第1章 二次函数尖子生培优30题训练卷（中档+难题）（含解析）

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第1章《二次函数》培优30题（中档+难题）训练卷
一．选择题（共10小题）
1．当﹣3＜x＜2时，抛物线y＝x2+t与直线y＝2x+1有交点，则t的取值范围是（　　）
A．﹣2≤t＜14 B．﹣14＜t≤2 C．1＜t≤2 D．t≤2
2．已知函数y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0），当p＜x＜q时，y1＜y2，则（　　）
A．0＜q﹣p＜2 B．0＜q﹣p≤2 C．0＜q﹣p＜1 D．0＜q﹣p≤1
3．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，且与x轴的交点为A（1，0）和B（5，0）．当y1＞y2时，则x1，x2应满足的关系式是（　　）
A．x1﹣3＜x2﹣3 B．x1﹣3＞x2﹣3 C．|x1﹣3|＜|x2﹣3| D．|x1﹣3|＞|x2﹣3|
4．抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1或m＞0 B．＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1
5．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，
x … 0 4 …
y … 0.32 ﹣2 0.32 …
则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）
A．或 B．或 C．0或4 D．1或5
7．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m
②小球抛出3s后，速度越来越快
③小球抛出3s时速度为0
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
8．对于题目：“已知M（1，﹣a），N（4，3a+3）若抛物线y＝ax（x﹣4）与线段MN恰有一个公共点，求a的取值范围．”甲的答案是：a≤﹣1；乙的答案是：﹣1≤a＜0．下列说法正确的是（　　）
A．甲对 B．乙对
C．甲、乙合在一起才对 D．甲、乙合在一起也不对
9．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；
④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共9小题）
11．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3，当1≤x≤a时，函数y的最小值为﹣2，则a的值为 　 　．
12．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 　 　秒．
13．定义：min{a，b}＝．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为 　 　．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．
（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标是　 　；
（2）在（1）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标是　 　．
15．已知关于x的方程x2+2bx+3c＝0的两个根分别是x1＝，x2＝，若点A是二次函数y＝x2+2bx﹣3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为 　 　．
16．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为h1，第二次反弹后的最大高度为h2.第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度，若OB＝90dm，OA＝2AB．则第一次反弹抛物线图象h1与它的二次项系数a的比值 　 　＝　 　．
17．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过原点且交x轴于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1）．抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：y＝﹣2的距离总相等．过点F的直线与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点，MP，NQ分别垂直直线l于点P，Q，连接FP，FQ．若FQ＝，则△FPQ的面积为 　 　．
19．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣1，0），下列四个结论：
①方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3：
②3a+c＝0；
③对于任意实数t，总有at2+bt＞a+b；
④不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣k≥0（k为常数）的解集为x≤﹣1或x≥3+．
其中正确的结论是 　 　.（填写序号）
三．解答题（共11小题）
20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
21．“垃圾分一分，明天美十分”，环保部门计划订制一批垃圾分类宣传海报，海报版面不小于300平方米，当宣传海报的版面为300平方米时，价格为80元/平方米，为了支持垃圾分类促进环保，广告公司给予以下优惠：宣传海报版面每增加1平方米，每平方米的价格减少0.2元，但不能低于50元/平方米．假设宣传海报的版面增加x平方米后，总费用为y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）订制宣传海报的版面为多少平方米时总费用最高？最高费用为多少元？
（3）环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制多少平方米的海报？
22．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．
（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；
（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？
（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．
23．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
24．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（a﹣1）x2+bx﹣a，一次函数y2＝（b﹣1）x（其中a，b是实数，a≠1，b≠1）．
（1）若b＝2，函数y1的图象与函数y2的图象交于点（2，m），求函数y1的表达式．
（2）若a＝0，b＞0，当x≤0时，求函数y1的最大值．
（3）若a＞1，当y1＜y2时，始终有x＞﹣3，求a的取值范围．
25．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系为q＝﹣2v2+120v．
（1）当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（2）已知q，v，k满足q＝vk．
①市交通运行监控平台显示，当18≤v≤28该路段不会出现交通拥堵现象．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段不会出现交通拥堵现象；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，当d＝25米时请求出此时的速度v．
26．如图，已知对称轴为直x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0）．
（1）①求点C的坐标及抛物线的表达式；
②请你根据图象分析回答，一元二次方程ax2+bx+3＝c有一正根和一负根时，c的取值范围是 　 　．
（2）当m≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出m的取值范围．
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2OB＝2OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线上任取一点E，过点E作EF∥x轴，且四边形ABEF为平行四边形，在线段EF上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为yQ．当点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度时，求yQ的取值范围．
28．如图，二次函数y＝ax2+c的图象经过点A（﹣1，）和点C（﹣4，5），点B的坐标为（0，5）．
（1）求二次函数y＝ax2+c的解析式；
（2）若y轴上有一点P（0，2），点M是抛物线上一动点，过点M作ME⊥x轴于点E．
①求证：点M在线段PE的垂直平分线上；
②若点N（﹣2，4），求△MPN的周长的最小值．
29．如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
30．如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．
（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；
（2）点P是AC上方抛物线上的动点，
①当S△APC＝3，求点P的坐标；
②过点P作PD∥BC，交x轴于点D，求PD的最大值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：将x＝﹣3代入y＝2x+1得y＝﹣5，
将x＝2代入y＝2x+1得y＝5，
∴直线y＝2x+1经过（﹣3，﹣5），（2，5），
将（﹣3，﹣5）代入y＝x2+t得﹣5＝9+t，
解得t＝﹣14，
将（2，5）代入代入y＝x2+t得5＝4+t，
解得t＝1，
令x2+t＝2x+1，整理得x2﹣2x+t﹣1＝0，
当Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（t﹣1）＝0时，t＝2，
此时抛物线与直线相切，x2﹣2x+1＝0，
解得x1＝x2＝1，
∴当﹣14＜t≤2时满足题意．
故选：B．
2．【解答】解：联立y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0）并解得x＝0或1，
∵m＞0，故抛物线开口向上，
则0＜x＜1时，y1＜y2，
∵p＜x＜q时，y1＜y2，
∴0≤p＜q≤1，
∴0＜q﹣p≤1，
故选：D．
3．【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过A（1，0）和B（5，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
∵y1＞y2，
∴|x1﹣3|＞|x2﹣3|，
故选：D．
4．【解答】解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1，
令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1，
∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点，
①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y2），
如图：
由对称性可知，y1＝y2，
∴此时不满足y1＜y2；
②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2），
∴y1＝y2，
∴此时不满足y1＜y2；
③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：
此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2；
由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1，
故选：D．
5．【解答】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t，
∴（t﹣1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴＝﹣2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，
当a＞0时，﹣4a≤﹣1，
解得a≥，
将（m，2）代入解析式得am2+4am＝2，
∴a＝≥，
∴0＜m2+4m≤8，
∴4＜（m+2）2≤12，
∴﹣2﹣2≤m＜﹣4或0＜m≤﹣2+2，
故选：A．
6．【解答】解：由抛物线经过点（0，0.32）得到c＝0.32，
因为抛物线经过点（0，0.32）、（4，0.32），
所以抛物线的对称轴为直线x＝2，
而抛物线经过点（，﹣2），
所以抛物线经过点（4﹣，﹣2），
所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.32，
方程ax2+bx+2.32＝0变形为ax2+bx+0.32＝﹣2，
所以方程ax2+bx+0.32＝﹣2的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．
故选：A．
7．【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，
∴函数解析式为，
把h＝30代入解析式得，，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选D．
8．【解答】解：解0＝ax（x﹣4）得x＝0或者x＝4，
即抛物线与x轴交于点（0，0）（4，0）．
当x＝1时，y＝﹣3a．
当a＞0时，﹣3a＜﹣a，如图1所示：M在抛物线的上方，
∵抛物线y＝ax（x﹣4）与线段MN恰有一个公共点；
∴有3a+3≤0，如图2所示：M在抛物线的下方，
∵抛物线y＝ax（x﹣4）与线段MN恰有一个公共点；
∴有3a+3≥0，
∵a≥﹣1，
又∵a＜0，
∴﹣1≤a＜0
故选：B．
9．【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x＝﹣＝2，
∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，
解得：n＝﹣1；
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1，
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝，
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，
故选：C．
10．【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．
综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：
由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），
∴c＞0．
∴①的结论正确；
由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．
∴②的结论正确．
作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，
则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，
即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2，
由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，
∴③的结论正确；
如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，
则△PHQ为等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ＝HQ．
∴．
∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．
设点P，Q的横坐标分别为m，n，
∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，
∴m+n＝，mn＝．
∴HQ＝|m﹣n|＝＝．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴．
∴．
∴HQ＝．
∵PQ＝，
∴ ＝．
解得：a＝﹣1或．
∴④的结论不正确；
综上所述，正确结论有：①②③，
故选：B．
二．填空题（共9小题）
11．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
∴y≤1，
将x＝1代入y＝﹣x2+4x﹣3得y＝0＞﹣2，
∴x＝a时，y＝﹣2，
∴﹣2＝﹣a2+4a﹣3，
解得a＝2﹣（舍）或a＝2+．
故答案为：2+．
12．【解答】解：∵此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x＝＝9.5，
∴炮弹所在高度最高是第9.5秒，
故答案为：9.5．
13．【解答】解：设直线y＝x+1，抛物线y＝﹣x2+2x+3，
联立直线与抛物线方程得，
解得或，
∴直线与抛物线交点坐标为（﹣1，0），（2，3），
如图，
∴x≤﹣1时，y＝﹣x2+2x+3，函数最大值为y＝0，
﹣1＜x≤2时，y＝x+1，函数最大值为y＝3，
当x＞2时，y＝﹣x2+2x+3，y＜3，
∴x＝2时，函数取最大值为3，
故答案为：3．
14．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+x+2，点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴，得m＝1，
∴点D的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）；
（2）过点P作PE⊥DB交DB的延长线于点E，作EF⊥x轴于点F，作PG⊥EF交EF的延长线于点G，
∵∠DBP＝135°，
∴∠PBE＝45°，
∵∠BEP＝90°，
∴∠BPE＝∠PBE＝45°，
∴BE＝PE，
∵∠BEP＝90°，∠EFB＝90°，
∴∠PEG+∠BEF＝90°，∠EBF+∠BEF＝90°，
∴∠PEG＝∠EBF，
又∵∠PGE＝∠EFB＝90°，PE＝EB，
∴△PGE≌△EFB（AAS），
∴EG＝BF，PG＝EF，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）（x+1），
∴当y＝0时，x＝2或x＝﹣1，
∴点B的坐标为（2，0）
∵点D（1，2），点B（2，0），
∴tan∠DBA＝2，
∴tan∠EBF＝2，
设BF＝a，则EF＝2a，EG＝a，PG＝2a，
∴点P的坐标为（2﹣a，﹣3a），
∴﹣3a＝﹣（2﹣a）2+（2﹣a）+2
解得，a1＝6，a2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（﹣4，﹣18），
故答案为：（﹣4，﹣18）．
15．【解答】解：∵x1＝，x2＝，
∴对称轴为x＝＝，
∵点A的横坐标为0，
∴根据对称性，点B的横坐标为3，
∴AB＝3．
故答案为：3．
16．【解答】解：∵OB＝90dm，OA＝2AB，
∴OA＝60dm，AB＝30dm，
设第一次反弹后的抛物线解析式为y＝a（0﹣30）2+h1，
∵抛物线过原点O，
∴a（x﹣30）2+h1＝0，
解得：h1＝﹣900a，
∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），
∴两个抛物线的a是相同的，
设二次反弹后的抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+h2，
∵BC＝h1，h1＝﹣900a，
∴BC＝﹣300a，
∵抛物线过A，C两点，
∴，
解得：，
∴＝＝．
故答案为：﹣900，．
17．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故答案为：＜t＜1．
18．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c过原点且交x轴于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x．
∵顶点B的坐标为（2，﹣1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
∴设点F（2，n），
∴点F到直线l：y＝﹣2的距离为|n+2|．
∵抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：y＝﹣2的距离总相等，
∴点O到点F的距离与到直线l：y＝﹣2的距离总相等．
∵点O到直线l：y＝﹣2的距离为2，
∴点O到点F的距离为2．
∴点F（2，0）．
∴FC＝2．
∴QC＝＝＝1．
∴Q（1，﹣2）．
∵NQ∥y轴，
∴点N的横坐标为1，
∴当x＝1时，y＝×1﹣1＝﹣，
∴N（1，﹣）．
设直线NF的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线NF的解析式为y＝．
∴．
解得：，．
∴M（6，3）．
∵MP∥y轴，
∴P（6，﹣2）．
∴PQ＝6﹣1＝5．
∴×PQ FC＝×5×2＝5．
故答案为：5．
19．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解即为抛物线与x轴交点的横坐标：x1＝﹣1，x2＝3，
故①正确；
将（﹣1，0）代入抛物线得：a﹣b+c＝0，
又∵抛物线的对称轴x＝﹣＝1，即：2a+b＝0，
∴3a+c＝0，
故②正确；
∵抛物线的对称轴x＝1，且a＞0，抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为a+b+c，
∴对任意t，at2+bt+c≥a+b+c，
即at2+bt≥a+b，
故③错误；
由②可知：c＝﹣3a，b＝﹣2a，
∴y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k，
对称轴x＝﹣＝1+，
当x＝﹣1时，y＝0，
设y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k与x轴另一交点横坐标为t，
则＝1+，
解得：t＝3+，
当3+≤﹣1，即k≤﹣4a时，
ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≤3+或x≥﹣1，
当k≥﹣4a时，ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≥3+或x≤﹣1，
故④错误．
另解：设y1＝a（x+1）（x﹣3），y2＝k（x+1），
则y＝a（x+1）（x﹣3）﹣k（x+1）＝（x+1）[a（x﹣3）﹣k]＝a（x+1）[x﹣（3+）]（a＞0），
令y＝0，得x1＝﹣1，x2＝3+，
∵﹣1与3+的大小不确定，
故④错误．
故答案为：①②．
三．解答题（共11小题）
20．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵PM＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为．
21．【解答】解：（1）由题意可得，
y＝（80﹣0.2x）（300+x）＝，
即y关于x的函数表达式为y＝；
（2）∵80﹣0.2x≥50，
∴x≤150，
∴0≤x≤150，
∵y＝＝，
∴当x＝50时，y取得最大值，此时y＝24500，x+300＝350，
答：订制宣传海报的版面为350平方米时总费用最高，最高费用为24500元；
（3）∵y＝＝，0≤x≤150，
∴当x＝150时，y取得最小值，此时y＝22500，x+300＝450，
答：环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制多450平方米的海报．
22．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
将（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3．
（2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3，
解得x＝﹣1（舍）或x＝3，
∵2×3＝6（米），
∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．
（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+h，
将（2.5，0）代入得，﹣（2.5﹣1）2+h＝0，
解得h＝，
当x＝0时，y＝﹣（0﹣1）2+＝．
∴调整后水管的最大长度米．
23．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），
把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p得﹣2×0+p＝﹣4，
解得p＝﹣4；
（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴抛物线的顶点坐标为（2，11），
把（2，11），（﹣1，2）分别代入y＝kx+t得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝3x+5，
当x＝0时，y＝5，直线y＝3x+5与y轴的交点坐标为（0，5），
当y＝0时，3x+5＝0，解得x＝﹣，直线y＝3x+5与x轴的交点坐标为（﹣，0），
∴直线y＝3x+5与两坐标轴围成的三角形的面积＝×5×＝；
（3）当y＝0时，x2+2x+n＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∵﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，
∴n＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3得m﹣3＝﹣4，
解得m＝﹣1，
∴m、n的值分别为﹣1，﹣3．
24．【解答】解：（1）∵b＝2，
∴y2＝x，
将（2，m）代入y2＝x得m＝2，
将（2，2）代入y1＝（a﹣1）x2+2x﹣a得2＝4（a﹣1）+4﹣a，
解得a＝，
∴y1＝﹣x2+2x﹣．
（2）a＝0时，y1＝（a﹣1）x2+bx﹣a＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝，
∴x＜时，y随x增大而增大，
∵b＞0，
∴＞0，
∴当x≤0时，y随x增大而增大，
当x＝0时，y1＝﹣+＝0为最大值．
（3）∵y1＜y2，
∴（a﹣1）x2+bx﹣a＜（b﹣1）x，
整理得（a﹣1）x2+x﹣a＜0，
令y＝（a﹣1）x2+x﹣a，
∵a＞1，
∴a﹣1＞0，
∴抛物线y＝（a﹣1）x2+x﹣a开口向上，
∵y＝a（x2﹣1）﹣x2+x，
∴x＝1时，y＝0，即抛物线经过定点（1，0），
∵（a﹣1）x2+x﹣a＜0时，x＞﹣3，
∴x＝﹣3时，y＝9（a﹣1）﹣3﹣a≤0，
解得a≤，
∴1＜a≤．
25．【解答】解：（1）∵函数关系式q＝﹣2v2+120v，化为项点式得q＝﹣2（v﹣30）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴v＝30时，q达到最大值，q的最大值为1800；
（2）∵q，v，k满足q＝vk，
∴．
①当v＝18时，q＝﹣2×82+120×18＝1512，此时，
当v＝28时，q＝﹣2×282+120×8＝1792，此时，
∴64≤k≤84，即当车流密度k满足64≤k≤84时，该路段不会出现交通拥堵现象；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，且d＝25，
∴（辆/千米），
∴q＝40v．
又∵q＝﹣2v2+120v，
∴40v＝﹣2v2+120v．
解得：v1＝40，v2＝0（舍去），
∴v＝40，即此时的速度v＝40千米/小时．
26．【解答】解：（1）①∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于C点，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A点，A点的坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
②当一元二次方程ax2+bx+3＝c有一正根和一负根时，
即为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与直线y＝c的交点在y轴两侧，
如图所示：
由图象可知，c的取值范围是c＜3，
故答案为：c＜3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∵B点的坐标为（﹣3，0），
当x＝1时，y＝0，
∵当m≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，即4﹣0＝4，
∴m的取值范围﹣3≤m≤﹣1．
27．【解答】解：（1）∵点C为抛物线y＝ax2+bx+3与y轴的交点，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
又∵2OB＝2OC＝3OA，
∴OB＝3，OA＝2，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
将点A，B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+3中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）作平行四边形ABEF，如图所示：
∴EF＝AB＝5，点F在点E的左侧，
又∵点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，抛物线的对称轴为直线x＝，
∴0≤xE≤1，
∴﹣5≤xF≤﹣4，
又∵点P在线段EF上，PQ⊥EF，
∴﹣5≤xP≤1，xP＝xQ，
∴﹣5≤xQ≤1，
又∵点Q在抛物线y＝﹣x2+x+3上，
∴当xQ＝时，yQ取最大值；当xQ＝﹣5时，yQ取最小值﹣12；
∴﹣12≤yQ≤．
28．【解答】（1）解：∵二次函数y＝ax2+c的图象经过点A（﹣1，）和点C（﹣4，5），
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝x2+1；
（2）①证明：如图1，连接PM，
设M（m，m2+1），则E（m，0），
∴ME＝m2+1，
∵MP＝＝m2+1，
∴ME＝MP，
∴点M在线段PE的垂直平分线上；
②解：如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，交抛物线于点M′，
由①得：ME＝MP，
∴PN+MN+MP＝PN+MN+ME，
当M、N、E三点在同一条直线上时，MN+ME＝NF最小，即点M与M′重合时，△MPN的周长最小，
∵N（﹣2，4），P（0，2），
∴NF＝4，PN＝＝2，
∴△MPN的周长的最小值为2+4．
29．【解答】解：（1）当x＝a时，y＝﹣2a，
∴A（a，﹣2a），
∴﹣2a＝﹣a2﹣2a+4﹣a2，
解得a＝，
由题意可知a＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣2x+2，
当t＝1时，OP＝，
设P（m，﹣2m），
∴m＝，
∴m＝1，
∴P（1，﹣2）；
（2）由题意可知，OP＝t，OQ＝2t，
∴P（t，﹣2t），Q（2t，﹣4t），
∵四边形PMQN是矩形，
∴M（2t，﹣2t），N（t，﹣4t），
在矩形移动的过程中，M点最先与抛物线有交点，点N是抛物线与矩形最后有交点，
当M点在抛物线上时，﹣4t2﹣4t+2＝﹣2t，
解得t＝或t＝﹣1（舍），
当N点在抛物线上时，﹣t2﹣2t+2＝﹣4t，
解得t＝1+或t＝﹣1﹣（舍），
∴≤t≤1+时，矩形PMQN与抛物线有公共点；
（3）设R（m，﹣m2﹣2m+2），
∴R'（﹣m，m2+2m﹣2），
由（2）知，M（1，﹣1），
∴R′M＝＝，
当（m+1）2＝时，R'M有最小值，
∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，
当y＝0时，﹣x2﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1+，0），（﹣1﹣，0），
∵R点在x轴上方，
∴﹣1﹣＜m＜﹣1+，
∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，
∴R（﹣1，）或（﹣﹣1，）．
30．【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+2，
令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴A（﹣4，0）；
（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+2，
过P作PG∥y轴交AC于点G，
设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t，
∴S△APC＝×4×（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣4t＝3，
解得t＝﹣1或t＝﹣3，
∴P（﹣1，3）或（﹣3，2）；
②设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+2，
∵PD∥BC，
设P（t，﹣t2﹣t+2），则直线PD的解析式为y＝﹣2x﹣t2+t+2，
∴D（﹣t2+t+1，0），
∴PD＝＝﹣（t2+3t﹣4）＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PD有最大值．