2.7探索勾股定理（2） 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
浙教版八上数学
2.7 探索勾股定理（2）
字母降临，神仙下凡---------一次顶一万次
换汤不换药------勾股定理+勾股定理逆定理
大约在公元前2700年，古埃及人已经建成了世界闻名的七十多座大大小小的金字塔。当时的生产工具很落后，没有直角三角板，更没有任何的先进的测量仪器。可是，这些金字塔的塔基却都是正方形，这确实是个谜？你想了解古埃及人用什么方法得到直角呢？
温故知新：
古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
《几何原本》记载了古埃及人得到直角的方法：
为什么会是直角呢？
1
4
8
(13)
埃及三角形
简要说明：
作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1=a=CB,
在C1N上截取C1A1=b=CA,
连接A1B1.
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2 .
∴ A1B1=AB ，∴ △ABC ≌△A1B1C1 . （SSS）
∴ ∠C=∠C1=90°，∴ △ABC是直角三角形.
a
c
b
A
C
B
b
a
C1
M
N
B1
A1
在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.
你能否判断 △ABC是直角三角形？并说明理由.
一定是直角三角形吗？
几何语言：
∵在△ABC中，a2 + b2 = c2
∴则△ABC是直角三角形.
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
b
c
C
a
B
A
勾股定理的逆定理：
归纳总结
定理 勾股定理 勾股定理的逆定理
内容 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
条件 直角三角形 a2＋b2＝c2
结论 a2＋b2＝c2 直角三角形
用途 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法
例1 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
（1）a＝7，b＝24，c＝25
（2）a＝ b＝1，c＝
解：（1）∵72+242＝252，
∴以7,24,25为边三角形是直角三角形
学以致用：
92+122=152
例2.以下两组数有什么特点？
62+82=102
1、都是正整数；
(1) 9，12，15; (2) 6，8，10;
2、都满足a2+b2=c2。
知识点：勾股数
3.埃及三角形：边长之比为3：4：5的直角三角形，
4.埃及三角形的代数表达：3n,4n,5n
1.根据下条件，判断下面以a,b,c为边三角形是不是直角三角形
(1)a=5，b=12，c=13
(2)a=8，b=15，c=17
(3)
变式训练：
　 　 　 2倍 3倍 3 4 5 6 8 10 9 12 15
5 12 13 10 24 26 15 36 39
8 15 17 16 30 34 24 45 51
7 24 25 14 48 50 21 72 75
4倍 10倍 12 16 20 30 40 50
20 48 52 50 120 130
32 60 68 80 150 170
28 96 100 70 240 250
勾股数扩大n (n为正整数)倍,还是勾股数
2.常见勾股数
字母运算，一次顶一万次：
3n 4n 5n
5n 12n 13n
8n 15n 17n
7n 24n 25n
例3、已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请说明理由
解：∵ a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2
∴a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2
＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2
＝(m2＋n2)2
＝m4＋2m2n2＋n4
＝c2
∴△ABC是直角三角形
变式： 已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1(n为
大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1，
AC =(n +1) =n4 +2n +1，
∴AB +BC = AC .
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
先确定AB、BC、AC、
的大小
课堂小结
一定是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
1.三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是: ( )
A. 直角三角形; B. 是锐角三角形;
是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形.
2.已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.
A
直角
∠ A
当堂检测：
夯实基础，稳扎稳打
3．将直角三角形的三边扩大10倍后，得到的三角形是 （ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
A
字母降临，神仙下凡----------字母运算，一次顶一万次
a2 + b2 = c2
(10a)2+(10b)2=100（a2 + b2)=100c2=(10c)2
4.边长满足关系(a-b)(a2+b2-c2)=0, △ABC是( )
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、等腰直角三角形
D、直角三角形或等腰三角形
连续递推，豁然开朗
a-b=0,
a=b
等腰三角形
a2+b2-c2=0,
a2+b2=c2
直角三角形
直角三角形或等腰三角形
D
5．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝90°.求这个四边形的面积．
解：连接AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即AC2＝32＋42＝25，AC＝5.
A
B
C
D
在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，
AD2＝132＝169，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴这个四边形的面积为 ×3×4＋ ×5×12＝36.
5
变式：6.若零件的形状及边长如图（2）所示,你还能求面积吗
图（2）
A
B
C
D
3
12
13
4
换汤不换药
勾股定理+勾股定理逆定理
S零件=30-6=24
（1）CD⊥AB
（2）BC⊥AC
1
A
C
B
D
2
3
7.如图，在三角形ABC中，AB=4，
BC=2，BD=1，CD= ，判断
下列结论是否正确，并说明理由.
思维拓展，更上一层
换汤不换药
勾股定理+勾股定理逆定理
“勾股数”的定义：
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
知识归纳
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 7，24，25；
8，15，17； 9，40，41；