答案】f【解析】依题意，画出函数y=(x﹣f)(x﹣g)的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为f，g（f＜g）．
方程1＋(x﹣f)(x﹣g)=0
转化为(x﹣f)(x﹣g)=-1，
方程的两根是抛物线y=(x﹣f)(x﹣g)与直线y=-1的两个交点．
由d＜e，可知对称轴左侧交点横坐标为d，右侧为e．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有f＜d；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有e＜g．
综上所述，可知f故答案为：f16．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 ， 为同一抛物线的一部分， ， 都与水平地面平行，当杯子装满水后 ， ，液体高度 ，将杯子绕 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面 到点 所在水平地面的距离是 ．
图1 图2
【答案】；
【解析】如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，
根据题意知：A（-2，-12），B（2，12），C（4，0），D（-4，0），M（2，0），BM=12，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2+16，
∵∠ABE=45°，∠ABM=90°，
∴∠FBM=45°，
∵∠BMF=90°，
∴∠BFM=∠FBM=45°，
∴FM=BM=12，
∴BF=12，
∵M（2，0），
∴F（-10，0），
设BF的解析式为y=kx+b1，
∴，
∴，
∴BF的解析式为y=x+10，
联立方程组，
解得，，
∴E（-3，7），
∵B（2，12），C（4，0），
∴BE=，CE=，
∴EF=BF-BE=12-5=7，
∵C（4，0），F（-10，0），
∴CF=14，
∵（7）2+（7）2=142，
∴EF2+CE2=CF2，
∴∠FEC=90°，
∴点C到BE的距离为CE=7.
故答案为5；7.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【答案】（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点
（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，
把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点
【解析】（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
18．如图：已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A（3，0），B（4，4）两点.
（1）求抛物线解析式.
（2）将直线OB向下平移m个单位后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m值及交点D的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式是y＝x2 3x
（2）解：设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B（4，4），
得：4＝4k1，解得：k1＝1
∴直线OB的解析式为y＝x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x m，
∵点D在抛物线y＝x2 3x上，
∴可设D（x，x2 3x），
又∵点D在直线y＝x m上，
∴x2 3x＝x m，即x2 4x＋m＝0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△＝16 4m＝0，
解得：m＝4，
此时x1＝x2＝2，y＝x2 3x＝ 2，
∴D点的坐标为（2， 2）
19．已知二次函数 ，其中m是常数.
（1）若函数的图象经过点 ，求此函数的解析式；
（2）当 时，y随x的增大而减小，求m的最小值；
（3）当 时，若二次函数图象始终在直线 的上方，请直接写出m的取值范围.
【答案】（1）解：∵函数的图象经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴该函数的表达式为： ；
（2）解：∵二次函数 ，
∴函数图象的对称轴为直线 ，
∵ ，∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴ ，
∴
∴m的最小值为1.
（3）
∵二次函数 ，
∴函数图象的对称轴为直线 ，图象的开口向上，
当 时，此时
此时当 时，函数值取最小值，
＞
＜
所以此时符合条件的m不存在；
当 时，此时
此时当 时，函数值取最小值，
当 ＜ ＜ 即 ＜m＜
此时当 时，函数取最小值，
最小值为：
＞ 即 ＜
令
由二次函数 图象的开口向上，
＜ 的解集为：
＜m＜ ，
所以： ＜m＜ ，
综上：m的取值范围为： .
20．设抛物线 与x轴交于点 和 .
（1）若 ，求 ， 的值；
（2）若 ，求证：抛物线的顶点在直线 上；
（3）抛物线上有两点 和 ,若 ,且 ，试比较 与 的大小.
【答案】（1）解：当a= 1时，
把( 1,0)代入 ，
∴解得m= 1，
∴抛物线的解析式为： ，
令y=0代入 ，
∴x= 1或x=3，
∴b=3，
（2）抛物线的对称轴为：x=1，
把x=1代入 ，
∴y=3 m
∴抛物线的顶点坐标为(1,3 m)，
把x=1代入y=mx+n，
∴y=m+n=m+3 2m=3 m
∴顶点坐标在直线y=mx+n上，
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴P离对称轴较近，
当m>0时，p当m<0时，p>q
21．新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元。两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量 （盒）与售价 （元）之间的关系为 ；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒.
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的 ，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？
【答案】（1）解：设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，
由题意得：，
整理，解得： .
答：甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元.
（2）解：设乙口罩的销售利润为w元，
由题意得：w=（x-30）[100-5（x-40）]=-5x2+450x-9000=-5（x-45）2+1125，
∴当x=45时，乙口罩的销售总利润最大，最大利润为1125元，
y1=400-8x=400-8×45=40，
∴甲口罩的销售利润=（45-20）×40=1000元，
∴两种口罩的销售利润总和=1125+1000=2125元.
答：当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口难的销售利润总和为2125元．
（3）解：由题意得：400-8x≥ [100-5（x-40）]，
整理，解得：x≤36，
∵两种口罩的利润总和w总=（400-8x）（x-20）+（-5x2+450x-9000）=-13x2+1010x-17000，
∵-13＜0，对称轴x= >36，
∴当x=36时，两种口罩的利润总和最高.
答：若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元.
22．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．
（2）解：设直线AB的解析式为：，∵直线AB经过，，∴，∴，∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．当M在N点上方时，．解得，（舍去）．∴．当M在N点下方时， ．解得，．∴，．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）解：解：(3)存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．理由如下：①如图，若AC是四边形的边．
当时，∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴点与点D重合．当时，四边形是矩形．∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．此时直线的解析式为．∵直线与平行且过点，∴直线的解析式为．∵点是直线与拋物线的交点，∴．解得，（舍去）．∴．当时，四边形是矩形．∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．设AC中点E，P3E=1/2AC，（5/2-t）2+（-t2+4t-3/2）2=9/2∵点P不与点A，C重合，∴和．∴．∴．∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．当时，四边形是矩形．∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．综上，满足条件的点Q的坐标为或或或
．
23．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”
（1）①点A(1,3) 的“坐标差”为 .
②抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”为 .
（2）某二次函数y=－x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”为-1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等.
①直接写出m= (用含c的式子表示).
②求此二次函数的表达式.
【答案】（1）2；4
（2）-C；解： 由①可知：点B的坐标为( c,0).将点B( c,0)代入y= x2+bx+c,得：0= c2 bc+c，∴c1=1 b,c2=0(舍去).∵二次函数y= x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为 1，∴y x= x2+(b 1)x+1 b的最大值为 1，∴解得：b=3，∴c=1 b= 2，∴二次函数的解析式为y= x2+3x 2.
【解析】（1）解：① 点A(1,3) 的“坐标差”为 3-1=2，故答案为2；
②设P(x,y)为抛物线y= x2+3x+3上一点，
坐标差= x2+2x+3,= (x 1)2+4，最大值为4，
所以抛物线y= x2+3x+3的“特征值”为4
故答案为4.
（2）①当x=0时,y= x2+bx+c=c，
∴点C的坐标为(0,c).
∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴0 m=c 0，
∴m= c.
故答案为： c.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．
（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．
（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．
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浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．将二次函数y＝（x﹣3）（x+2）的图象向左平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（ ）
A．y＝x（x+5） B．y＝（x+3）（x﹣2）
C．y＝x（x﹣1） D．y＝（x﹣3）（x﹣5）
2．向空中发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为 （ ），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
3．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5， ）
C．（4， ） D．（5，3）
（第3题） （第4题）
4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝－1，给出下列结果
①＞4ac，②abc＞0，③2a＋b＝0，④a＋b＋c＞0，⑤a－b＋c＜0，则正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
5．已知当 时，二次函数 的值恒大于1，则k的取值范围是（ ）
A．k≥ B．－ ≤k≤－
C．－ ＜k＜0 D．－ ≤k＜0
6．已知函数 （a为常数），当 时，y随x增大而增大. 是该函数图象上的两点，对任意的 和 ， 总满足 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．把二次函数的图象作关于x轴的对称变换 ，所得图象的解析式为，若，则m的最大值为（ ）
A．-4 B．0 C．2 D．6
8．已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若二次函数 的图象与 轴的交点坐标分别是 、 ，且 ，图象上有一点 在 轴下方，对于以下说法：① ；② 是方程 的解；③ ；④ ，对于以上说法正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．③④ D．①③
10．新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知点M（1，4）在抛物线y=ax2﹣4ax+1上，如果点N和点M关于该抛物线的对称轴对称，那么点N的坐标是 ．
12．若二次函数y=ax2+8x+(a-3)的图象最高点的纵坐标为3，则a的值是 ．
13．已知关于x的二次函数y=-4x+m，在-1≤ x≤3 的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值为
14．已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
15．“若抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不等实根。”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若d、e(d＜e)是关于x的方程1＋(x﹣f)(x﹣g)=0的两根，且f＜g，则d、e、f、g的大小关系是 ．
16．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 ， 为同一抛物线的一部分， ， 都与水平地面平行，当杯子装满水后 ， ，液体高度 ，将杯子绕 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面 到点 所在水平地面的距离是 ．
图1 图2
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
18．如图：已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A（3，0），B（4，4）两点.
（1）求抛物线解析式.
（2）将直线OB向下平移m个单位后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m值及交点D的坐标.
19．已知二次函数 ，其中m是常数.
（1）若函数的图象经过点 ，求此函数的解析式；
（2）当 时，y随x的增大而减小，求m的最小值；
（3）当 时，若二次函数图象始终在直线 的上方，请直接写出m的取值范围.
20．设抛物线 与x轴交于点 和 .
（1）若 ，求 ， 的值；
（2）若 ，求证：抛物线的顶点在直线 上；
（3）抛物线上有两点 和 ,若 ,且 ，试比较 与 的大小.
21．新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元。两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量 （盒）与售价 （元）之间的关系为 ；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒.
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的 ，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”
（1）①点A(1,3) 的“坐标差”为 .
②抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”为 .
（2）某二次函数y=－x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”为-1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等.
①直接写出m= (用含c的式子表示).
②求此二次函数的表达式.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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