第1章《二次函数》单元测试卷 含解析
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浙教版2022年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
2．抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+1的顶点坐标（ ）
A．（﹣4，1） B．（﹣4，﹣1） C．（4，﹣1） D．（4，1）
3．下列各函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A． B．y＝﹣x C．y＝x2 D．y＝﹣x2
4．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象向左平移5个单位，所得图象的解析式为（ ）
A．y＝2x2﹣5 B．y＝2x2+5 C．y＝2（x﹣5）2 D．y＝2（x+5）2
5．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
6．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且当﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
7．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表：则关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的解是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝x2＝2 C．x1＝x2＝0 D．不能确定
9．如图，正方形的四个顶点坐标依次为（1，﹣1），（3，﹣1）（3，﹣3），（1，﹣3），若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a≤﹣ B．≤a≤3 C．≤a≤1 D．﹣1≤a≤﹣
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①a＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1，或x＞3．其中，正确的说法有（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②④⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．抛物线y＝﹣x2+2kx+2与坐标轴交点的个数为 ．
12．抛物线y＝x2+bx+c的图象上有两点A（1，m），B（5，m），则b的值为 ．
13．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 秒．
14．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3，当1≤x≤a时，函数y的最小值为﹣2，则a的值为 ．
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝4a﹣2b+c，则m的取值范围是 ．
16．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，B（﹣1，0），C
（3，0），连接AC，将线段AC向上平移落在EF处，且EF恰好经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）已知函数y＝kx2﹣（2k+3）x+3k+1．
（1）当k＝1时，求函数y＝kx2﹣（2k+3）x+3k+1的顶点坐标，与x轴的交点坐标；
（2）若当x≥0时，函数y随x的增大而减小，求k的取值范围．
18．（7分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．
19．（7分）如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．
（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．
（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
20．（7分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．（8分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
23．（9分）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求M点的坐标；
（2）求△MBC的面积；
（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：∵y＝﹣3（x﹣4）2+1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（4，1），
故选：D．
3．解：A、是一次函数，∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、是一次函数，∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
C、是二次函数，开口向上，对称轴是y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、是二次函数，开口向下，对称轴是y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意．
故选：B．
4．解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣5，0）；
可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+5）2．
故选：D．
5．解：∵y＝2x2﹣4x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴x≤2时，y随x增大而减小，
∴y1＞y2＞y3．
故选：B．
6．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3＝a（x+1）2+3a2﹣a+3（其中x是自变量），
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
又∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝9，
即9＝a（1+1）2+3a2﹣a+3，
解得，a1＝﹣2（舍去），a2＝1，
由上可得，a的值是1，
故选：B．
7．解：
解得或．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上或点（1，a+b）．
故选：C．
8．解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：x＝﹣1和x＝3的函数值相同，都是3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，
∴点（0，0）的对称点为（2，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝0，x2＝2，
故选：A．
9．解：抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，﹣3）时，a＝﹣3，
当抛物线经过（3，﹣1）时，a＝﹣，
观察图象可知﹣3≤a≤﹣，
故选：A．
10．解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，故①错误；
②由图可得，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0）（3，0）．
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0）（3，0），
∴抛物线对称轴为x＝＝1．
当x＝1时，y＝a+b+c＜0．故③错误；
④∵抛物线对称轴是直线x＝1，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
即当x＞1时，y随x的增大而增大．故④正确；
⑤由图可知，当y＞0时，则抛物线在x轴上方的部分，
在对称轴的左侧对应的x值为，x＜﹣1，
在对称轴右侧对应的x值为x＞3．
∴当y＞0时，x＜﹣1，或x＞3．故⑤正确．
综上所述，正确的有②④⑤．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：a＝﹣1，b＝2k，c＝2，
∵b2﹣4ac＝4k2+8＞0，
∴抛物线y＝﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2，
∵抛物线y＝﹣x2+2kx+2与y轴交点的个数为1，
∴抛物线y＝﹣x2+2kx+2与坐标轴交点的个数为3；
故答案为：3．
12．解：∵抛物线经过A（1，m），B（5，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
∴﹣＝3，
解得b＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．解：∵此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x＝＝9.5，
∴炮弹所在高度最高是第9.5秒，
故答案为：9.5．
14．解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
∴y≤1，
将x＝1代入y＝﹣x2+4x﹣3得y＝0＞﹣2，
∴x＝a时，y＝﹣2，
∴﹣2＝﹣a2+4a﹣3，
解得a＝2﹣（舍）或a＝2+．
故答案为：2+．
15．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴m＝4a﹣2b+c＝4a﹣2（2﹣a）+（﹣2）＝6a﹣6，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2（2﹣a）+（﹣2）＝6a﹣6，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣6＜6a﹣6＜6，
故答案为：﹣6＜m＜6．
16．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（﹣1，0）和C（3，0），
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则A（0，3），
∴AC＝＝3，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（0，3），C（3，0）分别代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∵线段AC向上平移得到EF，
∴EF∥AC，EF＝AC，
∴四边形ACFE为平行四边形，
设直线EF的解析式为y＝﹣x+q，
把D（1，4）代入得4＝﹣1+q，
解得q＝5，
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝﹣x+5＝5，则E（0，5），
∴AE＝5﹣3＝2，
∴四边形ACFE的周长＝2（2+3）＝4+6．
故答案为：4+6．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．解：（1）当k＝1时，y＝x2﹣5x+4＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线顶点坐标为（，﹣），
在y＝x2﹣5x+4中，令y＝0得：
x2﹣5x+4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，
∴抛物线与x轴交点为（1，0），（4，0）；
（2）①当k＝0时，y＝﹣3x+1，
∵﹣3＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当x≥0时，函数y随x的增大而减小成立；
②当k≠0时，
∵当x≥0时，函数y＝kx2﹣（2k+3）x+3k+1随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴或在y轴左侧，
∴，
解得﹣≤k＜0，
综上所述，当x≥0时，函数y＝kx2﹣（2k+3）x+3k+1随x的增大而减小，k的范围是﹣≤k≤0．
18．解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，
即y＝（x+1）2﹣4；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
二次函数的图象如图所示：
（3）观察图象得，当x＝﹣1时，y取最小值﹣4，
当x＝﹣4时，y取最大值，代入函数得，y＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3＝16﹣8﹣3＝5．
∴当﹣4≤x≤0时，﹣4≤y≤5．
19．解：（1）设AB为x米，则BC＝（36﹣2x）米，
由题意得：x（32﹣2x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝12，
∵墙长为14米，32米的篱笆，
∴32﹣2x≤14，2x＜32，
∴9≤x＜16，
∴x＝12，
∴AB＝12，
答：矩形的边AB的长为12米；
（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（32﹣2x）米，
∴y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，
∵9≤x＜16，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，
∴当x＝9时，y有最大值是126，
答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．
20．解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）w＝y（x﹣8）
＝（﹣5x+150）（x﹣8）
＝﹣5x2+190x﹣1200
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为﹣5×（15﹣19）2+605＝525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
21．解：（1）由图象可知，
抛物线的顶点坐标为（6，4），过点（12，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4，
则0＝a（12﹣6）2+4，
解得，a＝﹣，
即这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）当x＝（12﹣4）＝4时，y＝﹣（4﹣6）2+4＝＞3，
∴货船能顺利通过此桥洞．
22．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵PM＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为．
23．解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9）；
（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，
解得 x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，
∴C（0，5），
过点M作ME⊥y轴于点E，
∴S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；
（3）存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵OB＝OC＝5，∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
①当C为直角顶点时，作CN1⊥BC交坐标轴为N1，∠CN1B＝∠CBN1＝45°，
∴OB＝ON1＝5，
∴N1（﹣5，0）；
②当B为直角顶点时，作BN2⊥BC交坐标轴为N2，∠CN2B＝∠BCN2＝45°，
∴OC＝ON2＝5，
∴N1（0，﹣5）；
③当N为直角顶点时，点O与N3重合，
∴N3（0，0）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣5，0）或（0，﹣5）或（0，0）．
浙教版2022年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
2．抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+1的顶点坐标（ ）
A．（﹣4，1） B．（﹣4，﹣1） C．（4，﹣1） D．（4，1）
3．下列各函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A． B．y＝﹣x C．y＝x2 D．y＝﹣x2
4．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象向左平移5个单位，所得图象的解析式为（ ）
A．y＝2x2﹣5 B．y＝2x2+5 C．y＝2（x﹣5）2 D．y＝2（x+5）2
5．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
6．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且当﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
7．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表：则关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的解是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝x2＝2 C．x1＝x2＝0 D．不能确定
9．如图，正方形的四个顶点坐标依次为（1，﹣1），（3，﹣1）（3，﹣3），（1，﹣3），若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a≤﹣ B．≤a≤3 C．≤a≤1 D．﹣1≤a≤﹣
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①a＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1，或x＞3．其中，正确的说法有（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②④⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．抛物线y＝﹣x2+2kx+2与坐标轴交点的个数为 ．
12．抛物线y＝x2+bx+c的图象上有两点A（1，m），B（5，m），则b的值为 ．
13．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 秒．
14．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3，当1≤x≤a时，函数y的最小值为﹣2，则a的值为 ．
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝4a﹣2b+c，则m的取值范围是 ．
16．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，B（﹣1，0），C
（3，0），连接AC，将线段AC向上平移落在EF处，且EF恰好经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）已知函数y＝kx2﹣（2k+3）x+3k+1．
（1）当k＝1时，求函数y＝kx2﹣（2k+3）x+3k+1的顶点坐标，与x轴的交点坐标；
（2）若当x≥0时，函数y随x的增大而减小，求k的取值范围．
18．（7分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．
19．（7分）如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．
（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．
（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
20．（7分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．（8分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
23．（9分）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求M点的坐标；
（2）求△MBC的面积；
（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：∵y＝﹣3（x﹣4）2+1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（4，1），
故选：D．
3．解：A、是一次函数，∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、是一次函数，∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
C、是二次函数，开口向上，对称轴是y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、是二次函数，开口向下，对称轴是y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意．
故选：B．
4．解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣5，0）；
可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+5）2．
故选：D．
5．解：∵y＝2x2﹣4x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴x≤2时，y随x增大而减小，
∴y1＞y2＞y3．
故选：B．
6．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3＝a（x+1）2+3a2﹣a+3（其中x是自变量），
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
又∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝9，
即9＝a（1+1）2+3a2﹣a+3，
解得，a1＝﹣2（舍去），a2＝1，
由上可得，a的值是1，
故选：B．
7．解：
解得或．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上或点（1，a+b）．
故选：C．
8．解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：x＝﹣1和x＝3的函数值相同，都是3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，
∴点（0，0）的对称点为（2，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝0，x2＝2，
故选：A．
9．解：抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，﹣3）时，a＝﹣3，
当抛物线经过（3，﹣1）时，a＝﹣，
观察图象可知﹣3≤a≤﹣，
故选：A．
10．解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，故①错误；
②由图可得，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0）（3，0）．
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0）（3，0），
∴抛物线对称轴为x＝＝1．
当x＝1时，y＝a+b+c＜0．故③错误；
④∵抛物线对称轴是直线x＝1，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
即当x＞1时，y随x的增大而增大．故④正确；
⑤由图可知，当y＞0时，则抛物线在x轴上方的部分，
在对称轴的左侧对应的x值为，x＜﹣1，
在对称轴右侧对应的x值为x＞3．
∴当y＞0时，x＜﹣1，或x＞3．故⑤正确．
综上所述，正确的有②④⑤．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：a＝﹣1，b＝2k，c＝2，
∵b2﹣4ac＝4k2+8＞0，
∴抛物线y＝﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2，
∵抛物线y＝﹣x2+2kx+2与y轴交点的个数为1，
∴抛物线y＝﹣x2+2kx+2与坐标轴交点的个数为3；
故答案为：3．
12．解：∵抛物线经过A（1，m），B（5，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
∴﹣＝3，
解得b＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．解：∵此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x＝＝9.5，
∴炮弹所在高度最高是第9.5秒，
故答案为：9.5．
14．解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
∴y≤1，
将x＝1代入y＝﹣x2+4x﹣3得y＝0＞﹣2，
∴x＝a时，y＝﹣2，
∴﹣2＝﹣a2+4a﹣3，
解得a＝2﹣（舍）或a＝2+．
故答案为：2+．
15．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴m＝4a﹣2b+c＝4a﹣2（2﹣a）+（﹣2）＝6a﹣6，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2（2﹣a）+（﹣2）＝6a﹣6，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣6＜6a﹣6＜6，
故答案为：﹣6＜m＜6．
16．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（﹣1，0）和C（3，0），
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则A（0，3），
∴AC＝＝3，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（0，3），C（3，0）分别代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∵线段AC向上平移得到EF，
∴EF∥AC，EF＝AC，
∴四边形ACFE为平行四边形，
设直线EF的解析式为y＝﹣x+q，
把D（1，4）代入得4＝﹣1+q，
解得q＝5，
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝﹣x+5＝5，则E（0，5），
∴AE＝5﹣3＝2，
∴四边形ACFE的周长＝2（2+3）＝4+6．
故答案为：4+6．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．解：（1）当k＝1时，y＝x2﹣5x+4＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线顶点坐标为（，﹣），
在y＝x2﹣5x+4中，令y＝0得：
x2﹣5x+4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，
∴抛物线与x轴交点为（1，0），（4，0）；
（2）①当k＝0时，y＝﹣3x+1，
∵﹣3＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当x≥0时，函数y随x的增大而减小成立；
②当k≠0时，
∵当x≥0时，函数y＝kx2﹣（2k+3）x+3k+1随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴或在y轴左侧，
∴，
解得﹣≤k＜0，
综上所述，当x≥0时，函数y＝kx2﹣（2k+3）x+3k+1随x的增大而减小，k的范围是﹣≤k≤0．
18．解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，
即y＝（x+1）2﹣4；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
二次函数的图象如图所示：
（3）观察图象得，当x＝﹣1时，y取最小值﹣4，
当x＝﹣4时，y取最大值，代入函数得，y＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3＝16﹣8﹣3＝5．
∴当﹣4≤x≤0时，﹣4≤y≤5．
19．解：（1）设AB为x米，则BC＝（36﹣2x）米，
由题意得：x（32﹣2x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝12，
∵墙长为14米，32米的篱笆，
∴32﹣2x≤14，2x＜32，
∴9≤x＜16，
∴x＝12，
∴AB＝12，
答：矩形的边AB的长为12米；
（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（32﹣2x）米，
∴y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，
∵9≤x＜16，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，
∴当x＝9时，y有最大值是126，
答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．
20．解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）w＝y（x﹣8）
＝（﹣5x+150）（x﹣8）
＝﹣5x2+190x﹣1200
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为﹣5×（15﹣19）2+605＝525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
21．解：（1）由图象可知，
抛物线的顶点坐标为（6，4），过点（12，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4，
则0＝a（12﹣6）2+4，
解得，a＝﹣，
即这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）当x＝（12﹣4）＝4时，y＝﹣（4﹣6）2+4＝＞3，
∴货船能顺利通过此桥洞．
22．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵PM＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为．
23．解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9）；
（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，
解得 x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，
∴C（0，5），
过点M作ME⊥y轴于点E，
∴S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；
（3）存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵OB＝OC＝5，∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
①当C为直角顶点时，作CN1⊥BC交坐标轴为N1，∠CN1B＝∠CBN1＝45°，
∴OB＝ON1＝5，
∴N1（﹣5，0）；
②当B为直角顶点时，作BN2⊥BC交坐标轴为N2，∠CN2B＝∠BCN2＝45°，
∴OC＝ON2＝5，
∴N1（0，﹣5）；
③当N为直角顶点时，点O与N3重合，
∴N3（0，0）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣5，0）或（0，﹣5）或（0，0）．
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