2022-2023学年浙教版九年级数学上册3.3垂径定理 同步练习题 （含答案）

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（　　）
A．9 B．8 C． D．3
2．如图，已知OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P，若BC＝8，AP＝2，则⊙O的半径
长为（　　）
A．5 B．6 C．10 D．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在⊙O中，点A，B在圆上，∠AOB＝120°，弦AB的长度为4√3，则半径OA的长度为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．3
7．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（　　）
A． B．8 C． D．
9．如图，⊙O中，弦AB⊥AC，AB＝4，AC＝2，则⊙O直径的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．
10．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　）
A．5 B．4 C． D．2
11．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（　　）
A．5 B． C．2 D．
12．如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（　　）
A．2 B．2 C． D．
二．填空题
13．在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为　 　．
14．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，点P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是 　 　．
15．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为　 　cm．
16．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是　 　．
三．解答题
17．如图，在同心⊙O中，大圆的半径为5，大圆的弦AB与小圆交于CD，AB＝8，CD＝3．
（1）求AC的长；
（2）求小圆的半径．
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
20．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：连接AC，OC，
∵CD⊥OA，垂足为D，BC＝，
∴∠ADC＝∠ODC＝90°，CD＝BC＝，
∵AC＝3，
∴AD＝，
∵OA＝OC，
∴OD＝OC﹣AD＝OC﹣1，
在Rt△OCD中，OC2＝CD2+OD2，
即OC2＝（）2+（OC﹣1）2，
解得OC＝，
即⊙O的半径长为，
故选：C．
2．解：如图，连接OB，设OB＝OA＝x．
∵OA⊥BC，
∴PB＝PC＝BC＝4，
在Rt△OPB中，OB2＝OP2+PB2，
∴x2＝（x﹣2）2+42，
∴x＝5，
∴⊙O的半径为5．
故选：A．
3．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
4．解：连接EB，如图所示：
∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD＝1，OC＝9，
∴CD＝10，
∴EB＝ED＝CD＝5，OE＝5﹣1＝4，
∵AB⊥CD，
∴AO＝BO＝AB，OB＝＝＝3，
∴AB＝2OB＝6；
故选：C．
5．解：如图，OA＝12，则OC＝6，
根据勾股定理可得，弦的一半＝＝6，
∴弦＝12．
故选：B．
6．解：过O作OC⊥AB于C，
则AC＝BC＝AB，∠ACO＝∠BCO＝90°，
∵弦AB的长度为4，
∴AC＝BC＝2，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OC＝OA，
∵OA2＝OC2+AC2，
∴OA2＝（OA）2+（2）2，
解得OA＝4，
故选：B．
7．解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
8．解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故选：D．
9．解：连接BC，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，
∵AB＝4，AC＝2，
∴BC＝．
故选：A．
10．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得
DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得
AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，
解得DE＝，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．
故选：C．
11．解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2，
故选：C．
12．解：如图，连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝2，
即CD的最大值为2，
故选：B．
二．填空题
13．40cm解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB＝160cm，
∴OA＝OE＝100cm，AM＝80cm，
∴OM＝＝＝60cm，
∴ME＝OE﹣OM＝100﹣60＝40cm．
故答案为40cm．
14．解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，
∵AB＝8cm，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OA＝×10＝5cm，
∴OE＝＝＝3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm，
故答案为3cm≤OP≤5cm．
15．解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME＝OE＝OC，
在直角三角形COE中，CE＝＝，
折痕CD的长为2×＝（cm）．
16．解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵AB＝2，
∴AE＝，PA＝2，
∴PE＝1．
∵点D在直线y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD＝．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴点D的横坐标为2，
∴OC＝2，
∴DC＝OC＝2，
∴a＝PD+DC＝2+．
故答案为：2+．
三．解答题
17．解：（1）
过O作OH⊥AB于H，
∵OH过O，OH⊥AB，AB＝8，CD＝3，
∴AH＝BH＝4，CH＝DH＝，
∴AC＝BD＝（AB﹣CD）＝；
（2）连接OA和OD，
∵OA＝5，AH＝4，
∴由勾股定理得：OH＝3，
∵HD＝，
∴由勾股定理得：OD＝＝，
即小圆的半径为．
18．解：如右图所示，作CP⊥AB于P．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝5．
由S△ABC＝AB CP＝AC BC，
得CP＝×3×4，所以CP＝．
在Rt△ACP中，由勾股定理，得：
AP＝＝．
因为CP⊥AD，所以AP＝PD＝AD，
所以AD＝2AP＝2×＝．
19．解：（1）如图，设圆心为O，连接OB，OC．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）连接ON．∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB＝3.6m，
∴CE＝4﹣3.6＝0.4（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.4＝6.1（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣6.12＝5.042，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈4.48m＜5m．
∴此货船不能顺利通过这座拱桥．
20．（1）证明：∵CD⊥AB
∴∠CEB＝90°
∴∠C+∠B＝90°，
同理∠C+∠CNM＝90°
∴∠CNM＝∠B
∵∠CNM＝∠AND
∴∠AND＝∠B，
∵，
∴∠D＝∠B，
∴∠AND＝∠D，
∴AN＝AD；
（2）解：设OE的长为x，连接OA
∵AN＝AD，CD⊥AB
∴DE＝NE＝x+1，
∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，
∴OA＝OD＝2x+1，
∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，
∴x2+42＝（2x+1）2．
解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴OA＝2x+1＝2×+1＝，
即⊙O的半径为．