第1章《二次函数》尖子生培优训练卷（含解析）

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浙教版2022年九年级上册第1章《二次函数》尖子生培优训练卷
一．选择题（共10小题）
1．当函数y＝（a﹣1）x+2x是二次函数时，a的取值为（　　）
A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a＝﹣1
2．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
4．根据下表，确定方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是（　　）
x 2 2.23 2.24 2.25
ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.03 0.07
A．2＜x＜2.23 B．2.23＜x＜2.24
C．2.24＜x＜2.25 D．2.24＜x≤2.25
5．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 …
从上表可知，下列说法中正确的有（　　）个．
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣3，0）；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为﹣4；
③在对称轴左侧，y随x增大而增大；
④3a+c＝0．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（　　）
A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6
8．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②④⑤
9．如图，直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴，直线y＝﹣x+1与直线m交于点C，已知点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，作线段CD关于直线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（　　）
A．a≥1 B．0＜a≤1
C．﹣＜a＜0或0＜a＜1 D．a≥1或a＜﹣
10．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　 　．
12．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 　 　．
13．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是 　 　m．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 　 　．
三．解答题（共8小题）
16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．
17．某商店经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元，经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y＝﹣2x+800．
（1）该商店每月的利润为W元，写出利润W与销售单价x的函数关系式；
（2）若要使每月的利润为20000元，销售单价应定为多少元？
（3）商店要求销售单价不低于280元，也不高于350元，求该商店每月的最高利润和最低利润分别为多少？
18．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线，与直线y＝x﹣6交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点．结合函数的图象，求a的取值范围．
19．已知函数y＝x2+（b﹣1）x+c（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0）和B（x2，0）．若x1，x2满足x2﹣x1＞1；
（1）求证：b2＞2（b+2c）；
（2）若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明．
20．设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于C点，抛物线的顶点为D，连接BC、BD．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB＝∠CBD？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由；
22．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：
若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 　 　；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，求a的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），且OB＝OC．
（1）写出C点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：根据题意，得：a2+1＝2且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1，
故选：D．
2．【解答】解：A、一次函数y＝ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
3．【解答】解：设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，
则y与x的函数关系式为：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]．
故选：C．
4．【解答】解：∵对于函数y＝ax2+bx+c，
当x＝2.23时y＜0，
当x＝2.24时y＞0，
可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y＝0，
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．
故选：B．
5．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
6．【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣1，
∴点（1，0）的对称点是（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣3，0）；
故①正确；
由抛物线的对称轴可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，
∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，故②③错误；
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，故④正确，
故选：B．
7．【解答】解：A、当a＝3，t＝6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象不关于直线x＝3对称，故本选项不符合题意．
B、当a＝2，t＝﹣6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝﹣3对称，故本选项不符合题意．
C、当a＝3，t＝6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，故本选项符合题意．
D、当a＝﹣2，t＝6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝6对称，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．【解答】解：根据图象可知：
①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；
②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；
③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；
④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；
⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．
正确的有①②⑤．故选：B．
9．【解答】解：∵直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，
∴A（1，0），D（﹣4，5），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，
∴y＝1+1＝2，
∴C（﹣1，2），
∵C、E关于直线x＝﹣1对称，
∴E（2，5），
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
把A（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c得c＝﹣3a，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2+2ax﹣3a
（i）若a＞0，抛物线开口向上且经过D（﹣4，5），把（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝1；
由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；
（ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝﹣；
由对称性可知：当a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；
综上所述：当a≥1或a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；
故选：D．
10．【解答】解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：由韦达定理得：
x1+x2＝﹣＝2，
故答案为2．
12．【解答】解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
13．【解答】解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，
把点A（0，5）代入抛物线解析式得：
a＝﹣，
∴抛物线解析式：
y＝﹣（x﹣1）2+．
当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
∴OB＝3（m）．
故答案为3．
14．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
即x＝﹣1或3时，函数值y＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝3，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．
15．【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，4﹣2m），
∴m2＝4﹣2m，
解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．
∴CD＝2m＝﹣2+2．
故答案为：﹣2+2．
三．解答题（共8小题）
16．【解答】解：设运动那个时间为t秒，则
S四边形APQC＝S△ABC﹣S△PBQ＝×12×24﹣（12﹣2t）4t＝4t2﹣24t+144，
根据二次函数的性质，
当t＝﹣＝3秒时，
函数有最小值为S最小值＝4×32﹣24×3+144＝144﹣36＝108mm2．
17．【解答】解：（1）由题意得：
w＝（x﹣200）y
＝（x﹣200）（﹣2x+800）
＝﹣2x2+1200x﹣160000；
（2）令w＝﹣2x2+1200x﹣160000＝20000，
解得：x1＝x2＝300，
故要使每月的利润为20000元，销售单价应定为300元；
（3）w＝﹣2x2+1200x﹣160000＝﹣2（x﹣300）2+20000，
当x＝300时，w＝20000（元）；
当x＝350时，w＝15000（元），
故最高利润为20000元，最低利润为15000元．
18．【解答】解：（1）因为点A是直线y＝﹣3与直线y＝x﹣6的交点，
所以x﹣6＝﹣3，解得x＝3，
所以点A（3，﹣3）
∵点A关于直线x＝1的对称点为B，
∴B（﹣1，﹣3）．
（2）因为抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A，B，
所以，解得，
所以函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣6；
因为y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7，
所以该抛物线的顶点坐标为（1，﹣7）．
（3）如图，当C2过点A、点B时为临界，
把点B（﹣1，﹣3）代入y＝ax2，得a＝﹣3；
把点A（3，﹣3）代入y＝ax2，得9a＝﹣3，解得a＝﹣．
所以a的取值范围为．
19．【解答】证明：（1）∵令y＝x2+（b﹣1）x+c中y＝0，
得到x2+（b﹣1）x+c＝0，
∴x＝，又x2﹣x1＞1，
∴，
∴b2﹣2b+1﹣4c＞1，
∴b2＞2（b+2c）；
（2）由已知x2+（b﹣1）x+c＝（x﹣x1）（x﹣x2），
∴x2+bx+c＝（x﹣x1）（x﹣x2）+x，
∴t2+bt+c＝（t﹣x1）（t﹣x2）+t，
t2+bt+c﹣x1＝（t﹣x1）（t﹣x2）+t﹣x1＝（t﹣x1）（t﹣x2+1），
∵t＜x1，
∴t﹣x1＜0，
∵x2﹣x1＞1，
∴t＜x1＜x2﹣1，
∴t﹣x2+1＜0，
∴（t﹣x1）（t﹣x2+1）＞0，
即t2+bt+c＞x1．
20．【解答】解：（1）设y＝0
∴0＝ax2+bx﹣（a+b）
∵△＝b2﹣4 a[﹣（a+b）]＝b2+4ab+4a2＝（2a+b）2≥0
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个
（2）当x＝1时，y＝a+b﹣（a+b）＝0
∴抛物线不经过点C
把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得
解得
∴抛物线解析式为y＝3x2﹣2x﹣1
（3）当x＝2时
m＝4a+2b﹣（a+b）＝3a+b＞0①
∵a+b＜0
∴﹣a﹣b＞0②
①②相加得：
2a＞0
∴a＞0
21．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，
解得a＝﹣1，b＝2，
∴函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点D的坐标为（1，4），
（2）存在，理由如下：连接DC，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴BC＝3，BD＝2，CD＝，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，
过B点作BE垂直于BC，连接EC，且BE＝，
∵CO＝OB＝3，
∴∠OCB＝∠CBO＝45°，
过点E作EM⊥x轴于点M，则∠EBM＝45°，
∴E（4，1），
在△ECB和△DBC中，
，
∴△ECB≌△DBC（SAS），此时CE与抛物线的交点就是满足条件的点P，
设直线EC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：．
∴EC直线解析式为：y＝﹣0.5x+3，
∴﹣0.5x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝0（不合题意舍去），x2＝2.5，
∴y＝1.75，
∴P1点坐标为：（2.5，1.75）；
设直线BD解析式为y＝mx+n，代入B、D坐标，得，
解得：，
∴直线BD为y＝﹣2x+6，
只要PC∥BD，则有∠PCB＝∠CBD，
设直线PC为y＝﹣2x+p，代入C点坐标：
则p＝3，
直线PC解析式为y＝﹣2x+3，
联立：﹣2x+3＝﹣x2+2x+3，
∴x2﹣4x＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝4，
把x＝4代入解析式y＝﹣2x+3可得，y＝﹣5，
∴P2（4，﹣5）．
综上所述：P点坐标为：（2.5，1.75）或（4，﹣5）．
22．【解答】解（1）∵﹣5＜0
∴y'＝﹣y＝2
即点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）
（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数
y′＝的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7
∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3，
当x2﹣16＝7时，解得x＝﹣
故答案为：3或﹣
（3）由题意得∵﹣16≤y′≤16，
∴﹣16＝﹣x2+16
∴x＝4，
观察图象可知，实数a＝4．
23．【解答】解：（1）由点B的坐标为（3，0），且OB＝OC，得C（0，﹣3）；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过A、B、C点，得
，解得，
这个二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3；
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，G（2，﹣3），
直线AG为y＝﹣x﹣1．
设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），
PQ＝﹣x2+x+2．S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（﹣x2+x+2）×3
当x＝时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为（，﹣），S△APG最大＝××3＝．