浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质大题练习（含解析）

浙教版初中数学九年级上册圆的基本性质-----大题练习
一、解答题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
2．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（0，1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形．
3．已知AB为⊙O的直径，弦ED与AB的延长线交于⊙O外一点C，且AB=2CD，∠C=25°，求∠AOE的度数．
4．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？
5．已知AB为圆O直径，M、N分别为OA、OB中点，CM⊥AB，DN⊥AB。求证：。
6．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB r1+AC r2=AB h，∴r1+r2=h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：r1+r2+r3=．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于　 　
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
①请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
②将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
8．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
9．如图， 的直径 交弦(不是直径) 于点P，且 ．求证： ．
10．如图，在平面直角坐标系中，以点M(3，5)为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，求点B的坐标．
11．如图，AB，CD，EF都是☉O的直径，且∠1=∠2=∠3，求证：AC=EB=DF.
12．如图， 是 的弦， 于E，交 于D，若 ，求 的半径.
13．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
14．如图，阴影部分是由同心圆的与所围成的.已知OA=3cm，OC=2cm，∠AOB=120o，求阴影部分的面积（结果保留л）.
15．在圆O中，直径CD⊥弦AB于E，AB＝6， ＝ ，求DE的长．
16．O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．求证：
（1）∠AOE=∠BOD；
（2）=．
17．如图是庐江中学某景点内的一个拱门，它是⊙O的一部分.已知拱门的地面宽度CD=2m，它的最大高度EM=3m，求构成该拱门的⊙O的半径.
18．）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．
19．如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP=QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．
20．如图，在直角坐标系中，已知△ABC各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，﹣1），C（2，2），试作出与△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标．
21．如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示，单位：m)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形；如图②是车棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为点O，车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)
22．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=，求阴影部分的面积．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：EB=EC；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ODEC是正方形？证明你的结论．
24．如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．
（1）求证：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．
25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G．
（1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径；
（2）设OG=3，CD=，求⊙O的半径．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：BC与⊙O相切．理由如下：
连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2．
根据勾股定理得： ，
即 ，解得：x=2，
即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4．
在Rt△ODB中，∵OD= OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形DOF= = ，则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= = ．
故阴影部分的面积为 ．
2．【答案】解：作图如下：
3．【答案】解：连结OD，如图，
∵直径AB=2CD，
∴OD=CD，
∴∠DOC=∠C=25°，
∴∠EDO=∠DOC+∠C=50°，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=50°，
∴∠AOE=∠E+∠C=75°
4．【答案】解：第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是．
第二次是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°
此次走过的路径是，
∴点A两次共走过的路径是．
5．【答案】解：连结OC、OD，则OC=OD
∵ ，且
在 与 中
∴
6．【答案】（1）解：
分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
∴AD=
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC．
∴AB r1+BC r2+AC r3=BC×AD，
∵BC=AC=AB，
∴r1+r2+r3=AD．
∴r1+r2+r3=
（2）4
（3）解：设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，∴S正n边形=×2×r×n．r=，∵S正n边形=×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn，∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn=×n，
∴r1+r2+…+rn=nr=（为定值）．
7．【答案】解：如图所示，△A1B1C1、△A2B2C2即为所求；
∵OB= ，∠BOB2=90°，
∴点B旋转到点B2所经过的路径长为 ．
8．【答案】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF= OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF= = ，则CD=2DF=2 ．
9．【答案】解：连接AC和BD，
在△PAC和△PBD中，
∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△PAC∽△PDB，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴PC=PD，
∵AB为直径，
∴AB⊥CD.
10．【答案】解：如图，连接，
设圆与x轴相切于点D，连接交与点E，则轴，
为直径，则，
，
//轴，
∵M(3，5)，
∴MB=MD=5，CE=EB=3，
∴由勾股定理得：ME=4，
∴CB=2CE=6，
∴DE=MD-ME=1
//轴，
∴B（6，1）
11．【答案】解：在☉O中，∵∠1=∠2=∠3，
又∵AB，CD，EF都是☉O的直径，
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴ = = ，
∴AC=EB=DF.
12．【答案】解：连接
设 的半径为R，则
在 中，由勾股定理得
，即
解得
的半径为
13．【答案】解： 四点共圆， 即 是等腰三角形．
14．【答案】解：S阴影=．
15．【答案】解：如图所示，
∵ ＝ ，
∴CE＝3DE，
∴CD＝CE+DE＝4DE，
∴OD＝ CD＝2DE，
∴OE＝OD﹣DE＝DE，
∴OA＝OD＝2DE，
∴OA＝2OE．
∵CD垂直平分AB，
∴AE＝ AB＝ ×6＝3，∠AEO＝90°，
∴∠OAE＝30°，
∴OA＝ ＝ ＝2 ，
∴DE＝ OA＝ ×2 ＝ ．
16．【答案】解：（1）∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，
∴∠AOD=∠BOE，
∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
∴∠AOE=∠BOD；
（2）∵∠AOD=∠BOE，
∴=．
17．【答案】解：连接OC．设⊙O的半径为xm，
∵EM⊥CD，
∴CM=CD=1m．
在Rt△OCM中，由OM2+CM2=OC2，
得（3﹣x）2+1=x2．
解得：x=．
答：构成该拱门的⊙O的半径为m．
18．【答案】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=．
∵∠CDB=30°，
∴∠COE=60°，
在Rt△OEC中，OC===2，
∵CE=DE，
∠COE=∠DBE=60°
∴Rt△COE≌Rt△DBE，
∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．
19．【答案】解：①根据题意，画出图（1），
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠AOC=30°，
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵OC=OQ，
∴∠OQP=（180°﹣∠QOC）×①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=（180°﹣∠OQP）×②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；
③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=（180°﹣∠COQ）×①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=（180°﹣∠OQP）×②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④联立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°．
故答案为：40°、20°、100°．
20．【答案】解：△A1B1C1如图所示；
A1（0，﹣1），B1（﹣3，1），C1（﹣2，﹣2）．
21．【答案】解：如图，连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交 于F，由垂径定理知，E是AB的中点，F是 的中点，从而EF是弓形的高.∵AB=4，∴AE= AB=2 m，EF=2 m.设半径为Rm，则OE=(R-2)m.在Rt△AOE中，∴R2=(R-2)2+(2 )2.∴R=4.在Rt△AEO中，∵AO=2OE，∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，∴∠AOB=120°.∴ 的长为=(m).∴覆盖棚顶的帆布的面积为×60=160π(m2).
22．【答案】解：（1）证明：如图1所示：∵O是等边△ABC的外心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD，∵四边形OADC为平行四边形，∴四边形OADC为菱形，∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC，∠2=∠3，∴OB=OC，∴点O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，∵四边形OADC为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，∴AD=OB，在△BOC和△CDA中，，∴△BOC≌△CDA（SAS）；（2）解：作OH⊥AB于H，如图2所示，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH⊥AB，∴BH=AH=AB=，OH=BH=1，OB=2OH=2，∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣××1=π﹣．
23．【答案】（1）证明：连接CD，∵AC是直径，∠ACB=90°，∴BC是⊙O的切线，∠ADC=90°．∵DE是⊙O的切线，
∴DE=CE（切线长定理）．
∴∠DCE=∠CDE，又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB．
∴DE=BE，
∴CE=BE．
（2）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ODEC是正方形.证明如下：△ABC是等腰直角三角形．则∠B=45°，
∴∠DCE=∠CDE=45°，则∠DEB=90°，
又∵OC=OD，∠ACB=90°，∴∠OCD=∠ODC=45°，∴∠ODE=90°，
∴四边形ODEC是矩形，
∵EC=ED，∴四边形ODEC是正方形.
24．【答案】（1）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABP+∠OBC=90°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOC=90°，
∴∠OCB+∠CPO=90°，
∵∠APB=∠CPO，
∴∠APB=∠ABP，
∴AP=AB．
（2）解：作OH⊥BC于H．
在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，
∴OA= =5，
∵AP=AB=3，
∴PO=2．
在Rt△POC中，PC= =2 ，
PC OH= OC OP，
∴OH= = ，
∴CH= = ，
∵OH⊥BC，
∴CH=BH，
∴BC=2CH= ，
∴PB=BC﹣PC= ﹣2 = ．
25．【答案】证明：（1）∵AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，
∴∠1=∠2，∠3=∠EAF，
∵∠1+∠2+∠3+∠EAF=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠DAE=90°，
∴DE是△ABC的外接圆的直径；
（2）解：连接OC，如图所示：
设⊙O的半径为r，
则OD=OC=r，DG=r﹣3，
∵∠1=∠2，
∴，
∴OD⊥BC，
∴∠OGC=∠DGC=90°，
由勾股定理得：CG2=CD2﹣DG2，CG2=OC2﹣OG2，
∴CD2﹣DG2=OC2﹣OG2，
即（ ）2﹣（r﹣3）2=r2﹣32，
解得：r=5，或r=﹣2（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为5．