2022-2023学年浙教版七年级上册数学第一章有理数 数轴大题专项练习（含答案）

浙教版七年级上册数学第一章有理数----数轴大题专项练习
一、综合题
1．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点衰示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB.线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB﹣b﹣a.
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm.
（1）请你在数轴上表示出A.B.C三点的位置：
（2）点C到点人的距离CA=　 　cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示的数为　 　；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　 　；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A.C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动.设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由.
2．已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由.
（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动.当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
3．已知数轴上两点 ， 对应的数分别为 ，8.
（1）如图1，如果点 和点 分别从点 ， 同时出发，沿数轴负方向运动，点 的运动速度为每秒2个单位，点 的运动速度为每秒6个单位.
① ， 两点之间的距离为　 　.
②当 ， 两点相遇时，点 在数轴上对应的数是　 　.
③求点 出发多少秒后，与点 之间相距4个单位长度？
（2）如图2，如果点 从点 出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点 、 分别是线段 、 的中点，在运动过程中，线段 的长度是否为定值.如果变化，请说明理由：如果不变，请直接写出线段 的长度.
4．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　，最小值是　 　”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，式子|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　，最小值是　 　．
（2）已知y=|x+8|﹣|x－2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．
5．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8
（1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,
（2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离．
6．“ 分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题．例：三个有理数a，b，c满足abc>0，求 的值．
解：由题意得： a， b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b， c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，
则： =1+1+1=3：
②当a，b， c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0， b<0， c<0，
则： =1+(-1)+(-1)=-1：
综上所述： 的值为3或-1．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知|a|=3，|b|=1，且a（2）已知a， b是有理数，当ab≠0时，求同问 的值，
（3）已知a， b， c是有理数，a+b+c=0，abc<0。求 的值。
7．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是－7，－1，1.
（1）若要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，则可将点B向左移动　 　个单位长度；
（2）若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，P同时出发，设运动时间为t秒.
①记点P与点Q之间的距离为 ，点Q与点R之间的距离为 ，请用含t的代数式表示 和 ，并判断是否存在一个常数m，使 的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由；
②若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？
8．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4、8（A、B两点间的距离用AB表示），点M、N是数轴上两个动点，分别表示数m、n
（1）AB＝　 　个单位长度；若点M在A、B之间，则|m＋4|＋|m－8|＝　 　
（2）若|m＋4|＋|m－8|＝20，求m的值
（3）若点M、点N既满足|m＋4|＋n＝6，也满足|n－8|＋m＝28，求m、n
9．点A在数轴上对应的数为3，点B对应的数为b，其中A、B两点之间的距离为5
（1）求b的值
（2）当B在A左侧时，一点D从原点O出发以每秒2个单位的速度向左运动，请问D运动多少时间，可以使得D到A、B两点的距离之和为8
（3）当B在A的左侧时，一点D从O出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时点M从B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，点N从A出发，以每秒4个单位的速度向右运动；在运动过程中，MN的中点为P，OD的中点为Q，请问MN-2PQ的值是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；如果没有变化，请求出这个值.
10．在数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a，b，c，d，且满足a，b到点 -7的距离为1 （a＜b），且（c﹣12）2与|d﹣16|互为相反数.
（1）填空：a＝　 　、b＝　 　、c＝　 　、d＝　 　；
（2）若线段AB以3个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，A、B两点都运动在CD上（不与C，D两个端点重合），若BD＝2AC，求t得值；
（3）在（2）的条件下，线段AB，线段CD继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使BC＝3AD？若存在，求t得值；若不存在，说明理由.
11．如图，数轴上线段AB=4（单位长度），CD=6（单位长度），点A在数轴上表示的数是-16，点C在数轴上表示的数是18．
（1）点B在数轴上表示的数是　 　，点D在数轴上表示的数是　 　，线段AD=　 　；
（2）若线段AB以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，
①若BC=6（单位长度），求t的值；
②当0＜t＜5时，设M为AC中点，N为BD中点，求线段MN的长．
12．数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础.若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题：
（1）若点P与表示有理数2的点的距离是3个单位长度，则a的值为　 　.
（2）若数轴上表示数a的点位于－5与2之间，则|a－2|+|a+5|＝　 　.
（3）代数式|a+4|+|a－5|+|a－1| +|a+3|的最小值是　 　.
（4）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是－1，点N对应的数是3，令点P在点N左侧运动，在点P、M、N中，若其中一点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，请直接写出此时点P所表示的数.
13．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究问题.
（提出问题）三个有理数a，b，c，满足abc>0，求 的值.
（解决问题）
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当a，b，c，都是整数，即a>0，b>0，c>0时，则 = =1+1+1=3；
②当a，b，c有一个为正数，另两个位负数时，设a>0，b<0，c<0，则 = =1 1 1= 1；
所以 的值为3或 1.
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc<0，求 的值；
（2）已知 =9， =4，且a14．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边.
（1）请直接写出A，B两点所对应的数.
（2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数.
（3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值.
15．阅读下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|，当A、B两点都不在原点时．
①如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|
②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=a﹣b=|a﹣b|
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=a﹣b=|a﹣b|
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|=|a﹣b|
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　 　，如果|AB|=2那么x为　 　．
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，
请说明理由．
16．在数轴上 、 两点分别表示有理数 和 ，我们用 表示 到 之间的距离；例如 表示7到3之间的距离.
（1）当 时， 的值为　 　.
（2）如何理解 表示的含义？
（3）若点 、 在0到3（含0和3）之间运动，求 的最小值和最大值.
17．在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：
数轴上A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|.如：|a+6|表示数a和﹣6在数轴上对应的两点之间的距离.|a﹣1|表示数a和1在数轴上对应的两点之间的距离.
（1）若a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，b与3a互为相反数，直接写出点A对应的数，点B对应的数.
（2）在（1）的条件下，已知点E从点A出发以1单位/秒的速度向右运动，同时点F从点B出发以2单位/秒的速度向右运动，FO的中点为点P，则下列结论：①PO+AE的值不变；②PO﹣AE的值不变，其中有且只有一个是正确的，选出来并求其值.
（3）在（1）的条件下，已知动点M从A点出发以1单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以3单位/秒的速度向左运动，动点T从原点的位置出发以x单位/秒的速度向左运动，三个动点同时出发，若运动过程中正好先后出现两次TM＝TN的情况，且两次间隔的时间为4秒，求满足条件的x的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图所示：
（2）5；﹣5或3
（3）﹣1+x
（4）解：CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA=（4+4t）﹣（﹣1+t）=5+3t，AB=（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）=2+3t，
∴CA﹣AB=（5+3t）﹣（2+3t）=3，
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化
2．【答案】（1）解：由题意得：3-x=x-(-1)
x=1
（2）解：①若点P在点A左侧，
(-1-x)+(3-x)=6
x=-2
②若点P在点A、B之间，
[x-(-1)]+(3-x)=6此方程无解，故这样的点P不存在
③若点P在点B右侧，
[x-(-1)]+(x-3)=6
X=4
∴P点对应的数是-2或4
（3）解：设t秒后，点A与点B重合
由题意得：2t-t=4
T=4
所以，点P运动的总路程=4×6=24
3．【答案】（1）12；-10；解：③P，Q两点相遇前， （12-4）÷（6-2）=2（秒）， P，Q两点相遇后， （12+4）÷（6-2）=4（秒）. 故求点P出发2或4秒后，与点Q之间相距4个单位长度；
（2）解：线段MN的长度不会变化，
∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，
∴PM= PA，PN= PB
∴PM+PN= （PA+PB）
∴MN= AB=6
4．【答案】（1）；2
（2）解：当x＞2时y＝x+8﹣（x－2）=10，
当 8≤x≤2时，y＝x+8+（x－2）=2x＋6，当x=2时，y最大＝10；
当x＜ 8，时y＝-x-8+（x－2）=-10，
综上所以x≥2时，y有最大值y＝10．
5．【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.
（2）MN=
6．【答案】（1）解：∵|a|=3，|b|=1，
∴a=±3，b=±1，
∵a∴当a=-3时b=1，a+b=-3+1=-2；
当a=-3，b=-1时，a+b=-3-1=-4.
∴a+b的值为-2或-4.
（2）解：当a，b同为正数时，
原式=；
当a，b同为负数时，
原式=；
当a，b为一正一负时，
原式=；
∴ 的值为-2或2或0.
（3）解：∵ a+b+c=0
∴a，b，c不可能都为负数，
∴a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a
∵abc＜0
∴a，b，c中两正一负，
设a＜0，b＞0，c＞0
∴原式=.
7．【答案】（1）2
（2）解：①由题意得：经过时间t秒点P向左移动了4t个单位长度，点Q向左移动了3t个单位长度，点R向右移动了t个单位长度，
∴经过时间t后点P在数轴上表示的数为-7-4t，点Q在数轴上表示的数为-1-3t，点R在数轴上表示的数为1+t.
∴
.
∴ .
∴当 ，即 时， 的值不随t的变化而改变.
②∵AB=6，
∴点Q到达A点的时间为 （秒）.
∴当t>2时，点Q向左移动了6+7（t-2）=7t-8个单位长度.
∴经过时间t后点Q在数轴上表示的数为-1-（7t-8）=-7t+7.
由（2）①可得：经过时间t后点P在数轴上表示的数为-7-4t.
∴ .
当PQ=3，即 =3时，
可得：14-3t=3或3t-14=3，
解得 或 .
综上所述， 为 或 时，点P与点Q距离3个单位长度.
8．【答案】（1）12；12
（2）解：如果m在-4的左边，则-m-4+8-m=20,
m=-8.
如果m在8的右边，则m+4+m+8=20,
m=4
所以m=-8或4
（3）解：|m＋4|＋n＝6，|n－8|＋m＝28
当m<-4,n<8时，-m-4+n=6,8-n+m=28，无解.
当m<-4,n>8时，-m-4+n=6,n-8+m=28，n=23,m=13，矛盾.
当m>-4,n<8时，m+4+n=6,8-n+m=28，m=11,n=-9.
当m>-4,n>8时，m+4+n=6,n-8+m=28，无解.
9．【答案】（1）解：由题意得： ，解得：
（2）解：当B在A左侧时，由（1）可知： ，设点D运动的时间为t秒，则D表示的数为-2t，当D到A、B两点的距离之和为8时，可得D在B左侧，且DB+DA=DB+DB+AB=2DB+5=8，故 DB=1.5，即-2-（-2t）=1.5，解得t=1.75
（3）解：在运动过程中，MN-2PQ=4恒成立，理由如下：
当B在A左侧时，由（1）可知： ，设点D运动的时间为t秒，则
D表示的数为-2t，M表示的数为-2-t，N表示的数为3+4t；
故MN的中点P表示的数为0.5+1.5t，OD的中点Q表示的数为-t；
则MN-2PQ=[（3+4t）-（-2-t）]-2[(0.5+1.5t)-(-t)]
=5+5t-2(0.5+2.5t)
=5+5t-1-5t
=4
10．【答案】（1）-8；-6；12；16
（2）解：AB、CD运动时，
点A对应的数为： 8＋3t，
点B对应的数为： 6＋3t，
点C对应的数为：12 t，
点D对应的数为：16 t，
∴BD＝|16 t （ 6＋3t）|＝|22 4t|
AC＝|12 t （ 8＋3t）|＝|20 4t|
∵BD＝2AC，
∴22 4t＝±2（20 4t）
解得：t＝ 或t＝
当t＝ 时，此时点B对应的数为 ，点C对应的数为 ，此时不满足题意，
故t＝
（3）解：当点B运动到点D的右侧时，
此时 6＋3t＞16 t
∴t＞ ，
BC＝|12 t （ 6＋3t）|＝|18 4t|，
AD＝|16 t （ 8＋3t）|＝|24 4t|，
∵BC＝3AD，
∴|18 4t|＝3|24 4t|，
解得：t＝ 或t＝
经验证，t＝ 或t＝ 时，BC＝3AD
11．【答案】（1）-12；24；40
（2）解：①设运动t秒时，BC=6
当点B在点C的左边时，
由题意得：4t+6+2t=30，
解之：t=4；
当点B在点C的右边时，
由题意得：4t 6+2t=30，
解之：t=6.
综上可知，若BC=6(单位长度)，t的值为4或6秒；
②当0A点表示的数为 16+4t，B点表示的数为 12+4t，
C点表示的数为18 2t，D点表示的数为24 2t，
∵M为AC中点，N为BD中点，
∴点M表示的数为：=1+t，点N表示的数为：=6+t
∴MN=6+t-（1+t）=5.
12．【答案】（1）5或-1
（2）7
（3）13
（4）-13或-3或- 或 -9或 2或0或 或
13．【答案】（1）解：∵abc<0，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即a<0，b<0，c<0时，则原式= 1 1 1= 3；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a<0，b>0，c>0，则原式= 1+1+1=1；
（2）解：∵ =9， =4
∴a= 9，b=±4
∵a∴当a=-9，b=4时，a 2b= 9 2×4=-17，
当a=-9，b=-4时，a 2b= 9 2×(-4)=-1，
14．【答案】（1）A点所对应的数是﹣8；B对应的数是20
（2）解：设经过x秒点A、B相遇，
根据题意得：3x﹣x＝28，
解得：x＝14，
则点C对应的数为﹣8﹣14＝﹣22；
（3）解：依题意有：
20﹣2t＝8+t，
解得t＝4；
或2t＝20，
解得t＝10；
或2（2t﹣20）＝8+t，
解得t＝16；
或2t﹣t＝20+8，
解得t＝28；
或2t﹣20＝2（8+t），方程无解.
故t的值为4或10或16或28.
故答案为（1）A点所对应的数是﹣8；B对应的数是20；（2）﹣22；（3）4或10或16或28.
15．【答案】（1）3；3；7
（2）；1或﹣3
（3）解：代数式|x－1|+|x+3|表示数轴上一点到1、－3两点的距离的和，根据两点之间线段最短可知，有最小值为：1－（－3）=4．
16．【答案】（1）5或-3
（2）解：∵ = ，
∴ 表示 到-2的距离
（3）解：∵点 、 在0到3（含0和3）之间运动，
∴0≤a≤3, 0≤b≤3,
当 时， =0+2=2，此时值最小，
故最小值为2；
当 时， =2+5=7，此时值最大，
故最大值为7
17．【答案】（1）解：a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，所以数a和﹣6，a和﹣4，a和1在数轴上对应的两点之间的距离之和最小，
∴a＝﹣4，b＝12
∴点A对应的数﹣4，点B对应的数12
（2）解：PO﹣AE的值不变
设运动时间为t秒，根据题意可得：BF＝2t，AE＝t，则OF＝12+2t
∵FO的中点为点P
∴OP＝6+t
∴PO﹣AE＝6+t﹣t＝6
PO﹣AE的值不变
（3）解：设运动时间为t秒，则AM＝t，OT＝xt，BN＝3t
根据第一次TM＝TN得：xt+12﹣3t＝4+t﹣xt
根据第二次TM＝TN得：x（t+4）﹣{3（t+4）﹣12}＝4+（4+t）﹣x（4+t）
两式联立得：x＝2
∴满足条件的x的值为2