2022-2023学年浙教版九年级数学下册第2章 直线与圆的位置关系专题复习 与切线有关的辅助线（含答案）

浙教版九下 第2章 直线与圆的位置关系专题复习 与切线有关的辅助线
一、选择题（共4小题）
1. 已知 是 的外接圆， 的半径为 ， 是 的高， 是 的中点， 与 相切于点 ，交 的延长线于点 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 其中正确的结论是
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
2. 如图所示，在 中，，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 的切线，与边 交于点 ．若 ，，则 长为
A. B. C. D.
3. 如图所示， 为 的直径 延长线上的一点， 与 相切，切点为 ，点 是 上一点，连接 ．已知 ．下列结论：① 与 相切；②四边形 是菱形；③ ；④ ．其中正确的结论的个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 如图，直线 ， 与 和 分别相切于点 和点 ，点 和点 分别是 和 上的动点， 沿 和 平移，若 的半径为 ，，则下列结论不正确的是
A. 和 的距离为
B. 当 与 相切时，
C.
D. 当 时， 与 相切
二、填空题（共4小题）
5. 如图所示，直线 切 于点 ， 交 于点 ，若 ，，则 ．
6. 如图所示， 是 的直径，点 ， 是圆上的两点，且 平分 ，过点 作 延长线的垂线 ，垂足为 ．若 的半径为 ，，则图中阴影部分的面积是 ．
7. 如图所示，正方形 的边长为 ， 的直径为 ，将正方形沿 折叠，点 落在圆上的点 处，则 的长为 ．
8. 如图所示，点 为 的内心，延长 交 的外接圆 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
（1）则直线 与 的位置关系是 ；
（2）若 ，，，则 ．
三、解答题（共8小题）
9. 如图所示，， 分别是半圆 的直径和弦， 于点 ，过点 作半圆 的切线 ， 与 的延长线交于点 ．连接 并延长与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是半圆 的切线；
（2）若 ，，求线段 的长．
10. 已知，在 中，． 和 相切于点 ．
（1）如图所示，若 的平分线交边 于点 ，求证： 与 相切．
（2）当 经过点 时，设点 ， 分别为 与边 ， 的另一个交点，连接 ，若点 正好为 的三等分点，求线段 的长．
11. 如图所示，已知 是 的直径， 与 相交，点 是 上一点，经过点 的直线交 于点 ．
（1）若 平分 ， 于点 ，求证： 是 的切线．
（2）若 是 的切线， 于点 ， 是 的平分线吗 请说明理由．
（3）若 是 的切线， 平分 ，，，求 的长度．
12. 如图所示，已知： 是 的直径， 是 上一点， 于点 ，过点 作 的切线，交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： 与 相切．
（2）连接 ，若 ，，求 的长与 的值．
13. 如图所示， 内接于半圆 ， 是直径，过点 作直线 ，若 ．
（1）求证： 是半圆 的切线；
（2）设 是 的中点，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．求证：；
（3）在（2）的条件下，若 的面积为 ，且 ，，试求 的面积（用 ，， 的代数式表示）．
14. 如图所示，在 中，，以 为直径的 分别交 ， 于点 ，，点 在 的延长线上，且 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ，，求 和 的长．
15. 如图1所示，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，顶点 ， 分别在 轴， 轴的正半轴上，且 ，，矩形对角线 ， 相交于点 ，过点 的直线与边 ， 分别相交于点 ，．
（1）①直接写出点 的坐标： ．
②求证：．
（2）如图2所示，以 点为圆心、 为半径的圆弧交 于点 ，若直线 与 所在的圆相切于矩形内一点 ，求直线 的函数表达式．
（3）在（2）的结论下，梯形 的内部有一点 ，当 与 ，， 都相切时，求 的半径．
16. 如图所示，四边形 是平行四边形．以 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，．若 是 的切线，解答下列问题：
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，，求平行四边形 的面积．
答案
1. D
2. B
3. A
4. B
【解析】连接 ，，
根据切线的性质和 ，得到 为 的直径，则 和 的距离为 ，A 正确．
当 与 相切时，连接 ，，当 在 左侧时，根据切线长定理得 ，在 中，利用正切的定义可计算出 ，在 中，由于 ，可计算出 ；当 在 右侧时，，所以 的长为 或 ，B 错误．
当 时，作 于点 ，延长 交 于点 ，易证得 ，则 ，于是可判断 垂直平分 ，所以 平分 ，根据角平分线的性质得 ，然后根据切线的判定定理得到 为 的切线，D 正确．
5.
6.
7.
8. 相切，
9. （1） 如图所示，连接 ，
， 经过圆心 ，
．
．
．
．
是半圆 的切线，
．
，即 ．
是半圆 的切线．
（2） 是直径，
．
，
．
是半圆 的切线，．
，．
．
．
10. （1） 如图1所示，连接 ，，过点 作 于点 ．
中，， 平分 ，
．
是 的切线，
．
．
．
，
．
．
．
是 的半径，
与 相切．
（2） 如图 2所示，过点 作 于点 ，连接 ．
点 正好为 的三等分点，
．
．
．
．
是 的切线，
．
四边形 是矩形．
的半径为 ，
．
中，，
．
， 是直径，
．
是等腰直角三角形．
．
11. （1） 如图所示，连接 ．
，
．
平分 ，
．
．
，
．
又 是半径，
是 的切线．
（2） 是 的平分线．
理由：如图所示，连接 ．
是 的切线，
．
，
．
．
，
．
，
即 是 的平分线．
（3） 如图所示，连接 ，．
是 的切线，
．
是 的直径，
．
．
，
．
．
平分 ，
．
，
即 ，解得 ．
12. （1） 如图1所示，连接 ．
，，
．
．
．
又 是 的切线，
．
．
与 相切．
（2） 设 ，则 ，，
，即 ，
，即 ．
．
如图2所示，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
，
．
又 ，
．
，即 ．
又 是 的中点，
，
，
，
，
．
，
．
．
13. （1） 是直径，
．
．
又 ，
，即 ．
．
是半圆 的切线．
（2） 如图所示，连接 交 于点 ．
是 的中点，
，．
，，，
．
．
（3） 如图所示，连接 ．
由（2）知 ，
．
又 ，
．
，即 ．
．
是直径，
．
，．
．
．
．
，易证 ．
．
．
14. （1） 如图所示，连接 ，
因为 是 的直径，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
因为 是 的直径，
所以直线 是 的切线．
（2） 如图所示，过点 作 于点 ．
因为 ，，
所以 ．
因为在 中，，，
所以 ．
因为 ，．
所以 ．
在 中，由勾股定理得 ，
所以 ，．
在 中，可求得 ，，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
15. （1） ① ；
② 矩形 ，
，．
．
．
．
（2） 如图1所示，连接 并延长 交 于点 ，连接 ．
，
是 的中点．
，
．
．
．
，，
四边形 是矩形．
，．
切 于点 ．
切 于点 ，．
可设 ，．
在 中，有 ，即 ，解得 ，
，．
．设直线 的函数表达式为 ，把点 ， 的坐标代入得
解得
直线 的函数表达式为 ．
（3） 如图2所示，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
，
，
，
切 于点 ， 切 于点 ．
平分 ，
．
四边形 是矩形，
，．
（已证），
，．
四边形 是平行四边形．
．
．
，
，即 平分 ．
与 ，， 都相切，
和 的两边都相切的圆的圆心在 的平分线上，即在 上．
圆心 必在 上．
．
．设半径为 ，，解得 ．
16. （1） 如图所示，连接 ，则 ．
．
，
，，
．
，
（）．
是 的切线，
，
为 的切线．
（2） 在平行四边形 中，．
，，
．