一次函数单元测试
（难度：困难）
满分100分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a
B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量
C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D．如果a＝b，那么a，b都是常量
2．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）以固定的速度v0（m/s）向上抛出一个小球，小球的高度h（m）与小球运动的时间t（s）之间的关系式是h＝v0t﹣4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（ ）
A．常量为4.9，变量为t，h
B．常量为v0，变量为t，h
C．常量为﹣4.9，v0，变量为t，h
D．常量为4.9，变量为v0，t，h
4．（3分）已知y1，y2均为关于x的函数，当x＝a时，函数值分别为A1，A2，若对于实数a，当0＜a＜1时，都有﹣1＜A1﹣A2＜1，则称y1，y2为亲函数，则以下函数y1和y2是亲函数的是（ ）
A．y1＝x2+1，y2＝ B．y1＝x2+1，y2＝2x﹣1
C．y1＝x2﹣1，y2＝ D．y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣1
5．（3分）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14，若输入x的值是﹣4，则输出y的值是（ ）
A．﹣14 B．﹣13 C．﹣6 D．﹣4
6．（3分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）定义新运算：a b＝，例如：3 4＝，3 （﹣4）＝，则函数y＝5 x（x≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止．已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则矩形对角线AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
9．（3分）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限
③
④d＜a+b+c
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（0，5） C． D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）若关于x的函数y＝kx﹣2k+3﹣x+5（x≠0）是一次函数，则k＝ ．
12．（4分）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣3]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+＝1的解为 ．
13．（4分）当﹣2≤x≤4时，直线y＝kx+b经过点（0，﹣2），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则k的值为 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标是（0，﹣1），点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x轴交于点B0（﹣2，0），点B1，B2，B3，B4…都在x轴上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A2022B2022B2023的腰长A2022B2022为 ．
15．（4分）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 千米．
16．（4分）如图，直线y＝2x+1与y轴交于点A，直线上一点B（m，3），在x轴上存在一点P，使PA+PB最小．
（1）点P的坐标为 ．
（2）PA+PB＝ ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 ．
三．解答题（共6小题，满分42分，每小题7分）
18．（7分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共400吨，甲厂的生产量是乙厂的2倍少80吨．这批防疫物资将运往A地220吨，B地180吨，运费如表（单位：元/吨）．
目的地生产 A B
甲 30 45
乙 25 35
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从甲厂运往A地a吨，全部运往A，B两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案，求出最少总运费．
19．（7分）周末早晨，小明父子两人同时从家出发跑步锻炼身体．小明跑步速度快，跑了一段时间后立即以一定的速度按原路返回，与爸爸相遇后，父子两人按小明返回时的速度返回家中．下面的图象反映的是父子两人离家的距离和离家的时间的关系，观察图象回答问题：
（1）小明去广场时的速度是 米/分；爸爸去广场时的速度是 米/分；父子两返回时的速度是 米/分；
（2）a表示的数字是 ；
（3）直接写出运动过程中父子两人何时相距200米．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2）．
（1）将点A向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是 ；点C与点A关于原点O成中心对称，则点C的坐标是 ；
（2）一次函数的图象经过B，C两点，求直线BC的函数表达式；
（3）设直线BC与x轴交于点D，点P在x轴上，且满足△PBD的面积为6，求点P的坐标．
21．（7分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
22．（7分）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5），是“垂距点”的为 ；
（2）若D（m，m）为“垂距点”，求m的值；
（3）若过点（2，3）的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是 ．
23．（7分）如图1，已知 ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是 ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标．
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x﹣1上，求点P的坐标．
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）
第1页（共1页）一次函数单元测试
（难度：困难）
满分100分
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a
B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量
C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D．如果a＝b，那么a，b都是常量
【分析】根据自变量与常量、因变量的定义解答．
【解答】解：A、正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a，正确；
B、圆的面积公式S＝πr2中的π是常量，正确；
C、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确；
D、如果a＝b，那么a，b都是变量，故错误．
故选：D．
【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
2．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论．
【解答】解：当x取一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
选项C中的曲线，当x取一个值时，y的值可能有2个，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
故C中曲线不能表示y是x的函数，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的概念，对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
3．（3分）以固定的速度v0（m/s）向上抛出一个小球，小球的高度h（m）与小球运动的时间t（s）之间的关系式是h＝v0t﹣4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（ ）
A．常量为4.9，变量为t，h
B．常量为v0，变量为t，h
C．常量为﹣4.9，v0，变量为t，h
D．常量为4.9，变量为v0，t，h
【分析】根据函数的变量与常量的意义作答．
【解答】解：h＝v0t﹣4.9t2中，t为自变量，h为因变量，v0与﹣4.9是定值为常量，
故选：C．
【点评】本题考查函数的变量与常量，掌握变量与常量的意义是解题关键．
4．（3分）已知y1，y2均为关于x的函数，当x＝a时，函数值分别为A1，A2，若对于实数a，当0＜a＜1时，都有﹣1＜A1﹣A2＜1，则称y1，y2为亲函数，则以下函数y1和y2是亲函数的是（ ）
A．y1＝x2+1，y2＝ B．y1＝x2+1，y2＝2x﹣1
C．y1＝x2﹣1，y2＝ D．y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣1
【分析】结合题意，根据二次函数、反比例函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得了答案．
【解答】解：（1）A选项，
∵y1＝x2+1，y2＝，
∴y1﹣y2＝x2+1，
当0＜x＜1时，＞1，且x2+1＞1，
∴y1﹣y2＝x2+1＞1，
即此选项不合题意；
（2）B选项，
∵y1＝x2+1，y2＝2x﹣1，
∴y1﹣y2＝x2+1﹣（2x﹣1）
＝（x﹣1）2+1，
当0＜x＜1时，（x﹣1）2+1＞1，
即此选项不合题意；
（3）C选项，
∵y1＝x2﹣1，y2＝，
∴y1﹣y2＝x2﹣1﹣（）
＝x2+﹣1，
当x＝时，x2+﹣1＝＞1，
即此选项不合题意；
（4）D选项，
∵y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣1，
∴y1﹣y2＝x2﹣1﹣（2x﹣1）
＝x2﹣2x，
当0＜x＜1时，﹣1＜x2﹣2x＜0，
即此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式，二次函数、反比例函数的智识，解题的关键是熟练掌握二次函数、反比例函数图象的性质，从而完成求解．
5．（3分）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14，若输入x的值是﹣4，则输出y的值是（ ）
A．﹣14 B．﹣13 C．﹣6 D．﹣4
【分析】根据题意把x＝5，y＝14代入y＝3x﹣2b中求出b的值，再把x＝﹣4，b＝，代入y＝2x+4b中进行计算即可解答．
【解答】解：把x＝5，y＝14代入y＝3x﹣2b中得：
14＝15﹣2b，
∴b＝，
把x＝﹣4，b＝，代入y＝2x+4b中可得：
y＝﹣8+2＝﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查了函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数图象可知，小聪从家出发，则图象从原点开始，在10～20分钟休息可解答．
【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，所以C，D错误；
小聪在凉亭休息10分钟，所以A正确，B错误．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
7．（3分）定义新运算：a b＝，例如：3 4＝，3 （﹣4）＝，则函数y＝5 x（x≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得y＝5 x＝，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．
【解答】解：由题意得：y＝5 x＝，
当x＞0时，反比例函数y＝在第一象限，
当x＜0时，反比例函数y＝﹣在第二象限，
又因为反比例函数图象是双曲线，因此B选项符合．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线．
8．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止．已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则矩形对角线AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】根据△ABP的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，再由勾股定理计算即可．
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，
当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间x的增大而增大，
由图2知，当x＝3时，点P到达点C处，
∴BC＝3×2＝6（cm）；
当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为7﹣3＝4（s），
∴CD＝2×4＝8（cm），
∴AC＝（cm），
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽．
9．（3分）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限
③
④d＜a+b+c
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据函数图象直接得到结论；
②根据a、d的符号即可判断；
③当x＝3时，y1＝y2；
④当x＝1和x＝﹣1时，根据图象得不等式．
【解答】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，故②正确；
∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b＝3c+d
∴3a﹣3c＝d﹣b，
∴a﹣c＝（d﹣b），故③正确；
当x＝1时，y1＝a+b，
当x＝﹣1时，y2＝﹣c+d，
由图象可知y1＞y2，
∴a+b＞﹣c+d
∴d＜a+b+c，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
10．（3分）如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（0，5） C． D．
【分析】首先证明AB＝AC＝8，取点F（3，8），连接CF，EF，BF．由△ECF≌△DAB（SAS），推出BD＝EF，推出BD+BE＝BE+EF，因为BE+EF≥BF，推出BD+BE的最小值为线段BF的长，推出当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，求出直线BF的解析式即可解决问题．
【解答】解：由题意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），
∴AB＝AC＝8，
取点F（3，8），连接CF，EF，BF．
∵C（3，0），
∴CF∥OA，
∴∠ECF＝∠CAO，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠CAO＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠ECF，
∵CF＝AB＝8，AD＝EC，
∴△ECF≌△DAB（SAS），
∴BD＝EF，
∴BD+BE＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，
∴BD+BE的最小值为线段BF的长，
∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，
∵直线BF的解析式为：y＝x+4，
∴H（0，4），
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、最短问题等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）若关于x的函数y＝kx﹣2k+3﹣x+5（x≠0）是一次函数，则k＝ 0或 ．
【分析】分三种情况：当﹣2k+3＝1时，当kx﹣2k+3的系数为0时，当﹣2k+3＝0时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分三种情况：
①当﹣2k+3＝1时，
解得k＝1，
当k＝1时，则原函数为：y＝5，不是一次函数；
②当kx﹣2k+3的系数为0时，
即k＝0，则原函数为：y＝﹣x+5，是一次函数，所以k＝0；
③当﹣2k+3＝0时，解得k＝，原函数为y＝﹣x+，是一次函数，所以k＝，
综上所述，k的值为0或，
故答案为：0或．
【点评】本题考查了一次函数的定义，分三种情况进行讨论是解题的关键．
12．（4分）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣3]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+＝1的解为 x＝4 ．
【分析】首先根据题意可得y＝x+m﹣3，再根据正比例函数的解析式为：y＝kx（k≠0）可得m的值，把m的值代入关于x的方程，再解分式方程即可．
【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣3，
∵“关联数”[1，m﹣3]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣3＝0，
解得：m＝3，
则关于x的方程+＝1变为+＝1，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入最简公分母3（x﹣1）＝3≠0，
故x＝4是原分式方程的解，
故答案为：x＝4．
【点评】此题主要考查了解分式方程，以及正比例函数，关键是求出m的值，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．
13．（4分）当﹣2≤x≤4时，直线y＝kx+b经过点（0，﹣2），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则k的值为 ．
【分析】由直线解析式可得直线与坐标轴交点坐标，由直线与两坐标轴所围成的三角形面积为3及﹣2≤x≤4可得k的值．
【解答】解：将（0，﹣2）代入y＝kx+b得b＝﹣2，
∴y＝kx﹣2，
令kx﹣2＝0得x＝，
∴直线y＝kx﹣2经过点（0，﹣2），（），
∴直线与两坐标轴所围成的三角形面积为×|﹣2|×||＝3，
∴＝±3，
∵﹣2≤x≤4，
∴＝3，
解得k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数的性质，掌握一次函数与方程的关系．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标是（0，﹣1），点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x轴交于点B0（﹣2，0），点B1，B2，B3，B4…都在x轴上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A2022B2022B2023的腰长A2022B2022为 32021 ．
【分析】过点A2作A2C1⊥x轴，设∠OB0A1＝α，，进而分别计算出，，……找到规律即可求解．
【解答】解：过点A2作A2C1⊥x轴，
∵B0（﹣2，0），A1（0，﹣1），
∴OB0＝2，OA1＝1，
∴，
∴，
设∠OB0A1＝α，
∵△A1B1B2是等腰直角三角形，
∴A1B1O＝45°，
∴，，
∴B1（﹣1，0），B2（1，0），
∴B2B0＝3，
∵△A2B2B3是等腰直角三角形，
∴A2C1＝B2C1，
则，
即，
∴A2C1＝B2C1＝3，
∴，
∴B2B3＝2A2C1＝6，
∴B0B3＝B0B2+B2B3＝3+6＝9，
同理可得，得A3C2＝9，
∴，
..．
∴AnBn＝3n﹣1，
∴A2022B2022＝32021．
故答案为：32021．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切的定义，找到规律是解题的关键．
15．（4分）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 150 千米．
【分析】由图象可知甲车从A地到B地用了4小时，进而可知甲车的速度，得出A、B两地的距离是300千米，进而得出乙车到达A地的时间，进而可得答案．
【解答】解：由图象可知，甲车从A地到B地用了4小时，
∵经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地，
∴甲车从B地到C地用12﹣4＝8（小时），乙从B地到C地用了12小时，
∵A、C两地的距离是300千米，
∴甲车的速度是300÷（8﹣4）＝75（千米/时），
∴A、B两地之间的距离是75×4＝300（千米），
∴乙车从B地到达A地需要＝6（小时），
此时甲的路程为75×6＝450（千米），
∴甲车矩A地450﹣300＝150（千米），
故答案为：150．
【点评】本题以行程问题为背景的函数图象的应用，解决问题的关键是根据函数图象理解题意，求得甲车的速度．
16．（4分）如图，直线y＝2x+1与y轴交于点A，直线上一点B（m，3），在x轴上存在一点P，使PA+PB最小．
（1）点P的坐标为 （，0） ．
（2）PA+PB＝ ．
.【分析】在y＝2x+1中，可得A（0，1），由B（m，3）在y＝2x+1上，可得B（1，3），作A（0，1）关于x轴的对称点A'（0，﹣1），连接BA交x轴于P，此时PA+PB最小，
（1）设直线A'B解析式为y＝kx+b，用待定系数法可得直线A'B解析式为y＝4x﹣1，即可得P（，0）；
（2）由A'（0，﹣1），B（1，3），可得PA+PB最小值为．
【解答】解：在y＝2x+1中，令x＝0得y＝1，
∴A（0，1），
∵B（m，3）在y＝2x+1上，
∴3＝2m+1，
解得m＝1，
∴B（1，3），
作A（0，1）关于x轴的对称点A'（0，﹣1），连接BA交x轴于P，此时PA+PB最小，如图：
（1）设直线A'B解析式为y＝kx+b，将A'（0，﹣1），B（1，3）代入得：
，
解得，
∴直线A'B解析式为y＝4x﹣1，
令y＝0得x＝，
∴P（，0），
故答案为：（，0）；
（2）∵A（0，1）关于x轴的对称点A'（0，﹣1），
∴PA＝PA'，
∴PA+PB＝PA'+PB＝A'B，
∵A'（0，﹣1），B（1，3），
∴A'B＝＝，
∴PA+PB最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，能熟练应用“将军饮马”模型解决问题．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 ，） ．
【分析】将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2），取AA′的中点K（﹣2，﹣1），直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．求出直线BK的解析式，利用方程组确定交点P坐标即可
【解答】解：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2），
取AA′的中点K（﹣2，﹣1），
直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．
∵直线BK的解析式为y＝5x+9，
由，解得，
∴点P坐标为（﹣，﹣），
故答案为（﹣，﹣）．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
三．解答题（共6小题，满分42分，每小题7分）
18．（7分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共400吨，甲厂的生产量是乙厂的2倍少80吨．这批防疫物资将运往A地220吨，B地180吨，运费如表（单位：元/吨）．
目的地生产 A B
甲 30 45
乙 25 35
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从甲厂运往A地a吨，全部运往A，B两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案，求出最少总运费．
【分析】（1）设这批防疫物资乙厂生产了x吨，则甲厂生产了（2x﹣80）吨，根据题意列方程组解答即可；
（2）根据题意得出w与a之间的函数关系式以及a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设这批防疫物资乙厂生产了x吨，则甲厂生产了（2x﹣80）吨，根据题意得：
x+（2x﹣80）＝400，
解得x＝160，
∴2x﹣80＝240，
答：甲厂生产了240吨，乙厂生产了160吨；
（2）∵从甲厂运往A地a吨，
∴从甲运往B地（240﹣a）吨，从乙运往A地（220﹣a）吨，从乙运往B地（a﹣60）吨，
根据题意，得w＝30a+45（240﹣a）+25（220﹣a）+35（a﹣60）＝﹣5a+14200，
∵，
∴60≤a≤220，
∵w随a的增大而减小，
∴当a＝220时，总运费最少，w最小＝﹣5×220+14200＝13100，
即从甲厂运往A地220吨，从甲运往B地20吨，从乙运往A地0吨，从乙运往B地160吨，最少总运费为13100元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和一次函数的解析式．
19．（7分）周末早晨，小明父子两人同时从家出发跑步锻炼身体．小明跑步速度快，跑了一段时间后立即以一定的速度按原路返回，与爸爸相遇后，父子两人按小明返回时的速度返回家中．下面的图象反映的是父子两人离家的距离和离家的时间的关系，观察图象回答问题：
（1）小明去广场时的速度是 200 米/分；爸爸去广场时的速度是 150 米/分；父子两返回时的速度是 100 米/分；
（2）a表示的数字是 45 ；
（3）直接写出运动过程中父子两人何时相距200米．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”解答即可；
（2）根据（1）的结论求出a的值；
（3）分小明到达广场前与到达广场后两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）由题意可得，小明去广场时的速度是：3000÷15＝200（米/分）；
爸爸去广场时的速度是：2700÷18＝150（米/分）；
父子两返回时的速度是：（3000﹣2700）÷（18﹣15）＝100（米/分）；
故答案为：200；150；100；
（2）由题意可得，a＝18+2700÷100＝45，
故答案为：45；
（3）由题意得，200x﹣150x＝200或150x+100（x﹣15）＝3000﹣200，
解得x＝4或x＝17.2，
答：当出发4分钟或17.2分钟时，父子两人何时相距200米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，路程、速度与时间关系的应用，理解题意，从函数图象中获取有用信息是解题的关键．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2）．
（1）将点A向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是 （4，4） ；点C与点A关于原点O成中心对称，则点C的坐标是 （1，﹣2） ；
（2）一次函数的图象经过B，C两点，求直线BC的函数表达式；
（3）设直线BC与x轴交于点D，点P在x轴上，且满足△PBD的面积为6，求点P的坐标．
.【分析】（1）根据点的平移和点关于点的中心对称的定义来做即可．
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可．
（3）三角形的高是三角形一顶点纵坐标，三角形面积已知可求出三角形一底边长，然后表示出P点的坐标．
【解答】解：（1）根据平移定义可得B点坐标为：（4，4）；
根据中心对称定义可得C点的坐标为：（1，﹣2）；
故答案为：（4，4），（1，﹣2）；
（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+b，
∵一次函数的图象经过B，C两点，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣4；
（3）如图所示，P点有可能在D点的右边，也可能在D点左边，
即S△PBD＝S△PBD＝6，
PD×4＝6，
∴PD＝3，
又∵D点是直线BC与x轴的交点，
∴2x﹣4＝0，
得x＝2，
∴D点坐标为（2，0），
∴P点坐标是：（5，0）或（﹣1，0）．
【点评】本题考查了平移、中心对称的定义，一次函数的解析式以及直线与坐标轴围成的三角形的面积，做题的关键要掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，利用面积法求三角形边长，进而确定点的坐标．
21．（7分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
.【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）先确定D点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得，
解得．
所以一次函数解析式为y＝x+；
（2）把x＝0代入y＝x+，
得y＝，
所以D点坐标为（0，），
所以△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD
＝××2+××1
＝．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积．
22．（7分）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5），是“垂距点”的为 A和B ；
（2）若D（m，m）为“垂距点”，求m的值；
（3）若过点（2，3）的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是 k＜﹣或k＞﹣且k≠0 ．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据“垂距点”的定义，得到|m|+||＝4，解得即可；
（3）如图，取E（0，4），F（4，0），G（﹣4，0）．连接EF，EG，在EF上取一点P，作PM⊥OE于M，PN⊥OF于N．首先说明线段EF或线段EG上的点是“垂距点”，当直线y＝kx+b与线段EF或线段EG有交点时，直线y＝kx+b上存在“垂距点”，
【解答】解：（1）根据题意，对于点A而言，|2|+|2|＝4，
A是“垂距点”，
对于点B而言，||+|﹣|＝4，
B是“垂距点”，
对于点C而言，|﹣1|+|5|＝6≠4，
所以C不是“垂距点”，
故答案为A和B．
（2）根据题意得|m|+||＝4
①当m＞0时，则2m＝4，
解得m＝2，
②当m＜0时，则﹣2m＝4，
解得m＝﹣2，
故m的值为±2．
（3）如图，取E（0，4），F（4，0），G（﹣4，0）．连接EF，EG，在EF上取一点P，作PM⊥OE于M，PN⊥OF于N．
则有四边形PMON是矩形，可得PN＝OM，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝45°
∴PM＝EM，
∴PM+PN＝OM+EM＝4，
∴线段EF或线段EG上的点（不包括端点E，F，G）是“垂距点”，当直线y＝kx+b与线段EF或线段EG有交点时，直线y＝kx+b上存在“垂距点”，
∵直线y＝kx+b，经过A（2，3），
∴3＝2k+b，
∴b＝3﹣2k，
∴直线y＝kx+3﹣2k，
当直线经过E（0，4）时，k＝﹣，
当直线经过F（4，0）时，k＝﹣，
观察图象可知满足条件的k的值为k＜﹣或k＞﹣且k≠0．
故答案为：k＜﹣或k＞﹣且k≠0．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
23．（7分）如图1，已知 ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是 ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标．
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x﹣1上，求点P的坐标．
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）
【分析】（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；
（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；
（3）分三种情形①如图1中，当点P在线段CD上时．②如图2中，当点P在AB上时．③如图3中，当点P在线段AD上时．分别求解即可；
【解答】解：（1）∵CD＝6，
∴点P与点C重合，
∴点P坐标为（3，4）．
（2）①当点P在边AD上时，
∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，
若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y＝x﹣1上，
∴2a+2＝a﹣1，
解得a＝﹣3，
此时P（﹣3，4）．
若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y＝x﹣1上时，
∴﹣2a﹣2＝﹣a﹣1，解得a＝﹣1，此时P（﹣1，0）
②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，
若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y＝x﹣1上，
∴4＝a﹣1，解得a＝5，此时P（5，﹣4），
若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y＝x﹣1上，
∴﹣4＝﹣a﹣1，
解得a＝3，此时P（3，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．
（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．
在Rt△PNM′中，∵PM＝PM′＝6，PN＝4，
∴NM′＝＝2，
在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2＝GM′2，
∴22+（2+m）2＝m2，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，4）
根据对称性可知，P（，4）也满足条件．
②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．
③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG＝∠M′GR，推出M′R＝M′G＝GM，设M′R＝M′G＝GM＝x．
∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴R（﹣1，0），
在Rt△OGM′中，有x2＝22+（x﹣1）2，解得x＝，
∴P（﹣，3）．
点P坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）．
【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
