浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元达标测试题（含解析）

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《第3章圆的基本性质》单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（　　）
A．138° B．121° C．118° D．112°
2．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　）
A．5 B．2 C．4 D．
3．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．5
4．把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（　　）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC的面积为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
6．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，AC，BD的延长线交于点E，则∠AEB﹣∠BCD等于（　　）
A．30° B．45° C．55° D．60°
7．如图，点A的坐标为A（8，0），点B在y轴正半轴上，且AB＝10，点P是△AOB外接圆上一点，且∠BOP＝45°，则点P的坐标为（　　）
A．（7，7） B．（7，7） C．（5，5） D．（5，5）
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（　　）
A．3 B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝5，EF＝4，那么AD＝　 　．
10．如图所示，圆内接四边形ABCD中，对角线AC是直径，BD＝AB，BE⊥AC，BE＝4，CD＝6，则CE＝　 　．
11．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为　 　．
12．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是的中点，连接AC交BD于点E，连接AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为　 　．
13．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 　 　．
14．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为 　 　．
16．如图，点A，B分别在x轴，y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连接AC，BC，若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是 　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
20．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
2．解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，
∵AE＝5，BE＝1，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3，
∴OE＝3﹣1＝2．
∵∠AEC＝30°，
∴OF＝1，
∴CF＝2，
∴CD＝2CF＝4，
故选：C．
3．解：连接OB、AB，
∵BD⊥AO，BD＝8，
∴BE＝ED＝BD＝4，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
∵CO＝OA，OF＝，
∴AB＝2OF＝2，
由勾股定理得：AE＝＝2，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，
即OA2＝（OA﹣2）2+42，
解得：OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．
故选：A．
4．解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：
则NF＝EN＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，
故选：C．
5．解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝，∠AEC＝90°，
∵AC＝CD，
∴CE＝，
∴sinA＝，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠COE＝60°，
在Rt△COE中，sin∠COE＝，即sin60°＝，
∴CE＝，
∴S△AOC＝
＝
＝．
故选：C．
6．解：∵AB是⊙O的直径的直径，
∴∠ADB＝∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠AEB+∠EAD＝90°，
∵C是弧AB的中点，
∴AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠EAD+∠BAD＝45°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠EAD+∠BCD＝45°，
∴∠AEB+∠EAD﹣（∠EAD+∠BCD）＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AEB﹣∠BCD＝45°．
故选：B．
7．解：作PH⊥x轴于H，连接PA、PB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为△AOB外接圆的直径，
∴∠BPA＝90°，
∵AB＝10，∠BAP＝∠BOP＝45°，
∴PA＝5，
设OH＝t，则PH＝t，AH＝8﹣t，
在Rt△PHA中，
∵PH2+AH2＝PA2，即t2+（8﹣t）2＝（5）2，
解得，t1＝1（舍去），t2＝7，
∴点P的坐标为（7，7），
故选：A．
8．解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴AC＝AD＝7，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：过O作OM⊥EF于M，连接OE，则∠OMD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴四边形AOMD是矩形，
∴OM＝AD，
∵OM⊥EF，OM过圆心O，EF＝4，
∴EM＝FM＝2，
∵OG＝OB，BG＝5，
∴OB＝OG＝2.5＝OE，
在Rt△OME中，由勾股定理得：OM＝＝＝1.5，
∴AD＝OM＝1.5，
故答案为：1.5．
10．解：延长BO交AD于G，连接OD，
∵OA＝OD，AB＝BD，
∴直线BG是线段AD的垂直平分线，
∴∠AGO＝90°，AG＝DG，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO＝∠AGO＝90°，
在→AGO和△BEO中，
，
∴△AGO≌△BEO（AAS），
∴AG＝BE，
∵BE＝4，
∴AG＝4，
∴DG＝AG＝4，
即AD＝8，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵CD＝6，
∴直径AC＝＝10，
∵∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴＝，
解得：CE＝2或8，
11解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝3，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，
在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∴OE＝5﹣1＝4，
∵＝，
∴OB⊥AF，AG＝FG，
∵AG OB＝OE AB，
∴AG＝＝，
∴AF＝2AG＝．
故答案为．
12．解：如图，连接OC交BD于K，连接BC．
∵＝，
∴OC⊥BD，
∵BE＝4DE，
∴可以假设DE＝k．BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，
∵AB是直径，
∴∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，
∴AD∥CK，
∴AE：EC＝DE：EK，
∴AE：6＝k：1.5k，
∴AE＝4，
∵△ECK∽△EBC，
∴EC2＝EK EB，
∴36＝1.5k×4k，
∵k＞0，
∴k＝，
∴BC＝＝＝2，
∴AB＝＝＝4．
故答案为4．
13．解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．
∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为，
当DN＝NC时，PM最小，最小值为0，
∴PM的范围是0≤PM≤且PM≠1.5．
故答案为：0≤PM≤且PM≠1.5．
14．解：连接CD，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，
∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，
在△DCH和△DBG中，
，
∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB CD＝×2×1＝．
∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．
故答案为﹣．
15．解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD＝t，
∵CD⊥AB，MN∥CD，
∴∠ODM＝∠DME＝∠MEO＝90°，
∴四边形MEOD是矩形，
∴OE＝DM＝t，OD＝ME＝r﹣5，
在Rt△AOD中，（r﹣5）2+t2＝r2，①
在Rt△NOE中，（r﹣5+4）2+（t）2＝r2，②
②×4﹣①得2r﹣21＝0，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
故答案为：．
16．解：∵C是的中点，
∴＝，
∴AC＝BC，
过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴AD＝BE，CE＝CD，
∵∠DOE＝∠OEC＝∠ODC＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵CE＝CD，
∴矩形ODCE是正方形，
∴OD＝OD＝CD＝CE，
∵AD＝OA﹣OD，BE＝OB+BE＝OB+OD，
∵AD＝BE，
∴OA﹣OD＝OB+OD，
∵OA﹣OB＝4，
∴OD＝2，
∴CD＝CE＝2，
∴C（2，﹣2）．
故答案为：（2，﹣2）．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF中，HF＝＝16，
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
18．解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵ AF BC＝ AC AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
19．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB CE＝BC AC，
∴CE＝＝＝．
20．（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3．