探索勾股定理（二）—勾股定理的应用
一、选择题（共20小题）
1、已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（ ）
A、100 B、180
C、220 D、260
2、如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）
A、米 B、米
C、（+1）米 D、3米
3、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A、12≤a≤13 B、12≤a≤15
C、5≤a≤12 D、5≤a≤13
4、在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（ ）
A、一定不会 B、可能会
C、一定会 D、以上答案都不对
5、有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）
A、cm B、cm
C、cm D、cm
6、园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A、24米2 B、36米2
C、48米2 D、72米2
7、如图，小红从A地向北偏东30°，方向走100米到B地，再从B地向西走200米到C地，这时小红距A地（ ）
A、150米 B、100米
C、100米 D、50米
8、如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于（ ）
A、105m B、210m
C、70m D、105m
9、由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（ ）
A、8m B、10m
C、16m D、18m
10、小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A、2m B、2.5m
C、2.25m D、3m
11、放学后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40米/分，小林用了15分钟到家，小明用了20分钟到家，则他们两家的距离为（ ）
A、600米 B、800米
C、1000米 D、以上都不对
12、为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A、0.7米 B、0.8米
C、0.9米 D、1.0米
13、小明相知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（ ）
A、11米 B、12米
C、13米 D、14米
14、一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A、10米 B、15米
C、25米 D、30米
15、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里 B、30海里
C、35海里 D、40海里
16、如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（ ）
A、8cm B、10cm
C、4cm D、20cm
17、如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（ ）
A、9分米 B、15分米
C、5分米 D、8分米
18、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A、12米 B、13米
C、14米 D、15米
19、一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．
A、13，12，12 B、12，12，8
C、13，10，12 D、5，8，4
20、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A、12米 B、13米
C、14米 D、15米
二、填空题（共5小题）
21、钝角三角形的三边长分别为4，6，8，则其面积为 _________ ．
22、如图，在四边形ABDC中，连接BC，∠A=∠BCD=90°，∠D=30°，∠ABC=45°，如果，那么S四边形ABDC= _________ ．
23、如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 _________ 米．
24、（2008?莆田）如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是 _________ ．
25、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为 _________ mm．
三、解答题（共5小题）
26、在下列4×4各图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．
表示： _________ 表示： _________ 表示： _________ （注：横线上填入对应的无理数）
27、已知等腰三角形ABC，底边BC=20，D为AB上一点，且CD=16，BD=12，求AD的长．
28、定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
①摆出等边“整数三角形”；
②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．
29、如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，≈1.732）
30、小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）
探索勾股定理（二）—勾股定理的应用
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（ ）
A、100 B、180
C、220 D、260
考点：勾股定理的应用。
专题：数形结合。
分析：根据题意，画出图形，先设AE的长是x公尺，如图可得，BC=160公尺，AB=340公尺，利用勾股定理，可解答．
解答：解：设阿虎向西直走了x公尺，如图，
由题意可得，AB=340，AC=x+80，BC=160，
利用勾股定理得，（x+80）2+1602=3402，
整理得，x2+160x﹣83600=0，
x1=220，x2=﹣380（舍去），
∴阿虎向西直走了220公尺．
故选C．
点评：本题考查了勾股定理的应用，解答关键是根据题意画出图形，运用数形结合的思想，可直观解答．
2、如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）
A、米 B、米
C、（+1）米 D、3米
3、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A、12≤a≤13 B、12≤a≤15
C、5≤a≤12 D、5≤a≤13
考点：勾股定理的应用。
分析：最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
解答：解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．
即a的取值范围是12≤a≤13．
故选A．
点评：主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，有一定的难度．
4、在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（ ）
A、一定不会 B、可能会
C、一定会 D、以上答案都不对
5、有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）
A、cm B、cm
C、cm D、cm
考点：勾股定理的应用。
分析：根据题意构建直角三角形，直角边分别为木箱的高、底面的对角线，据此根据勾股定理求出木条的最大长度．
解答：解：由题意可知FG=5cm、EF=4cm、CG=3cm，连接EG、CE，
在直角△EFG中，
EG===cm，
在Rt△EGC中，EG=cm，CG=3cm，
由勾股定理得CE====5cm，
故选C．
点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6、园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A、24米2 B、36米2
C、48米2 D、72米2
7、如图，小红从A地向北偏东30°，方向走100米到B地，再从B地向西走200米到C地，这时小红距A地（ ）
A、150米 B、100米
C、100米 D、50米
考点：勾股定理的应用；方向角。
专题：应用题。
分析：根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
解答：解：在Rt△DAB中，
∵∠DAB=30°，AB=100，
∴DB=50，
勾股定理得，DA=50，
在Rt△DCA中，
∵BC=200，DB=50，
∴DC=150，
∵DA=50，
∴勾股定理得，AC=100．
故选B．
点评：此题主要考查学生对方向角及勾股定理在实际生活中的运用．
8、如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于（ ）
A、105m B、210m
C、70m D、105m
9、由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（ ）
A、8m B、10m
C、16m D、18m
考点：勾股定理的应用。
专题：应用题。
分析：根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
解答：解：由题意得BC=8m，AC=6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB==10米．
所以大树的高度是10+6=16米．
故选C．
点评：熟练运用勾股定理．熟记6，8，10是勾股数，简便计算．
10、小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A、2m B、2.5m
C、2.25m D、3m
11、放学后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40米/分，小林用了15分钟到家，小明用了20分钟到家，则他们两家的距离为（ ）
A、600米 B、800米
C、1000米 D、以上都不对
考点：勾股定理的应用。
专题：应用题。
分析：根据题意知：他们行走的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，得直角三角形的两条直角边分别是600米，800米，根据勾股定理求得他们两家的距离即可．
解答：解：如图：∵小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，即∠1=∠2=45°，故∠AOB=∠1+∠2=90°，即△AOB为直角三角形，
A、B分别为小明家和小林家，根据题意得，OA=40×20=800米，OB=40×15=600米，
根据勾股定理得，AB===1000米．
故选C．
点评：正确理解题意，注意两条直角边即是两人各自所走的路程，熟练运用勾股定理进行计算．
12、为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A、0.7米 B、0.8米
C、0.9米 D、1.0米
13、小明相知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（ ）
A、11米 B、12米
C、13米 D、14米
考点：勾股定理的应用。
专题：应用题。
分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
解答：解：由题意得，AB为旗杆的高，AC=AB+1，BC=5米，求AB的长．
已知AB⊥BC，根据勾股定理得AB2==，解得，AB=12米．
所以旗杆的高度为12米．
故选B．
点评：此题是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用勾股定理解答．
14、一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A、10米 B、15米
C、25米 D、30米
考点：勾股定理的应用。
分析：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．
解答：解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC，
而CA=5米，
∴AB=10米，
∴AB+AC=15米．
所以这棵大树在折断前的高度为15米．
故选B．
点评：本题主要利用定理﹣﹣在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．
15、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里 B、30海里
C、35海里 D、40海里
16、如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（ ）
A、8cm B、10cm
C、4cm D、20cm
考点：勾股定理的应用。
分析：桶内能容下的最长的木棒长是圆桶沿底面直径切面的长方形的对角线长，所以只要求出桶的对角线长则可．
解答：解：圆桶最长对角线长为：=4cm，
桶内能容下的最长的木棒长为：4cm．
故选C．
点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
17、如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（ ）
A、9分米 B、15分米
C、5分米 D、8分米
考点：勾股定理的应用。
分析：先利用勾股定理计算出墙高，当梯子的顶端沿墙下滑4分米后，也形成一直角三角形，解此三角形可计算梯的底部距墙底端的距离，则可计算梯子的底部平滑的距离．
解答：解：墙高为：=24分米
当梯子的顶端沿墙下滑4分米时：则梯子的顶部距离墙底端：24﹣4=20分米
梯子的底部距离墙底端：=15分米，则梯的底部将平滑：15﹣7=8分米．
故选D．
点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
18、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A、12米 B、13米
C、14米 D、15米
考点：勾股定理的应用。
专题：应用题。
分析：根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
解答：解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米．
故选A．
点评：此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．
19、一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．
A、13，12，12 B、12，12，8
C、13，10，12 D、5，8，4
考点：勾股定理的应用；等腰三角形的性质。
专题：应用题。
分析：等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形，腰为斜边，高和底边长一半为直角边，因此由三角形三边关系及勾股定理即可解答．
解答：解：A、132≠122+62，错误；
B、122≠82+62，错误；
C、132=122+52，正确；
D．82≠52+42，错误．
故选C．
点评：综合运用等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理进行判断．
20、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A、12米 B、13米
C、14米 D、15米
二、填空题（共5小题）
21、钝角三角形的三边长分别为4，6，8，则其面积为 ．
考点：三角形的面积；勾股定理的应用。
专题：计算题。
分析：如图，作CD⊥AB，设BD=x，根据勾股定理得，62﹣x2=42﹣（8﹣x）2，然后，可得CD=，求出x，根据三角形的面积计算公式，求出即可；
解答：解：如图，作CD⊥AB，设BD=x，
∴62﹣x2=42﹣（8﹣x）2，
解得，x=，
∴CD===，
∴S==×8×=；
故答案为：．
点评：本题主要考查了勾股定理和三角形面积的求法，求出一边上的高，是解答本题的关键．
22、如图，在四边形ABDC中，连接BC，∠A=∠BCD=90°，∠D=30°，∠ABC=45°，如果，那么S四边形ABDC= ．
点评：本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是分别求出两个直角三角形的两直角边．
23、（2008?株洲）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 8 米．
考点：勾股定理的应用。
分析：由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．
解答：解：∵AC=4米，BC=3米，∠ACB=90°，
∴折断的部分长为=5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
点评：此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
24、如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是 ．
25、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为 150 mm．
考点：勾股定理的应用。
分析：根据图形标出的长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A和B的距离．
解答：解：∵AC=150﹣60=90mm，BC=180﹣60=120mm，
∴AB==mm．
点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
三、解答题（共5小题）
26、在下列4×4各图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．
表示： 表示： 2 表示： 3 （注：横线上填入对应的无理数）
考点：无理数；勾股定理的应用。
专题：探究型。
分析：连接任意正方形的对角线，根据勾股定理计算出其长度，再由无理数的定义进行解答即可．
解答：解：如图所示：
AB==；
CD==2；
EF==3．
点评：本题考查的是无理数的定义及勾股定理的应用，解答此题时要熟知无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
27、已知等腰三角形ABC，底边BC=20，D为AB上一点，且CD=16，BD=12，求AD的长．
28、定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
①摆出等边“整数三角形”；
②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．
考点：勾股定理的应用。
专题：新定义。
分析：（1）利用勾股定理求出6，8，10和5，12，13符合要求，即可得出答案；
（2）首先设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为，进而求出不存在等边“整数三角形”．
解答：解：（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：
（2）①不能摆出等边“整数三角形”．
理由如下：
设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为．
因为，若边长a为整数，那么面积一定非整数．
所以不存在等边“整数三角形”；
②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：
点评：此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知熟练利用勾股定理求出勾股数是解题关键．
29、如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，≈1.732）
30、小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）
考点：勾股定理的应用；三角形的面积。
专题：应用题；分类讨论。
分析：要求面积，则要构成直角三角形，根据题意可画出草图．此题需分两种情况讨论：
（1）若∠ACB为钝角时，作BD⊥AC交AC的延长线于D；
（2）若∠ACB为锐角时，作BD⊥AC交AC于D；两种情况下，分别利用勾股定理解直角三角形可求出△ABC的高，则面积可求．
解答：解：分两种情况：
（1）如图（1），当∠ACB为钝角时，
∵BD是高，
∴∠ADB=90度．
在Rt△BCD中，BC=40，BD=30，
∴．（1分）
在Rt△ABD中，AB=50，∴．（1分）
∴AC=AD﹣CD=40﹣10，
∴S△ABC=AC?BD=（40﹣10）×30=（600﹣150）m2．（1分）
（2）如图（2），当∠ACB为锐角时，
∵BD是高，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△ABD中，AB=50，BD=30，
∴．
同理，（1分）
∴AC=AD+CD=（40+10），（1分）
∴S△ABC=AC?BD=（40+10）×30=（600+150）m2，（1分）
综上所述：S△ABC=（600）m2．
点评：构建直角三角形是解题的关键，此题主要用到勾股定理解题．
探索勾股定理（二）—勾股定理的证明
一、选择题（共3小题）
1、（如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
2、如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A、+1 B、﹣+1
C、﹣1 D、
3、历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（ ）
A、S△EDA=S△CEB B、S△EDA+S△CEB=S△CDB
C、S四边形CDAE=S四边形CDEB D、S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
二、填空题（共7小题）
4、利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 _________ ，该定理的结论其数学表达式是 _________ ．
5、如图，利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理结论的数学表达式是 _________ ．
6、曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为 _________ ，又可以表示为 _________ ．对比两种表示方法可得 _________ ．化简，可得a2+b2=c2．他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话．
7、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a、b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
8、如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 _________ ．
9、如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：
S梯形=（上底+下底）?高=（a+b）?（a+b），即S梯形=（ _________ ）①
S梯形=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表式相应图形的面积）
= _________ + _________ + _________ ，即S梯形=（ _________ ）②
由①、②，得a2+b2=c2．
10、利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“总统”证法．这个定理称为 _________ ，该定理的结论其数学表达式是 _________ ．
三、解答题（共20小题）
11、清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：=m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．
12、勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
请根据图1中直接三角形叙述勾股定理．
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；
利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜．其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= _________ ；
又∵在直角梯形ABCD中有BC _________ AD（填大小关系），即 _________ ．
∴＜．
13、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
14、据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算（9﹣1）、（9+1）与（25﹣1）、（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．
15、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2．
16、如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；
（2）用这个图形证明勾股定理；
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）．
17、大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．
（1）请你结合图形来证明：h1+h2=h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．
18、如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．
（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积；
（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．
19、学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!
（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= _________ mm；b= _________ mm；较长的一条边长c= _________ mm．比较=a2+b2 _________ c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= _________ mm；b= _________ mm；较长的一条边长c= _________ mm．比较a2+b2 _________ c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是： _________ ，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．
20、如图所示，这是美国第20任总统加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形，是用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三解形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
21、探索与研究
（方法1）如图：
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
（方法2）如图
是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？
22、如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．
23、4个直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？
24、如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（3）．
25、如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．
26、已知（如图）：
用四块底为b、高为a、斜边为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，你不难找到：
解法（1）小正方形的面积= _________ ；
解法（2）小正方形的面积= _________ ；
由解法（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为： _________ ．
27、美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．
28、如图：用两个边长为a，b，c的直角三角形拼成一个直角梯形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论？
29、几千年来，人们给出勾股定理各种证法，有人统计，现在世界上已找到400多种证明方法，古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯在客厅品茶，不小心推倒了桌上一个火柴盒，就在这一瞬间，他双眼放光，兴奋不已，从此毕达哥拉斯定理（现教材中勾股定理）诞生了．其证法是：如图，
设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒移推至A‵B‵C‵D的位置，D不动，若设AB=a、BC=b、DB=c．则梯形A‵B‵BC的面积S2梯形A‵B‵BC=（a+b）（a+b）=（a+b）2，且又知梯形S梯形A‵B‵BC=S△ABD+S△DBB‵+S△BCD=ab+c2+ab，故有（a+b）2=ab+c2+ab，则a2+b2+2ab=c2+2ab，即a2+b2=c2．
请你再写出一种证明方法：
30、勾股定理的证明多达200多种，有一位总统利用两个全等的Rt△纸片，给出如下的一种摆法（C，E，D在同一直线上），再添上一条线，便可利用面积法证得a2+b2=c2．请你试着添一条线，并给出证明．
探索勾股定理（二）—勾股定理的证明
答案与评分标准
一、选择题（共3小题）
1、（如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
考点：勾股定理的证明。
分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
解答：解：过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD===3，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离=AD=3．
故选A．
点评：本题利用勾股定理和角平分线的性质．
2、如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A、+1 B、﹣+1
C、﹣1 D、
式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
3、历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（ ）
A、S△EDA=S△CEB B、S△EDA+S△CEB=S△CDB
C、S四边形CDAE=S四边形CDEB D、S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
考点：勾股定理的证明。
分析：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
解答：解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
可知ab+c2+ab=（a+b）2，
∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
故选D．
点评：本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
二、填空题（共7小题）
4、利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 勾股定理 ，该定理的结论其数学表达式是 a2+b2=c2 ．
5、如图，利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理结论的数学表达式是 a2+b2=c2 ．
考点：勾股定理的证明。
分析：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．
解答：解：用图（2）较简单，
如图正方形的面积=（a+b）2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，
即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．
点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
6、曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为 （a+b）?（a+b） ，又可以表示为 ab×2+c2 ．对比两种表示方法可得 （a+b）?（a+b）=ab×2+c2 ．化简，可得a2+b2=c2．他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话．
7、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a、b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
考点：勾股定理的证明。
专题：计算题。
分析：如图，四个全等的直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明．
解答：证明：由图得，
×ab×4+（b﹣a）×（b﹣a）=c2，
整理得，2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
即，a2+b2=c2．
点评：本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
8、如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 a2+b2=c2 ．
9、如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：
S梯形=（上底+下底）?高=（a+b）?（a+b），即S梯形=（ a2+2ab+b2 ）①
S梯形=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表式相应图形的面积）
= ab + c2 + ab ，即S梯形=（ 2ab+c2 ）②
由①、②，得a2+b2=c2．
10、利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“总统”证法．这个定理称为 勾股定理 ，该定理的结论其数学表达式是 a2+b2=c2 ．
考点：勾股定理的证明。
专题：证明题。
分析：利用两个直角边分别为a、b的直角三角形构造直角梯形，然后将直角梯形的面积化为三个直角三角形的面积的和解答．
解答：解：如图，
∵∠AEB=∠EDC，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴S△AEC=c2，
∵S△ABC=S△ABC=ab，
又∵S梯形ABCD=（a+b）（a+b）=（a2+2ab+b2）．
∴S△AEC+S△ABC+S△ABC=S梯形ABCD，
c2+ab+ab=（a2+2ab+b2），
整理得，a2+b2=c2．
点评：本题考查了勾股定理的证明，这是总统证法，将梯形的面积，转化为几个直角三角形的和是解题的关键．
三、解答题（共20小题）
11、清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：=m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．
12、勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
请根据图1中直接三角形叙述勾股定理．
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；
利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜．其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= c ；
又∵在直角梯形ABCD中有BC ＜ AD（填大小关系），即 a+b＜c ．
∴＜．
13、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
考点：勾股定理的证明。
专题：作图题；证明题。
分析：勾股定理的证明可以通过图形的面积之间的关系来完成．
解答：解法一：（1）如图；
（2）证明：∵大正方形的面积表示为（a+b）2大正方形的面积也可表示为c2+4×ab
∴（a+b）2=c2+4×ab，a2+b2+2ab=c2+2ab
∴a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
解法二：（1）如图
（2）证明：∵大正方形的面积表示为：c2
又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，
∴c2=a2+b2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
点评：利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，利用面积的关系证明勾股定理．
14、据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算（9﹣1）、（9+1）与（25﹣1）、（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．
考点：勾股定理的证明。
专题：压轴题。
分析：（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
解答：解：（1）∵（9﹣1）=4，（9+1）=5；（25﹣1）=12，（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式为（49﹣1）=（72﹣1）
弦的算式为（49+1）=（72+1）；（4分）
（2）当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n2﹣1），﹣（n2+1）．（7分）
例如关系式①：弦﹣股=1；关系式②：勾2+股2=弦2（9分）
证明关系式①：弦﹣股=（n2+1）﹣（n2﹣1）=[（n2+1）﹣（n2﹣1）]=1
或证明关系式②：勾2+股2=n2+[（n2﹣1）]2=n4+n2+=（n2+1）2=弦2∴猜想得证；（12分）
（3）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：，．（14分）
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：n，（n2﹣1），﹣（n2+1）（n为奇数且n≥3），
分别记为：A1、B1、C1，
下一组为：n+2，[（n+2）2﹣1]，[（n+2）2+1]（n为奇数且n≥3），
分别记为：A2、B2、C2，
则：A1+B1+A2=n+（n2﹣1）+（n+2）=（n2+4n+3）=[（n+2）2﹣1]=B2．
或B1+C2=B2+C1（证略）等等．
点评：注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．
15、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2．
∴a2+b2=c2．
点评：证明勾股定理时，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和．
16、如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；
（2）用这个图形证明勾股定理；
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）．
考点：勾股定理的证明。
专题：作图题；证明题。
分析：（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；
（2）此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
（3）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．
解答：解：（1）如图所示，是梯形；
（2）由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=（a+b）（a+b）．
从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即++c2．
两者列成等式化简即可得：a2+b2=c2；
（3）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．
点评：此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．
17、大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．
（1）请你结合图形来证明：h1+h2=h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．
解：（3）在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=﹣4，
所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．
AB==5，AC=5，所以AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．（9分）．
（ⅰ）当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：+My=OB，My=3﹣=，
把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=，
所以此时M（，）．（10分）
（ⅱ）当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2=h得：My﹣=OB，My=3+=，
把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=﹣，
所以此时M（﹣，）．（11分）．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点M的坐标为M（，）或（﹣，）．（12分）
点评：（1）（2）的结果容易得到，解答（3）时，注意要灵活应用（1）（2）的结果．
18、如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．
（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积；
（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数
由图可知AQ=3，BQ=4，∠Q=Rt∠．
∴S△ABQ=AQ?BQ=6；同理S△BCM=S△CDN=S△ADP=6．
又∵MQ=7
∴S正方形MNPQ=49．
∴S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ=49﹣4×6=25．
（2）勾股定理或完全平方公式或平方差公式．
（只要给出其一即可得1分）
验证：在△BCM、△ABQ中．
∵∠M=∠Q=∠ABC=Rt∠，∴∠MBC=∠QAB．
又∵AB=BC
∴△BCM≌△ABQ
同理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵MB=a，BQ=b，S正方形MNPQ=S正方形ABCD+4S△ABQ
∴（a+b）2=a2+b2+4×ab
即（a+b）2=a2+2ab+b2（完全平方公式）
或又∵S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ
∴AB2=（a+b）2﹣4×ab，即AB2=a2+b2．
设AB=c，得c2=a2+b2（勾股定理）
点评：掌握运用面积的计算方法证明勾股定理以及一些公式．
19、学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!
（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= 6 mm；b= 8 mm；较长的一条边长c= 9 mm．比较=a2+b2 ＞ c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a= 6 mm；b= 8 mm；较长的一条边长c= 11 mm．比较a2+b2 ＜ c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是： 若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2
若△ABC是钝角三角形，∠B为钝角，则有a2+c2＜b2 ，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．
则有BD=a﹣x．
根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2，
即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．
∴a2+b2=c2+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a2+b2＞c2．
当△ABC是钝角三角形时，
理由：过C作CD⊥AB，交AB的延长线于D．
设BD为x，则有CD2=a2﹣x2，
根据勾股定理，得（c+x）2+a2﹣x2=b2，即a2+c2+2cx=b2．
∵c＞0，x＞0，
∴2cx＞0，
∴a2+c2＜b2．
点评：本题考查了勾股定理的证明，在给定三角形的三边的时候，还要注意三角形的三边关系．注意勾股定理的熟练运用以及完全平方公式的灵活变形．
20、如图所示，这是美国第20任总统加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形，是用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三解形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
考点：勾股定理的证明。
专题：证明题。
分析：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
解答：解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．
还有一个直角梯形，其面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）=ab+ab+c2
整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
由此验证勾股定理．
点评：此题主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
21、探索与研究
（方法1）如图：
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
（方法2）如图
是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？
22、如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．
考点：勾股定理的证明。
专题：计算题。
分析：由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．
解答：解：由图可得，×（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，
整理得，=，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
点评：本题主要考查了勾股定理的证明，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
23、4个直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？
24、如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（3）．
考点：勾股定理的证明。
专题：操作型。
分析：可拼一个直角梯形，使其一腰长为a+b，上底为a，下底为b，图（2）放在中间适当的位置．
解答：解：如图：
梯形的面积=（a+b）（a+b）=2×ab+c2，
整理得a2+b2=c2．
点评：此题考查的是勾股定理的证明，从拼图可获得证明过程．
25、如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．
26、已知（如图）：
用四块底为b、高为a、斜边为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，你不难找到：
解法（1）小正方形的面积= c2﹣2ab ；
解法（2）小正方形的面积= b2﹣2ab+a2 ；
由解法（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为： c2=a2+b2 ．
考点：勾股定理的证明。
分析：（1）用拼成的大正方形的面积减去四个三角形的面积；
（2）直接求出小正方形的边长，然后求面积；
（3）得到勾股定理．
解答：解：（1）S=c2﹣ab×4=c2﹣2ab；
（2）S=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2；
（3）c2=a2+b2．
点评：本题主要在于验证勾股定理，比较简单．
27、美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．
考点：勾股定理的证明。
专题：证明题。
分析：此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
解答：解：因为，
又因为
所以=，
得c2=a2+b2．
点评：此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
28、如图：用两个边长为a，b，c的直角三角形拼成一个直角梯形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论？
29、几千年来，人们给出勾股定理各种证法，有人统计，现在世界上已找到400多种证明方法，古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯在客厅品茶，不小心推倒了桌上一个火柴盒，就在这一瞬间，他双眼放光，兴奋不已，从此毕达哥拉斯定理（现教材中勾股定理）诞生了．其证法是：如图，
设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒移推至A‵B‵C‵D的位置，D不动，若设AB=a、BC=b、DB=c．则梯形A‵B‵BC的面积S2梯形A‵B‵BC=（a+b）（a+b）=（a+b）2，且又知梯形S梯形A‵B‵BC=S△ABD+S△DBB‵+S△BCD=ab+c2+ab，故有（a+b）2=ab+c2+ab，则a2+b2+2ab=c2+2ab，即a2+b2=c2．
请你再写出一种证明方法：
考点：勾股定理的证明。
专题：阅读型。
分析：最常见的是利用4个全等的直角三角形的斜边构成一个正方形．利用大的正方形的面积的两种表示方法：整个表示，组合表示求解．
解答：解：方法很多如：在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等的直角三角形．
已知它们的直角边为a、b利用这个图，证明勾股定理．
结论：a2+b2=c2，
证明：∵正方形边长为c，
∴正方形面积为c2，
∵正方形面积=4×ab+（a﹣b）2=a2+b2，
∴a2+b2=c2．
点评：应掌握勾股定理的一种简单证法：4个全等的直角三角形的斜边构成一个正方形，根据大的正方形的面积求解．
30、勾股定理的证明多达200多种，有一位总统利用两个全等的Rt△纸片，给出如下的一种摆法（C，E，D在同一直线上），再添上一条线，便可利用面积法证得a2+b2=c2．请你试着添一条线，并给出证明．
考点：勾股定理的证明。
专题：证明题。
分析：连接AN，四边形ACDN的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示．
解答：解：连接AN，依题意，图中的四边形ACDN为直角梯形，△ENA为等腰直角三角形，
Rt△AEC和Rt△NED的形状和大小完全一样
设梯形ACDN的面积为S，则S=（a+b）（a+b）=（a2+b2）+ab
又S=SRt△ENA+2SRt△ACE=c2+2×ab=c2+ab
∴（a2+b2）+ab=c2+ab．
因此，a2+b2=c2．
点评：本题考查了勾股定理的证明，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和．
