2.5 逆命题逆定理 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
浙教版八上
2.5 逆命题和逆定理
领悟的，二线合一-----------等腰三角形
对某件事情作出判断的句子叫做命题。
命题的结构：命题由题设、结论组成
命题有真有假。
温故知新，齐声朗读：
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
真假
结论
条件
命题
　　观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
⑴两直线平行，同位角相等
两直线平行
同位角相等
真
⑵同位角相等，两直线平行
同位角相等
两直线平行
真
⑶如果a＝b，那么a2＝b2。
a＝b
a2＝b2
真
⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
a2＝b2
a＝b
假
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
　　我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
假
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
真
a2＝b2
a＝b
⑶如果a＝b，那么a2＝b2。
真
两直线平行
同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行
真
同位角相等
两直线平行
⑴两直线平行，同位角相等
真假
结论
条件
命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
原命题正确，逆命题不一定正确
原命题错误，逆命题不一定错误
两个命题为互逆命题，它们的真假性没有关系
定理：等腰三角形的两个底角相等。
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
一个命题经证明是真命题，就可称为定理；
请说出其逆命题，并判断是真命题还是假命题：
这是一个真命题
请说出一对互逆定理
1. 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
原命题
逆命题
原命题的条件
结论
原命题的结论
条件
2、如果一个定理的逆命题被证明是真命题（定理），
那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．
归纳小结：
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
A
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
O
D
C
P
⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
1.按要求作答：
A
P
B
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ
求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上
作PC⊥AB于点O
O
C
证明:
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质）
∴PC是AB的垂直平分线。
∴点P在线段AB的垂直平分线上
解:　这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
⑵当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；
⑴当点P不在 线段AB上时，
A
B
P
P
P
P
P
P
显然，上述两个命题可称为互逆定理
线段垂直平分线性质定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
A
P
B
几何语言：
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
线段垂直平分线性质定理的逆定理---------确定点P位置，点P在哪里？
2、说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题， 判断这个命题的真假，并给出证明。
解：逆命题:如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等
说明一个命题是真命题需经证明，而说明一个命题是假命题只需举一个反例。
假命题
15
4
┎
┍
4
┍
4
A
B
C1
C4
C2
C3
AB∥C1C2
同底等高的两个三角形面积相等
S△ABC1=S△ABC2=S△ABC3=S△ABC4
显然，
△ABC1≌△ABC2 ≌△ABC3 ≌△ABC4
1.下列说法哪些正确，哪些不正确？
（2）每个定理都有逆定理。
（1）每个命题都有逆命题。
（3）假命题没有逆命题。
（4）真命题的逆命题是真命题。
√
×
×
×
当堂检测：
2.说出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假：
（1）如果|a|=|b|，那么a=b；
逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
(3)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。
逆命题：高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。
真命题
假命题
假命题
真命题
（4）角平分线上的点到角的两边距离相等。
真命题
逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。真命题
(4) 同位角相等
假命题
相等的两个角是同位角
假命题
逆命题：
（5）等腰三角形两腰上的高线长相等
真命题
逆命题：
如果一个三角形有两条高线相等，那么这个三角形是等腰三角形
真命题
（6）
等角的补角相等
真命题
逆命题
如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角
真命题
（7）
同角的余角相等
真命题
逆命题
如果两个角相等，那么这两个角是同角的余角
真命题
3.写出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假
连续递推，豁然开朗
逆命题：如果一个三角形的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形
已知：如图，在△ABC中，AD是高线也是中线.
求证：△ABC是等腰三角形
证明:
A
B
C
D
∵AD是高线
∴∠ADB=∠ADC=900
∵AD是中线.
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD ≌△ACD（SAS)
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
中线
+
高线
=
等腰三角形
3.写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，
并证明这个逆命题是真命题
.
4.写出定理“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线互相重合”的逆命题，
并证明这个逆命题是真命题
逆命题：如果一个三角形一边上的高线与该边所对角的平分线互相重合，
那么这个三角形是等腰三角形
已知：如图，在△ABC中，AD是高线也是角平分线.
求证：△ABC是等腰三角形
证明:
A
B
C
D
∵AD是高线
∴∠ADB=∠ADC
∵AD是角平分线.
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD ≌△ACD（SAS)
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
角平分线线
+
高线
=
等腰三角形
.
5.写出定理“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合”的逆命题，
并证明这个逆命题是真命题
逆命题：如果一个三角形一边上的中线与该边所对的角的平分线互相重合，
那么这个三角形是等腰三角形
已知：如图，在△ABC中，AD是中线也是角平分线.
求证：△ABC是等腰三角形
证明:
∵AD是中线
∴BD=CD
∵AD是角平分线.
∴∠BAD=∠CAD
∴△ABD ≌△ECD（SAS)
∴AB=EC
∴△ABC是等腰三角形
角平分线线
+
高线
=
等腰三角形
A
B
C
D
E
延长AD至E,使AD=DE ,连接CE
在△ABD和△ECD中
∴∠CED=∠CAD
AC=CE
∴AB=AC
∠BAD=∠CED
6.求证：三角形三条边的垂直平分线相较于一点
已知：如图，在△ABC中，DE,FH,MN分别为三边的垂直平分线.
求证：DE,FH,MN相交于一点.
A
B
C
M
N
F
H
D
E
P
证明：设DE与FH交于点P，连接AP,BP,PC
∵DE垂直平分BC
∴PB=PC
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵FH垂直平分AC
∴PC=PA
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴PB=PA
∴点P在AB的垂直平分线NN上
(到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上）
∴DE,FH,MN相交于一点