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3.4&3.5与圆有关的角复习（圆心角和圆周角）
一、知识回顾：
重点分析：
1.圆具有旋转不变性，即绕着圆心任意旋转一个角度，所得的像都与原图形重合，圆绕圆心旋转180°与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2.顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角有如下性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距也相等。
3.圆周角有两个特征:(1) 顶点在圆上.(2)角的两边都和圆相交。
4.圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，即弧的度数的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。
5.难点分析:
1.在同圆或等圆中，两个圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。
2.在运用圆心角、圆周角的性质时，要注意“同圆或等圆”这一条件。
3.注意“在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等”是一个假命题，因为一条弦所对所的圆周角有两种可能。
二、典型例题
A组 基础训练
例1、如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
【解答】解：∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D
变式、如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为 60 度．
【解答】解：连接OC、OD，
∵＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠P＝60°，
故答案为：60．
例2、已知如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A＝35°，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【解答】解：连接OC，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠A＝35°，
∴∠OBC＝90°﹣35°＝55°，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝55°，
∴∠COB＝70°，
∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，
∴的度数为20°，
故选：A．
变式、如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝ 60 度．
【解答】解：连接OB，
∵OB＝OE＝BC，∠C＝40°，
∴∠COB＝∠C＝40°，
∴∠ABO＝∠C+∠COB＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO＝80°，
△AOC中，∠EOA＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
故答案为：60．
例3、如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（ ）
A．132.5° B．130° C．122.5° D．115°
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝57.5°，
∴∠ACB＝∠ABC＝57.5°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝65°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝130°，
故选：B．
变式、如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．
在△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．
故选：A．
例4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
【解答】解：∵∠BOC＝100°，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝80°，
∵AD∥OC，OD＝OA，
∴∠D＝∠A＝∠AOC＝80°，
∴∠AOD＝180°﹣2∠A＝20°．
故选：A．
变式、如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数 70° ．
【解答】解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE＝40°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC＝∠OCE＝70°．
例5、如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；（2）AE＝CE．
【解答】证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；
（2）∵＝，
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
变式、如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠BOD．
【解答】解：∵弦AB＝CD（已知），
∴＝；
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD．
例6、如图，在⊙O中，∠COB=50°，∠B=15°，则∠CDB的度数为___________.
变式、P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，
∴∠A＝×32°＝16°，∠ADB＝×88°＝44°，
∵∠P+∠A＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB﹣∠A＝44°﹣16°＝28°．
故选：B．
例7、如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝ 60° ．
【解答】解：连接OB．
∵＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
∴∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，
∴∠OED＝60°，
故答案为60°．
变式、如图，矩形ABCD、半圆O与直角三角形EOF分别是学生常用的直尺、量角器与三角板的示意图．已知图中点M处的读数是145°，则∠FND的读数为 55° ．
【解答】解：由题意：∠COM＝145°，∠EOF＝90°，
∴∠FOC＝55°，
∵AD∥BC，
∴∠FND＝∠FOC＝55°，
故答案为55°．
例8、如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠CEO＝40°，求∠BOE的度数．
【解答】解：如图所示，连接OD，
∵CD＝OA＝OD＝OE，∠CEO＝40°，
∴∠ODE＝∠E＝2∠C＝40°，
∴∠C＝20°，
∴∠BOE＝∠C+∠E＝60°．
变式、如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数．
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
【解答】解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∴∠BCD＝180°﹣2∠B＝50°，
∴的度数为50°；
（2）作CH⊥BD，如图，则BH＝DH，
在Rt△ACB中，AB＝＝15，
∵CH AB＝BC AC，
∴CH＝＝，
B组 提升训练
例1、如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OC．
∵∠DOB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∵＝，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴＝，
∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝r＝DE＝1，
∴OA＝2，
∴AE＝＝，
故选：A．
变式、如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝32°，则∠AEO的度数 48° ．
例2、如图，AB是⊙O的直径，点E是的中点，点F是的中点，AE、BF的延长线交于点P，则∠APB＝ 67.5° ．
【解答】解：连接OE，AF，
∵点E是的中点，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OE，
∴∠EAB＝45°，
∵点F是的中点，
∴∠FAB＝∠PAF＝∠EAB＝22.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠FAB＝67.5°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠B＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．
故答案为：67.5°．
变式、变式、如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为__2______.
例3、如图，AB是圆O的弦，AB＝20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是 20 ．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝×20＝20，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN＝AC，
当AC为直径时，AC的值最大，
∴MN的最大值为20，
故答案为：20．
变式、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（ ）
A．10.5 B．7﹣3.5 C．11.5 D．7﹣3.5
【解答】解：连结OA，OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝7，
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC＝14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AB＝AC＝7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝3.5，
∴GE+FH＝GH﹣EF＝14﹣3.5＝10.5．
故选：A．
例4、如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CB为半径画弧，点F是边AD上任一点，连接BF交于点E，则∠DEF＝ 45 °．
【解答】解：连接CE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵CB＝CE＝CD，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CED＝∠CDE，
∴∠BED＝（360°﹣90°）＝135°，
∴∠DEF＝180°﹣135°＝45°．
故答案为45．
变式、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为的中点，E是BA延长线上一点，若∠DAE＝120°，则∠CAD＝ 40° ．
【解答】解：∵AO⊥BC，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴＝2，
∴∠ACB＝2∠ACD，
又∵∠DAE＝120°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠ACD＝×120°＝40°，
∴∠CAD＝40°．
故答案为40°．
例5、已知⊙O的直径CD为4，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【解答】解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB＝PB′.．
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是的中点，
∴＝120°．
∴∠B′EA＝60°．
∴AB′＝4×＝2．
故选：C．
变式、如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN＝2，AB＝1，则△PAB周长的最小值是（ ）
A．2+1 B．+1 C．2 D．3
【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′，
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝，
∴A′B＝2．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝2，
∴△PAB周长的最小值是2+1＝3，
故选：D．
例6、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．不能确定
【解答】解：连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，
∴OD＝OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴OD＝BC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴＝，
故选：A．
变式1、如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：连结OD，如图，
∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，
∴BC垂直平分OD，
∴BD＝BO，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°，
∴的度数为为50°，
故选：B．
变式2、如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
△ADC中，∵∠BAC＝26°，
∴∠DCA＝180°﹣116°﹣26°＝38°，
故选：B．
例7、如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD＝6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝8，
故选：B．
变式、如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【解答】解：作直径CF，连结BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∴BC＝＝8．
故选：A．
例8、如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作⊙A，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G.求证：＝.
【解答】证明：连接AF，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF．
∴∠GAE＝∠EAF．
∴＝．
变式、如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边，所得的弦长相等，求∠BOC的度数。
【解答】解：∵△ABC中∠A＝70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣55°＝125°．
例9、如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ）
A. 到CD的距离保持不变 B. 位置不变
C. 等分 D. 随点C的移动而移动
【解答】解：连OP，如图，
∵CP平分∠OCD，
∴∠1＝∠2，
而OC＝OP，有∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OP∥CD，
又∵弦CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．
故选：B．
变式、如图，已知BC是⊙O的一条弦，A是⊙O的优弧BAC上的一个动点(点A与点B，，C不重合)，∠BAC的平分线AP交⊙O于点P，∠ABC的平分线BE交AP于点E，连结BP.
（1）求证：P为的中点；
（2）PE的长度是否会随点A的运动而变化？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵∠BAC的平分线AP交⊙O于点P，
即∠BAP＝∠CAP，
∴＝，
∴点P为的中点；
（2）解：PE的长度不会随点A的运动而变化．理由如下：
如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠4＝∠5，
∵∠3＝∠1+∠4，
而∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5+∠2，
∵∠2＝∠6，
∴∠3＝∠5+∠6，
∴PE＝PB，
∴PE的长度不会随点A的运动而变化．
例10、如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．（2分）
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB CE＝BC AC，
∴CE＝＝＝．
变式、如图，已知BC为半圆O的直径，＝，AC与BF交于点M.
（1）若∠FBC＝α，求∠ACB的度数(用含α的代数式表示).
（2）过点A作AD⊥BC于点D，交BF于点E.求证：BE＝EM.
【解答】解：（1）∵BC是直径，
∴AB⊥AC，
∴∠ABF+∠FBC+∠ACB＝90°．
∵弧AB＝弧AF，
∴∠ABF＝∠ACB，
∴2∠ACB+∠FBC＝90°，
又∠FBC＝α，
∴2∠ACB+α＝90°，
∴∠ACB＝45°﹣α；
（2）∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BAE＝∠ACB．
∵∠ABF＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠ABF，
∴BE＝AE．
∵∠AME＝90°﹣∠ABF，∠EAM＝90°﹣∠ACB，而∠ABF＝∠ACB，
∴∠AME＝∠EAM，
∴EM＝AE．
∴BE＝EM．
C组 专题扩展
例1、如图,已知AC是O的直径,点B在圆周上(不与A.C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交O于点E,若∠AOB=3∠ADB,则( )
A.DE=EB B.DE=EB C.DE=OB D.DE=DO
【解答】解：连接EO，∵OB=OE，∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D,
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D,
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，故选C
变式、如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连接PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（ ）
A．若β＝30°，则∠D＝120° B．若β＝60°，则∠D＝90°
C．若α＝10°，则＝150° D．若α＝15°，则＝90°
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB＝β，
∴∠POD＝∠B+∠ODB＝2β，
∵CP＝CO＝OD，
∴∠P＝∠COP＝α，∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCD＝∠P+∠COP，
∴∠ODC＝2α，
∵∠P+∠POD+∠ODP＝180°，
∴3α+2β＝180° ①，
不妨设选项A正确，则α＝30°，β＝30°，显然不满足①，故假设错误．
不妨设B正确，则α＝30°，β＝60°，显然不满足①，故假设错误．
不妨设C正确，则α＝10°，β＝75°，满足条件①，故选项C正确．
不妨设B正确，则α＝15°，β＝45°，显然不满足①，故假设错误．
故选：C．
例2、如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
变式、如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ﹣1 ．
【解答】解：连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以A点为圆心，1为半径的圆上，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣1＝﹣1，
即CD的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
例3、如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，
∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正确，
∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正确，
∵AE＝BE，
∴＝，
又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确．
∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，
∴BE＞2EC，
∴AE＞2EC，故③错误．
∵∠BEC＝90°，
∴BC＞BE，
又∵AE＝BE，
∴BC＞AE
故⑤错误．
故答案为：①②④．
变式、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是 5 cm．
【解答】解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∵AB＝10cm，∴AD＝5cm．
故答案为5．
例4、如图，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的圆交AD于点E，交BD于点F，过点D作DC∥AB交AF的延长线于点C，连接CB．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若AE＝7，BF＝2，求半圆的半径和菱形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AC⊥BD，
∵AB＝AD，
∴BF＝DF，
∵DC∥AB，
∴∠CDF＝∠ABF，
在△CFD和△AFB中，
∴△CFD≌△AFB（ASA），
∴CF＝AF，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵BF＝2，
∴BD＝4，
连接BE，则∠AEB＝90°，
设菱形的边长为2r，则DE＝AD﹣AE＝2r﹣7，
∵BD2﹣DE2＝AB2﹣AE2，即42﹣（2r﹣7）2＝（2r）2﹣72
解得r＝4或r＝﹣（舍去），
∴BE＝＝＝，
∴菱形ABCD的面积为：AD BE＝8×＝8．
变式、如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC
（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB＝2，∠AOE＝30°，求圆O的半径OC及PE的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC．
∴∠BAC＝∠OAC．
即AC平分∠OAB．
（2）∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝1．
又∵∠AOE＝30°，∠PEA＝90°，
∴∠OAE＝60°．OA＝2，
∴∠EAP＝∠OAE＝30°，
∴PE＝1×＝，
即PE的长是．
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3.4&3.5与圆有关的角复习（圆心角和圆周角）
一、知识回顾：
重点分析：
1.圆具有旋转不变性，即绕着圆心任意旋转一个角度，所得的像都与原图形重合，圆绕圆心旋转180°与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2.顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角有如下性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距也相等。
3.圆周角有两个特征:(1) 顶点在圆上.(2)角的两边都和圆相交。
4.圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，即弧的度数的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。
5.难点分析:
1.在同圆或等圆中，两个圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。
2.在运用圆心角、圆周角的性质时，要注意“同圆或等圆”这一条件。
3.注意“在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等”是一个假命题，因为一条弦所对所的圆周角有两种可能。
二、典型例题
A组 基础训练
例1、如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
变式、如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为 度．
例2、已知如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A＝35°，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
变式、如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝ 度．
例3、如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（ ）
A．132.5° B．130° C．122.5° D．115°
变式、如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
例4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
变式、如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数 ．
例5、如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；（2）AE＝CE．
变式、如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠BOD．
例6、如图，在⊙O中，∠COB=50°，∠B=15°，则∠CDB的度数为___________.
变式、P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
例7、如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝ ．
变式、如图，矩形ABCD、半圆O与直角三角形EOF分别是学生常用的直尺、量角器与三角板的示意图．已知图中点M处的读数是145°，则∠FND的读数为 ．
例8、如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠CEO＝40°，求∠BOE的度数．
变式、如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数．
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
B组 提升训练
例1、如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
变式、如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝32°，则∠AEO的度数 ．
例2、如图，AB是⊙O的直径，点E是的中点，点F是的中点，AE、BF的延长线交于点P，则∠APB＝ ．
变式、变式、如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为 .
例3、如图，AB是圆O的弦，AB＝20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是 ．
变式、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（ ）
A．10.5 B．7﹣3.5 C．11.5 D．7﹣3.5
例4、如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CB为半径画弧，点F是边AD上任一点，连接BF交于点E，则∠DEF＝ °．
变式、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为的中点，E是BA延长线上一点，若∠DAE＝120°，则∠CAD＝ ．
例5、已知⊙O的直径CD为4，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
变式、如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN＝2，AB＝1，则△PAB周长的最小值是（ ）
A．2+1 B．+1 C．2 D．3
例6、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．不能确定
变式1、如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
变式2、如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
例7、如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
变式、如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
例8、如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作⊙A，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G.求证：＝.
变式、如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边，所得的弦长相等，求∠BOC的度数。
例9、如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ）
A. 到CD的距离保持不变 B. 位置不变
C. 等分 D. 随点C的移动而移动
变式、如图，已知BC是⊙O的一条弦，A是⊙O的优弧BAC上的一个动点(点A与点B，，C不重合)，∠BAC的平分线AP交⊙O于点P，∠ABC的平分线BE交AP于点E，连结BP.
（1）求证：P为的中点；
（2）PE的长度是否会随点A的运动而变化？请说明理由．
例10、如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
变式、如图，已知BC为半圆O的直径，＝，AC与BF交于点M.
（1）若∠FBC＝α，求∠ACB的度数(用含α的代数式表示).
（2）过点A作AD⊥BC于点D，交BF于点E.求证：BE＝EM.
C组 专题扩展
例1、如图,已知AC是O的直径,点B在圆周上(不与A.C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交O于点E,若∠AOB=3∠ADB,则( )
A.DE=EB B.DE=EB C.DE=OB D.DE=DO
变式、如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连接PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（ ）
A．若β＝30°，则∠D＝120° B．若β＝60°，则∠D＝90°
C．若α＝10°，则＝150° D．若α＝15°，则＝90°
例2、如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式、如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
例3、如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是 ．
变式、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是 cm．
例4、如图，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的圆交AD于点E，交BD于点F，过点D作DC∥AB交AF的延长线于点C，连接CB．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若AE＝7，BF＝2，求半圆的半径和菱形ABCD的面积．
变式、如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC
（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB＝2，∠AOE＝30°，求圆O的半径OC及PE的长．
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