中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数的性质专题复习（二）——最值
A组
例1．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向上，
∴在﹣2≤x≤2的取值范围内，当x＝﹣2时取得最大值11，当x＝1时，取得最小值2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．
变式．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+1，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，则y的取值范围为（ ）
A．1≤y≤3 B．﹣5≤y≤3 C．﹣5≤y≤1 D．﹣3≤y≤3
【分析】把一般式化成顶点式，即可求得抛物线开口向下，顶点为（1，3），x＝1时，函数有最大值3，把x＝3代入解析式求得y＝﹣5，即可求得当0≤x≤3时，﹣5≤y≤3．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣2（x+1）（x﹣3），
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数有最大值3，
当x＝3时，y＝﹣5，
当x＝0时，y＝1，
当0≤x≤3时，﹣5≤y≤3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
例2．已知二次函数y＝ax2+3x+a2+1．当x＝1时，函数y有最大值，则二次函数的表达式为 y＝﹣x2+3x+ ．
【分析】由题意可知，x＝1是二次函数图象的对称轴，由此解答即可．
【解答】解：∵当x＝1时，函数y有最大值，
∴对称轴x＝﹣＝1，
解得：a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x+．
故答案为：y＝﹣x2+3x+．
【点评】本题考查了二次函数的性质等知识，解题的关键是根据题意求得a的值后进行正确的取舍，难度不大．
变式．已知二次函数y＝2x2﹣2（a+b）x+a2+b2，a，b为常数，当y达到最小值时，x的值为
【分析】把解析式化成顶点式即可求得．
【解答】解：根据二次函数y＝2x2﹣2（a+b）x+a2+b2＝2（x﹣）2+，
因此当x＝时，y达到最小值．
故答案为．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
例3．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m＞0），在﹣2≤x≤3时，有最大值6，则m＝ ．
【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征即可得出x＝3时，有最大值y＝16m﹣m+1＝6，解关于m的方程求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∵m＞0，
∴抛物线开口向上，
∴x＝3时，有最大值y＝16m﹣m+1＝6，
解得：m＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
变式1．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）
（I）抛物线的对称轴为 直线x＝1 ；
（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是 ﹣17 ．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝1，可得顶点在﹣2≤x≤2范围内，y的最大值是1，得顶点坐标为（1，1），把顶点（1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣1，可得a的值，进而可得y的最小值．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1，
故答案为：直线x＝1；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，取得最大值﹣a﹣1，
∵当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，
∴x＝1时，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，
∵﹣2≤x≤2，
∴x＝﹣2时，取得最小值，此时y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，
故答案为：﹣17．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出a的值，利用二次函数的性质解答．
变式2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0），当﹣1≤x≤2时函数的最大值为4，则a的值为 1 ．
【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，然后再根据当﹣1≤x≤2时函数的最大值为4，即可得到关于a的方程，然后求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1，a＞0，
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，该函数取到最小值﹣a+1，
∵当﹣1≤x≤2时函数的最大值为4，
∴x＝﹣1时，y＝4，
∴4＝a（﹣1﹣1）2﹣a+1，
解得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，得到关于a的方程．
变式3．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解；
（2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值；
（3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，
∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，
解得m＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；
（2）∵y＝x2﹣3x+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，
∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，
∴n2﹣3n+1＝4﹣n，
解得n1＝﹣1，n2＝3，
∵n≤x≤1，
∴n的值为﹣1；
（3）根据平移的性质可知，a＝1，
∵当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴h≥2．
∵平移后的图象经过原点O，
∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，
∴k≤﹣4．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2．
B组
例1．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣3，则m的值是（ ）
A． B． C．﹣2或 D．或
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣3，代入得：4﹣4m＝﹣3，即m＝＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣3，代入得：﹣m2＝﹣3，即m＝或m＝﹣（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣3，代入得：1+2m＝﹣3，即m＝﹣2，
综上，m的值是﹣2或，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式1．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当2≤x≤5时，函数y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口向下及抛物线顶点坐标，分类讨论x＝2，x＝5时y取最大值﹣1，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣h）2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝h，顶点坐标为（h，0）
将x＝2，y＝﹣1代入y＝﹣（x﹣h）2得﹣1＝（2﹣h）2，
解得h＝3或h＝1，
当h＝3时，2＜3＜5，函数最大值为0，不符合题意，
当h＝1时，x＞1时，y随x增大而减小，x＝2时，函数取最大值，符合题意，
当x＝5，y＝﹣1时，﹣1＝（5﹣h）2，
解得h＝6或h＝4，
当h＝4时，2＜4＜5，不符合题意，
当h＝6时，x＜6时，y随x增大而减小，x＝5时，函数取最大值，符合题意，
∴h＝1或6，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
变式2．已知二次函数y＝x2﹣2bx+5（b为常数），当x≥﹣1时，y的最小值为1，则b的值为（ ）
A． B．2或﹣2 C．2或﹣2或 D．2或
【分析】根据二次函数y＝x2﹣2bx+5（b为常数），当x≥﹣1时，y的最小值为1，利用二次函数的性质和分类讨论的方法可以求得b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2bx+5＝（x﹣b）2﹣b2+5，当x≥﹣1时，y的最小值为1，
∴当b≤﹣1时，x＝﹣1时取得最小值，1+2b+5＝1，得b＝﹣，
当b＞﹣1时，x＝b时取得最小值，﹣b2+5＝1，得b1＝2，b2＝﹣2（舍去），
由上可得，b的值是2或﹣，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
变式3．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣4，则m的值为 2或﹣ ．
【分析】分三种情况讨论，利用二次函数的增减性结合图象确定出函数值y取最小值﹣4时对应的x的值，代入解析式即可解决问题．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），的对称轴为x＝m，
∵当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，
∴①若m＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，函数值y的最小值为﹣4，
可得：﹣4＝1+2m，
解得：m＝﹣；
②若﹣1≤m≤3，x＝m时，函数值y有最小值为﹣4，可得﹣4＝﹣m2，解得m＝2；
③若﹣1≤x≤3＜m，x＝3时，函数值y的最小值为﹣4，
可得：﹣4＝9﹣6m，解得m＝，不合题意；
∴m的值为2或﹣．
故答案为2或﹣．
【点评】本题考查了二次函数的最值确定问题，分类讨论及数形结合思想的应用是解题的关键．
例2．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
变式1．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，从而求得a+c＝9．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵当x＝1时，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c；
∴当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，
∵当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，
∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，
∴a+c＝9，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，表示出函数的最值，进而得到关于a、c的等式是解题的关键．
变式2．当﹣3≤x≤2时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝ 或﹣ ．
【分析】求得对称轴，根据x的取值，分a＞0和a＜0两种情况讨论求得即可．
【解答】解：∵函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴当a＞0时，则x＝﹣3时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，
∴把x＝﹣3代入得，9a+12a+2＝8，
解得a＝；
∴当a＜0时，则x＝2时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，
∴把x＝2代入得，4a﹣8a+2＝8，
解得a＝﹣，
故答案为或﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
变式3．已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k（k为常数，且k≤3），当﹣1≤x≤3时，该抛物线对应的函数值有最大值﹣7，则k的值为 或﹣6 ．
【分析】根据二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，分类讨论抛物线顶点纵坐标为函数最大值，x＝﹣1或x＝3时y取最大值．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k＝﹣（x﹣k）2﹣3k，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（k，3k），
当﹣1≤k≤3时，
y＝3k＝7为函数最大值，
解得k＝，
将x＝﹣1代入y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k＝﹣1﹣2k﹣k2﹣3k＝﹣k2﹣5k﹣1，
当k＜﹣1时，x＝﹣1时，y取最大值，即﹣k2﹣5k﹣1＝﹣7，
解得k1＝﹣6，k2＝1（不符合题意，舍去），
将x＝3代入y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k＝﹣9+6k﹣k2﹣3k＝﹣k2+3k﹣9，
当k＞3时，x＝3时，y取最大值，即﹣k2+3k﹣9＝﹣7，
解得k3＝1（不符合题意，舍去），k4＝2（不符合题意，舍去），
综上所述k＝或﹣6，
故答案为：或﹣6．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
例3．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3，当m≤x≤m+3时，函数y的最大值为5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≥﹣2 C．﹣2≤m≤1 D．﹣1≤m≤2
【分析】先根据二次函数的解析式确定对称轴及最大值，再结合图象判断：当自变量m+3在对称轴上或在对称轴右侧即m+3≥1时且自变量m在对称轴上或在对称轴左侧即m≤1时，函数能取到最大值5，由此列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴对称轴是直线x＝1，
∵﹣2＜0，
∴函数的最大值为5．
又∵当m≤x≤m+3时，函数y的最大值为5，
∴，
解得：﹣2≤m≤1．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
变式1．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是 ﹣3≤a≤2
【分析】求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝2，
当a＜2＜a+5时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝2时有最小值﹣1，
当a≥2时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a时有最小值﹣1，
∴a2﹣4a+3＝﹣1，
解得a＝2，
当a+5≤2时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a+5时有最小值﹣1，
∴（a+5）2﹣4（a+5）+3＝﹣1，
解得a＝﹣3，
∴a的取值范围是﹣3≤a≤2，
故答案为﹣3≤a≤2．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
变式2．已知二次函数y＝x2+4x+3，当t≤x≤t+1时函数的最小值为0，则t的值为 ﹣4或﹣1 ．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，分类讨论x＝t，x＝t+1时y取最小值．
【解答】解：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1），
当t+1＜﹣2时，t＜﹣3，
当x＝t+1时，y＝（t+3）2﹣1＝0为最小值，
解得t＝﹣2（舍）或t＝﹣4，
当t＞﹣2时，x＝t时，y＝（t+2）2﹣1＝0为最小值，
解得t＝﹣1或t＝﹣3（舍），
故答案为：﹣4或﹣1．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．
变式3．若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为 或﹣2 ．
【分析】分三种情况讨论列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2+2m，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3，
①当3＜m时，
在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，y＝（m﹣3）2+2m＝m2﹣4m+9为最小值，
∵m2﹣4m+9＝5，
解得m＝2，不合题意；
②当m≤3≤m+2时，
∴x＝3，y＝（x﹣3）2+2m＝2m为最小值，
∴2m＝5，解得，m＝；
③当3＞m+2，即m＜1，
在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝m+2时，y＝（m+2﹣3）2+2m＝m2+1为最小值，
∴m2+1＝5．解得，m1＝2（舍去），m2＝﹣2；
综上，m的值为或﹣2．
故答案为或﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
变式4．二次函数y＝﹣x2+6x+3，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是12，最小值是﹣4，则实数a的取值范围是 3≤a≤7 ．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线顶点坐标为（3，12），从而可得a最小值为3，将y＝﹣4代入解析式求a的最大值．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（3，12），
∴a≥3时，y可以取最大值12，
将y＝﹣4代入y＝﹣x2+6x+3得﹣4＝﹣x2+6x+3，
解得x＝7或x＝﹣1，
∴a取最大值为7，
故答案为：3≤a≤7．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数最值的方法，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
例4．关于x的二次函数y＝x2+bx+b2在b≤x≤b+3范围内，函数值有最小值21，则b的值是（ ）
A． 或2 B． 或±2 C．﹣4或 D．1或﹣4或
【分析】分三种情况进行讨论：
①当﹣＜b，即b＞0时，则有3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；
②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，则有b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，则有3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4．
【解答】解：y＝x2+bx+b2的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；
②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x＝﹣，y＝b2为最小值，
∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
故b的值为或﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值．
变式．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣1，当4﹣m≤x≤2m+6时，函数有最小值m，则m＝ 1.25 ．
【分析】分三种情况讨论：①当2m+6≤m时，②当4﹣m≤m≤2m+6时，③当m＜4﹣m时．
【解答】解：根据4﹣m≤x≤2m+6可得：m≥﹣，
分三种情况讨论：
当2m+6≤m时，即m≤﹣6时，不合题意；
当4﹣m≤m≤2m+6时，即m≥2时，此时x＝m时，抛物线取得最小值ymin＝m，此时m＝﹣1
当m＜4﹣m时，即﹣≤m＜2时，此时x＝4﹣m时，抛物线取得最小值ymin＝m，即（4m﹣5）（m﹣3）＝0
此时m＝1.25或3（舍去），
综上，m＝1.25，
故答案为1.25．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，注意分类讨论思想的运用．
例5．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（其中x是自变量），当x ﹣2时．y随x的增大而增大，且﹣6 x 5时，y的最小值为﹣7，则a的值为（ ）
A．3 B． C． D．﹣1
【分析】由x ﹣2时．y随x的增大而增大可判断抛物线开口方向，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，进而求解．
【解答】解：∵x ﹣2时．y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下，即a＜0，
∵y＝ax2﹣4ax+5，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2．
∵2﹣（﹣6）＞5﹣2，
∴x＝﹣6时，y＝36a+24a+5＝﹣7为最小值，
解得a＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
变式．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．并且，当﹣1≤x≤3时，y有最小值1．则a的值为 ．
【分析】解析式化成顶点式，得到顶点为（2，3a2﹣4a﹣6），对称轴为直线x＝2，根据当x＜0时，y随x的增大而减小，即可得到开口向上，a＞0，由当﹣1≤x≤3时，y有最小值1可知顶点为（2，1），即可得到3a2﹣4a﹣6＝1，解方程组即可求得a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6＝a（x﹣2）2+3a2﹣4a﹣6，
∴顶点为（2，3a2﹣4a﹣6），对称轴为直线x＝2，
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴开口向上，a＞0，
∵当﹣1≤x≤3时，y有最小值1，
∴顶点为（2，1），
∴3a2﹣4a﹣6＝1，
解得，a＝或a＝﹣1，
∵a＞0，
a的值为，
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，得到关于a的方程是解题的关键．
例6．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，＝﹣3，﹣＞0，再根据当x≤0时，函数的最小值为﹣2，即可得到c的值，然后将c的值代入入＝﹣3，即可得到b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，
∴该函数的对称轴在y轴右侧，＝﹣3，﹣＞0，
∴b＜0，
∵当x≤0时，函数的最小值为﹣2，
∴当x＝0时，y＝c＝﹣2，
将c＝﹣2代入＝﹣3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是求出c的值，利用二次函数的性质解答．
变式．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ﹣3 ．
【分析】由m≤x≤n且mn＜0，可得m＜0，n＞0，分类讨论0＜n≤1和n＞1求解．
【解答】解：∵m≤x≤n且mn＜0，
∴m＜0，n＞0，
①当0＜n≤1时，x＝n时y取最大值，
即﹣（n﹣1）2+5＝5n，
解得n＝1或n＝﹣4（舍），
x＝m时y取最小值，
即﹣（m﹣1）2+5＝5m，
解得m＝1（舍）或m＝﹣4，
∴m+n＝﹣3．
②当n＞1时，y＝5n＝5为最大值，
解得n＝1（舍）．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数最值的方法，分类讨论求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数的性质专题复习（二）——最值
A组
例1．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
变式．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+1，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，则y的取值范围为（ ）
A．1≤y≤3 B．﹣5≤y≤3 C．﹣5≤y≤1 D．﹣3≤y≤3
例2．已知二次函数y＝ax2+3x+a2+1．当x＝1时，函数y有最大值，则二次函数的表达式为 ．
变式．已知二次函数y＝2x2﹣2（a+b）x+a2+b2，a，b为常数，当y达到最小值时，x的值为 .
例3．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m＞0），在﹣2≤x≤3时，有最大值6，则m＝ ．
变式1．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）
（I）抛物线的对称轴为 ；
（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是 ．
变式2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0），当﹣1≤x≤2时函数的最大值为4，则a的值为 ．
变式3．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
B组
例1．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣3，则m的值是（ ）
A． B． C．﹣2或 D．或
变式1．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当2≤x≤5时，函数y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
变式2．已知二次函数y＝x2﹣2bx+5（b为常数），当x≥﹣1时，y的最小值为1，则b的值为（ ）
A． B．2或﹣2 C．2或﹣2或 D．2或
变式3．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣4，则m的值为 ．
例2．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
变式1．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
变式2．当﹣3≤x≤2时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝ ．
变式3．已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k（k为常数，且k≤3），当﹣1≤x≤3时，该抛物线对应的函数值有最大值﹣7，则k的值为 ．
例3．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3，当m≤x≤m+3时，函数y的最大值为5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≥﹣2 C．﹣2≤m≤1 D．﹣1≤m≤2
变式1．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是 .
变式2．已知二次函数y＝x2+4x+3，当t≤x≤t+1时函数的最小值为0，则t的值为 ．
变式3．若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为 ．
变式4．二次函数y＝﹣x2+6x+3，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是12，最小值是﹣4，则实数a的取值范围是 ．
例4．关于x的二次函数y＝x2+bx+b2在b≤x≤b+3范围内，函数值有最小值21，则b的值是（ ）
A． 或2 B． 或±2 C．﹣4或 D．1或﹣4或
变式．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣1，当4﹣m≤x≤2m+6时，函数有最小值m，则m＝ ．
例5．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（其中x是自变量），当x ﹣2时．y随x的增大而增大，且﹣6 x 5时，y的最小值为﹣7，则a的值为（ ）
A．3 B． C． D．﹣1
变式．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．并且，当﹣1≤x≤3时，y有最小值1．则a的值为 ．
例6．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3
变式．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
