2022-2023学年浙教版八年级数学上册1.1.5全等三角形 提升练习 （含答案）

浙教版八年级上册1.1.5全等三角形提升练习
1．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE.求证：
（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG.
2．如图，在 中， ， 是 边的高.将 边对折，折痕为 ，连接 ， 平分 .
（1）求 的度数.
（2）连接 ，求证： .
3．如图，在 和 中， ， ， ， ，垂足为M.连接 ，连接 并延长交 的延长线于点G.
（1）求证 ；
（2）若 ，求证 .
4．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上.
（1）求证：∠EAC＝∠BAD；
（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.
5．如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
6．如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.
（1）求证 DOB≌ AOC；
（2）求∠CEB的大小；
（3）如图2， OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将 OCD绕点O旋转（ OAB和 OCD不能重叠），求∠CEB的大小.
7．在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 .
（1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时，
①求证： ≌ ；
②求证： ；
（2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
8．如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
9．如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．
（1）求证：OC＝OD；
（2）求证：OP是CD的垂直平分线．
10．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交边AC于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数．
11．在中，，点D是线段上一点，连接，在右侧作，且，连接，已知．
（1）求的度数；
（2）求的长；
12．如图，在四边形ABCD中，和互补，CD＝CB，于E．
（1）求证：AC平分；
（2）试猜想AB，AD，AE的数量关系并证明你的猜想．
13．在边长为8的等边三角形 中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒.
（1）如图1，若 ，当t取何值时 ？
（2）若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时， 为等边三角形（在图2中画出示意图）.
（3）如图3，将边长为 的等边三角形 变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且 ， ，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当 ， 全等时，直接写出a的值.
14．如图，△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度向点C运动，同时，动点Q在线段CA上由点C向点A运动，连接DP，PQ．设点P运动的时间为t秒，回答下列问题：
（1）当点Q的运动速度为　 　厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等；
（2）若动点P的速度不变，同时动点Q以5厘米/秒的速度出发，两个点运动方向不变，沿△ABC的三边运动．
①请求出两点首次相遇时的t值，并说明此时两点在△ABC的哪一条边上；
②在P、Q两点首次相遇前，能否得到以PQ为底的等腰△APQ？如果能，请直接写出t值；如果不能，请说明理由．
15．已知：如图，点E在线段BC上，且△ABC≌△AED．
求证：
（1）∠B＝∠AEB；
（2）AE平分∠BED．
16．下面是小明解决一道课本练习题的过程及反思，请认真阅读并完成相应学习任务．
一道课后练习题的解答与思考：如图，要测量池塘两岸相対两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么？
理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°．
∴在 ABC和 EDC中，
∴ ABC≌ EDC（依据1）
∵AB＝ED（依据2）
∴测得DE的长就是AB的长．
反思：由于本题中AB ED，且C为BD的中点，因而可以用全等三角形的有关知识把AB的长度转化为DE的长度．所以当我们遇到“平行线和中点”的有关问题时，常常可以构造“X”型全等三角形解决问题，达到转化线段或角的目的．
（1）任务一：上述材料中的依据1，依据2分别指的是什么？
①依据1：　 　；
②依据2：　 　．
（2）任务二：如图，四边形ABCD中，AD BC，点E是CD的中点，AE⊥BE．求证：AB＝AD＋BC．
17．综合与实践：初步探究：
（1）如图1，直线 同侧有两定点D，E，点A，B，C是直线 上的三个动点．在运动过程中，当∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝60°时，求∠D和∠E的数量关系．
（2）当点A，B，C三个动点运动到如图2所示的位置时，有∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°，求此时∠D和∠E的数量关系；若∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝ 时，∠D和∠E又有什么样的数量关系？（请直接写出这两个问题的答案）
（3）在图2中，如果∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°仍然存在，再添加条件BD＝EB，求证：AC＝AD＋CE．
18．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.
19．如图△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm．
（1）求∠1的度数；
（2）求：AC的长．
20．如图，已知△ABC≌△EBD，
（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；
（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数.
21．如图，在 中， cm， ， cm，点F从点B出发，沿线段 以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段 以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动， 与 交于点D，设点E的运动时间为t（秒）
（1）分别写出当 和 时线段 的长度（用含t的代数式表示）
（2）当 时，求t的值；
（3）当 时，直接写出所有满足条件的 值.
22．
（1）如图1中， ， ，点B在直线上l上，过A、C两点作直线l的连线段，垂足分别为点D、点E，求证： .
（2）如图2， 中， ， ， ，点P从A点出发沿 路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿 路径向终点运动，终点为A点，点P与Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作 于E， 于F.
问：点P运动多少时间时， 与 全等？请说明理由.
23．如图，在 中， ， 于点D，点E在边 上， 交 的延长线于点F.
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： .
24．如图，点D，E分别在AC，AB上，AD=AE，BE=CD.
（1）求证：BD=CE.
（2）若∠A=55° ，∠C=30°，求∠COD的度数.
25．如图，点B、E、C、F在同一直线上，△ABC≌△DEF.
（1）求证：AB DE；
（2）若AC与DE相交于点O，AB=6，OE=4，求OD的长.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明： ，
，即 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是等腰三角形，
；
（2）证明： ，
，
由（1）已证： ，
，即 ，
在 和 中， ，
.
2．【答案】（1）解： 是 的对称轴，
， ，
.
是 边的高，
.
平分 ，
.
又 ，
.
.
， .
.
，
，
，
.
（2）证明：
， ，
， .
是等边三角形.
.
.
3．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ （AAS）；
（2）证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ .
4．【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.
即∠EAC＝∠BAD；
（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，
∴∠AEC＝∠C＝ ×(180°－∠EAC)＝ ×(180°－42°)＝69°.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C＝69°，
∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.
5．【答案】（1）证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，
∵∠DFB=∠C+∠CDE，
∠DFB=∠E+∠CBE，
∴∠CDE=∠CBE，
∵∠ABD=∠CBE=20°，
∴∠CDE=20°.
6．【答案】（1）证明：如图1，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠BOD=∠AOC=120°，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
（3）解：如图2，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD；
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∴ ；
即∠CEB的大小不变.
7．【答案】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
8．【答案】（1）证明：
∵，
∴．
又∵，，
∴（AAS）．
（2）解：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
9．【答案】（1）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
在Rt△POC与Rt△POD中，
∵，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD；
（2）证明：
∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠COP＝∠DOP ，
∵由（1）知，OC＝OD，
∴在△COE与△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEO ，
∵∠CEO+∠DEO =180°，
∴∠CEO＝∠DEO= 90°，
∴OE⊥CD，
∴OP是CD的垂直平分线．
10．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴，
在△ABE和△DBE中，
，
∴；
（2）解：∵∠A=100°，∠C=50°，
∴∠ABC=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∴．
11．【答案】（1）解：∵，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
，
由勾股定理得：，
∵，且，
由勾股定理得：，
即，
∴．
12．【答案】（1）证明：过点C作于F
∵在四边形中
∴
∵
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
∵，
∴平分.
（2）解：
证明：由（1）可得
∴
在和中
∴，
∴
∵，
∴.
13．【答案】（1）解：如图1
是等边三角形，PQ//AC，
， ，
又 ，
，
是等边三角形，
，
由题意可知： ，则 ，
，
解得： ，
故t的值为2时，PQ//AC.
（2）解：如图2
①当点Q在边BC上时，
此时 不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若 为等边三角形，则 ，
由题意可知， ， ，
，
即： ，
解得： ，
故当 秒时， 为等边三角形；
（3）解：如图3：
，
当 ， 全等时，分两种情况讨论，
当 时，
设经过 秒后全等，
，
根据 ，
，
解得： ，
即 时， ， 全等；
当 时，
设经过 秒后全等，
，
根据 ，
即 ，
解得： ，
，
，
解得： ，
综上：当 ， 全等时，a的值为1或 .
14．【答案】（1）或2
（2）解：①∵当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，
∴，
解得，
∵，
∴两个点在△ABC的边AC上首次相遇；
②如图①所示，当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，过点A作AE⊥BC于E，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
同理可求出当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，结果与上面相同；
如图②所示，当P在AC上，Q在AB上时，
∴AQ=AP，
∴，
解得；
如图③所示，当P在AC上，Q在BC上时，同图①可知此时不存在t使得AQ=AP，
综上所述，当t=0或，使得△APQ是以PQ为底的等腰三角形．
15．【答案】（1）证明：∵△ABC≌△AED，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB；
（2）证明：∵△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠AED，
又∠B＝∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB，
∴AE平分∠BED．
16．【答案】（1）“两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等”或“角边角”或“ASA”；全等三角形的对应边相等
（2）证明：延长AE，与BC的延长线交于点F，
∵AD//CF
∴∠DAE＝∠F
∵点E是CD的中点
∴DE＝CE
在△ADE和△FCE中
∴△ADE≌△FCE
∴AD＝FC，AE＝FE
又∵AE⊥BE
即BE垂直平分AF
∴BA＝BF
∵BF＝BC＋CF
∴AB＝AD＋BC．
17．【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
深入探究：
（2）解：按照（1）中的方法，可得
∵
∴
当 时，
∴
故答案为 ，
拓展应用：
（3）证明：∵
∴
∵
∴
∴
在 和 中
∴
∴
∵
∴
18．【答案】（1）解：当 t=1 时，AP=BQ=1，BP=AC=3， 又∠A=∠B=90°，在△ACP 和△BPQ 中，
∴ △ACP≌△BPQ（SAS）
∴ PC=PQ
∠ACP=∠BPQ，
∴ ∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°
∴ ∠CPQ=90°，即线段 PC 与线段 PQ 垂直
（2）解：①若△ACP≌△BPQ
则AC=BP，AP=BQ，
解得
②若△ACP≌△BQP ，
则AC=BQ，AP=BP，
解得
综上所述，存在 或
使得△ACP与-BPQ全等.
19．【答案】（1）解：∵
∴
由三角形外角的性质可得：
∠1的度数为
（2）解：∵
∴
∴
即AC的长为
20．【答案】（1）解：∵△ABC≌△EBD，
∴AB=BE=6，
∵AD=AB-BD，BD=4，
∴AD=6-4=2；
（2）解：∵△ABC≌△EBD，
∴∠A=∠E=30°，
∵∠ACE=∠A+∠B，∠B=48°，
∴∠ACE=30°+48°
=78°.
21．【答案】（1）解：∵BC=8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，
∴当 时，点F是从B向C运动，当 ，F是从C向B运动，
∴当 时， ，当 时， ；
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴当 ， 解得 不符合题意；
当 时， ，解得 ，
∴当 ， ；
（3）所有满足条件的 值是 或4
22．【答案】（1）证明：∵ ， ∴
∵∴
∵∴
在 和 中
∴
（2）解：设运动时间为t秒时， ，
∵ ，∴斜边 ，
有四种情况：①P在 上，Q在 上，
， ，∴ ，
∴ ；
②P、Q都在 上，此时P、Q重合，
∴ ，∴ ；
③P在 上，Q在 上时，此时不存在：
理由是： ，Q到 上时，P也应在 上；
④当Q到A点（和A重合），P在 上时，
∵ ， ， ，
∴∴
∵∴ 符合题意
答：点P运动1或3.5或12秒时， 与 全等.
23．【答案】（1）解： ，
.
（2）证明： ， 于点
.
24．【答案】（1）证明：∵AD=AE， BE=CD，
∴AD+DC=AE+BE，即AC=AB，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE.
（2）解：由(1)得，∠ADB=∠AEC，
∴∠ADB=∠AEC=180°-∠A-∠C=180°-55°-30°=95°，
∴∠COD=∠ADB-∠C=95°-30°=65°.
25．【答案】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE=6，
∵OE=4，
∴OD=DE-OE=6-4=2.