2.4等腰三角形的判定 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
2.4 等腰三角形的判定定理
角平分线
+
平行线
=
等腰三角形
浙教版八上数学
A
B
C
=
D
⌒
△BAD
△CAD,
与
满足SSA,
显然，
△BAD
△CAD,
≌
等腰三角形的价值之一：举反例
SSA不能作为判定定理
在△ABC中，AB=AC,
两边及其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等
温故知新：
1.
等腰三角形的两个底角相等.
1.作顶角的平分线A D.
2.作底边上的中线AD
3.作底边上的高AD.
AB=AC
∵
∠B=∠C
∴
几何语言：
A
B
C
2.等腰三角形性质定理1：
文字语言：
图形语言：
⌒
⌒
证明思路：
借助等腰三角形的轴对称性---------------构造全等三角形
辅助线
性质定理1 的条件与结论互换，如何表达？
D
求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C,求证：AB=AC
方法1：作∠A 的平分线A D.
方法3: 作 BC 边上的中线AD
想一想：1.如何证明两条相等？
议一议： 2.如何构造两个全等的三角形？
方法2: 作BC边上的高AD.
已知： 如图，在△ABC中，求证：∠B= ∠C.
AB=AC.
A
B
C
D
证明：
作∠A的平分线AD，则∠1=∠2
∴ △BAD ≌ △CAD (AAS).
方法一：作角平分线
在△BAD和△CAD中
1
2
.
∴ (全等三角形的对应边相等)
。
A
B
C
作BC边上 的高线AD，则 ∠ADB=∠ADC=900
∴ △BAD ≌ △CAD (AAS).
∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等).
在△BAD和△CAD中
方法二：作BC边上的高线
证明：
已知： 如图，在△ABC中，∠B= ∠C.
求证： AB=AC.
。
D
┒
┏
已知：如图，在ΔABC中，∠B＝∠C．
求证：AB=AC．
D
证明：作ΔABC的中线AD，则BD=CD
　
方法三：作三角形的中线
在ΔABD和ΔACD中,
　　　　　　
.
∴ ΔABD≌ΔACD
(SSA)
∴ AB＝AC　（全等三角形的对应边相等）
∴ ΔABC是等腰三角形
×
（SSA不能判定两个三角形全等）
已知
在一个三角形中，等角对等边
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
在△ABC中，
A
B
C
∵∠B=∠C ( )
∴ AC=AB. ( )
用符号语言表示为：
这又是一个判定两条线段相等根据之一.
简单地说，在同一个三角形中,等角对等边。
等腰三角形的判定定理：
例1 一次数学实践活动的内容是测量河宽.如图,即测量点A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C,在C处测得∠C=30°.量出AC的长,它就是河的宽度(即点 A,B之间的距离).这个方法正确吗 请说明理由.
∵∠DAC=∠B+∠C
（三角形的外角等于与
它不相邻的两个内角的和）
∴ ∠B=∠DAC－∠C
=60°－ 30°= 30°
解：
小聪的测量方法正确，理由如下：
∴ ∠B= ∠C
∴ AB= AC
学以致用：
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B (已知)，
∴ BC=AC (等角对等边).
又∵∠B=∠C(已知)，
∴ AB=AC (等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义).
A
C
B
A
C
B
60°
60°
60°
几何语言：在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C(已知)，
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
2、有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形吗？
不妨设AB=AC.
A
C
B
=
=
顶角
底角1
底角2
则∠B=∠C
当顶角∠A=60 °时，
∠B=∠C=60 °
∴∠A=∠B=∠C=60 °
∴ △ABC是等边三角形
A
C
B
60°
当底角∠B=60时，∠C=60 °
∠A=180°—(60°+60°)=60°
∴ ∠A=∠B=∠C=60 °
∴ △ABC是等边三角形
A
C
B
60°
A
C
B
60°
综上，有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形
定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：
在△ABC中，
∵AB=AC，∠B=60 °(已知).
∴△ABC是等边三角形(有一个角是60 °
的等腰三角形是等边三角形).
A
C
B
60°
名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定
等 腰 三 角 形
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形。
2.等边对等角
3. 三线合一。
4.是轴对称图形.
2.两角相等
1.两边相等。
1.两腰相等.
归纳小结：
3.二线合一
名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定
等 边 三 角 形
A
B
C
三边相等的三角形是等边三角形。
2.三个角都
等于600
3. 三线合一。
4.是轴对称图形.
2. 三个角都相等
1.三边相等。
1.三边相等.
归纳小结：
3. 有一个角是60°的
等腰三角形
1.如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°, 则∠1= ,∠2= ,
图中的等腰三角形有 .
D
B
C
A
1
2
当堂检测：
夯实基础，稳扎稳打
360
72°
36°
∠1=180°-72°-36°
=36°
36°
∠2=36°+36°=72°
36°
72°
△ABD
△BCD
△ABC
2.下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)
都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有____________．(填序号)
①
②
③
④
解:
(两直线平行,同位角相等)
(在同一个三角形中,等角对等边)
∵ DE∥BC
3. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，∠1= ∠2。说明△ABC的等腰三角形的理由.
4.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断△ABD的形状,并说明理由
连续递推，豁然开朗
⌒
A
B
D
C
⌒
1
2
3
⌒
解：
△ABD是等腰三角形，理由如下：
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴△ABD是等腰三角形
（有两个角相等的三角形是等腰三角形）
角平分线
+
平行线
=
等腰三角形
(跟同一个量相等的两个量相等）
几何模型：
5.如果三角形一个角的外的角平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形吗？为什么？
解：
∵AD∥BC
∴AB=AC
∵AD平分
∠EAC,
△ABC是等腰三角形，
理由如下：
A
B
C
D
1
2
E
∴∠1=∠2
∴∠1=∠B, ∠2=∠C
∠B=∠C
(分别跟两个相等的量相等的两个量相等）
几何模型：
角平分线
+
平行线
=
等腰三角形
6.如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，
DE BC，交AB于点E。
判断 BDE是不是等腰三角形，请说明理由。
A
E
D
B
C
1
2
3
解：
△BDE是等腰三角形，
理由如下：
∵AB=BC,
BD⊥AC
∴∠1=∠2
（等腰三角形三线合一）
∵DE∥BC
∴
∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴BE=DE
角平分线
+
平行线
=
等腰三角形
(跟同一个量相等的两个量相等）
∴ △BDE是等腰三角形
7.已知:如图,在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB并交于点O,过点O作 OD∥AB, OE∥AC,BC=16,
求: △ODE的周长
思路：
角平分线+平行线
OB=OD OE=EC
C△ODE =OD+DE+OE
=OB+DE+EC
=BC=16
等腰三角形
8.在△ABC中，∠A=50°，当∠B的度数= 时， △ABC是等腰三角形．
①∠A是顶角，∠B=（180°-∠A）÷2=65°；
②∠A是底角，1. ∠B=∠A=50°．
2. ∠A=∠C=50° 则∠B=180°-50°×2=80°，
综上，当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形
A
B
C
A
A
A
9.如图, △ABC为等边三角形, ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3
(1)求∠ BEC的度数.
(2) △ DEF为等边三角形吗 为什么
思路：
A
B
C
D
F
E
3
1
2
4
等量替换
等式的价值之一
曹冲称象
等边三角形
三个角都是600
三边相等
边
角