第1章 二次函数最值培优训练卷 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022年九年级上册 二次函数 最值培优训练卷
一．选择题
1．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
2．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
3．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（　　）
A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大
C．y1最小，y4最大 D．无法确定
4．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　）
A．3 B．﹣3或 C．3或﹣ D．﹣3或﹣
5．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
二．填空题
7．二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　．
8．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝　 　．
9．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝　 　．
10．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是　 　．
11．定义：min{a，b}＝．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为 　 　．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 　 　．
三．解答题
13．已知二次函数y＝x2+2bx+c
（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
15．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．
（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；
（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？
（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），直线y＝mx+n经过点A，与y轴交于点，与抛物线交于点D，点△ABD的面积为5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上一动点E在直线y＝mx+n的图象下方，当△ACE的面积最大时，求点E的坐标；
（3）若点P是y轴上一点，在（2）的条件下，当△PAE为直角三角形时，直接写出PA的最大值．
17．如图，二次函数y＝ax2+c的图象经过点A（﹣1，）和点C（﹣4，5），点B的坐标为（0，5）．
（1）求二次函数y＝ax2+c的解析式；
（2）若y轴上有一点P（0，2），点M是抛物线上一动点，过点M作ME⊥x轴于点E．
①求证：点M在线段PE的垂直平分线上；
②若点N（﹣2，4），求△MPN的周长的最小值．
18．如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．
（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；
（2）点P是AC上方抛物线上的动点，
①当S△APC＝3，求点P的坐标；
②过点P作PD∥BC，交x轴于点D，求PD的最大值．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝2或a+1＝0，
∴a＝2或a＝﹣1，
故选：D．
2．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
3．【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，
∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，
∴y3最小，y1最大，
故选：A．
4．【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故选：C．
5．【解答】解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，
∴
解得，
∴y＝﹣x2+5x﹣4，
设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m
解得，
即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4，
设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）
∴＝﹣2（x﹣2）2+8，
∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．
故选：C．
6．【解答】解：（方法一）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC BC﹣PC CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．
∵1＞0，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
（方法二）∵S四边形PABQ+S△CPQ＝S△ABC，
∴当△CPQ的面积最大时，四边形PABQ的面积最小．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S△CPQ＝PC CQ＝×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9．
∵﹣1＜0，
∴当t＝3时，△CPQ的面积取最大值，最大值为9cm2，
∴四边形PABQ的面积最小值为×6×8﹣9＝15（cm2）．
故选：C．
二．填空题
7．【解答】解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
8．【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2+5，
∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，
把y＝3代入函数解析式得到 3＝﹣（x+3）2+5，
解得 x1＝﹣5，x2＝﹣1．
∴a＝﹣5．
故答案是：﹣5．
9．【解答】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，
可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，
当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
10．【解答】解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，
解得：0≤x≤3．
∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y
＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）
＝x2﹣11x+24
＝﹣，
∴当x≤ 时，y随x的增大而减小，
故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．
故答案为：0．
11．【解答】解：设直线y＝x+1，抛物线y＝﹣x2+2x+3，
联立直线与抛物线方程得，
解得或，
∴直线与抛物线交点坐标为（﹣1，0），（2，3），
如图，
∴x≤﹣1时，y＝﹣x2+2x+3，函数最大值为y＝0，
﹣1＜x≤2时，y＝x+1，函数最大值为y＝3，
当x＞2时，y＝﹣x2+2x+3，y＜3，
∴x＝2时，函数取最大值为3，
故答案为：3．
12．【解答】解：设△PCD的面积为y，
由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，
∴y＝＝5﹣t，
∵四边形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，
∵PC2＝PD2+CD2，
∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，
∴S△DEF＝（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）＝t2﹣4t+＝（t﹣4）2+，
当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．
故答案为：．
三．解答题
13．【解答】解：（1）由y＝1得 x2+2bx+c＝1，
∴x2+2bx+c﹣1＝0
∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0，
则存在两个实数，使得相应的y＝1；
（2）由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为直线x＝﹣b，
①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3；
②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b＝﹣，不合题意，舍去，
③当﹣2＜﹣b＜2时，则＝﹣3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1＝（不合题意，舍去），b2＝．
综上：b＝3或．
14．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵PM＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为．
15．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
将（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3．
（2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3，
解得x＝﹣1（舍）或x＝3，
∵2×3＝6（米），
∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．
（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+h，
将（2.5，0）代入得，﹣（2.5﹣1）2+h＝0，
解得h＝，
当x＝0时，y＝﹣（0﹣1）2+＝．
∴调整后水管的最大长度米．
16．【解答】解：（1）∵直线y＝mx+n经过点A（﹣1，0），，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+，
∵AB＝3﹣（﹣1）＝4，S△ABD＝AB yD＝2yD＝5，
∴yD＝，
当y＝时，＝x+，
解得：x＝4，
∴D（4，），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）和点D（4，），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）设E（t，t2﹣t﹣）（﹣1＜t＜4），过点E作EF∥y轴交AC于点F，如图1，
则F（t，t+），
∴EF＝x+﹣（t2﹣t﹣）＝﹣t2+t+2，
∴S△ACE＝EF （xC﹣xA）＝×（﹣t2+t+2）×1＝（t﹣）2+，
∵﹣＜0，﹣1＜t＜4，
∴当t＝时，S△ACE的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）；
（3）设P（0，y），由（2）知：E（，﹣），A（﹣1，0），
如图2，设EF交x轴于点G，过点E作EH⊥y轴于点H，
则AG＝﹣（﹣1）＝，EG＝，EH＝，PH＝|y﹣（﹣）|＝|y+|，
由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝（）2+（）2＝，
PA2＝OA2+OP2＝1+y2，PE2＝EH2+PH2＝（）2+|y+|2＝y2+y+，
当△PAE为直角三角形时，AE为定值，当且仅当PA为斜边时，PA最大，
∴AE⊥PE，
由勾股定理得：PA2＝PE2+AE2，
∴1+y2＝y2+y++，
解得：y＝﹣，
∴PA＝＝＝，
∴当△PAE为直角三角形时，PA的最大值为．
17．【解答】（1）解：∵二次函数y＝ax2+c的图象经过点A（﹣1，）和点C（﹣4，5），
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝x2+1；
（2）①证明：如图1，连接PM，
设M（m，m2+1），则E（m，0），
∴ME＝m2+1，
∵MP＝＝m2+1，
∴ME＝MP，
∴点M在线段PE的垂直平分线上；
②解：如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，交抛物线于点M′，
由①得：ME＝MP，
∴PN+MN+MP＝PN+MN+ME，
当M、N、E三点在同一条直线上时，MN+ME＝NF最小，即点M与M′重合时，△MPN的周长最小，
∵N（﹣2，4），P（0，2），
∴NF＝4，PN＝＝2，
∴△MPN的周长的最小值为2+4．
18．【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+2，
令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴A（﹣4，0）；
（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+2，
过P作PG∥y轴交AC于点G，
设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t，
∴S△APC＝×4×（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣4t＝3，
解得t＝﹣1或t＝﹣3，
∴P（﹣1，3）或（﹣3，2）；
②设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+2，
∵PD∥BC，
设P（t，﹣t2﹣t+2），则直线PD的解析式为y＝﹣2x﹣t2+t+2，
∴D（﹣t2+t+1，0），
∴PD＝＝﹣（t2+3t﹣4）＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PD有最大值．