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第二章《二次函数》复习学案
班级___________ 姓名 _____________
知识点1：二次函数的概念
.下列函数不属于二次函数的是（ C ）
A. B. C. D.
如果函数是二次函数，那么k的值为 0 .
知识点2：二次函数的图像与性质：
1、二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ A ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
2、对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ D ）
A． 图象关于直线x=1对称 B． 函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
C． ﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根 D． 当x＜1时，y随x的增大而增大
4、若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ C ）
A． 抛物线开口向上 B． 抛物线的对称轴是x=1
C． 当x=1时，y的最大值为﹣4 D． 抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
5、设A是抛物线上的三点，则的大小关系为（ A ）
A. B. C. D.
6、将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ A ）
A． y=（x﹣1）2+3 B． y=（x+1）2+3 C． y=（x﹣1）2﹣3 D． y=（x+1）2﹣3
知识点3：抛物线与坐标轴的交点问题：
1、已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（ B ）
A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=1，x2=2 C． x1=1，x2=0 D． x1=1，x2=3
2、抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（ C ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ A ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
4、若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5、如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（ A ）
A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2
6、设三点依次分别是抛物线与轴的交点以及与轴的两个交点，则△的面积是 .
7、已知抛物线与轴有两个不同的交点．
(1)求的取值范围；
(2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值.
解:（1）∵ 抛物线与轴有两个不同的交点，
∴ ＞0，即解得c＜.
(2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，
∵ 两交点间的距离为2，∴ .
由题意，得,解得,
∴ ，．
知识点4：抛物线的图象与有关符号的判断
1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ A ）
A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．
2、函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（ B ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
第1题 第2题 第3题
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（ A ）
A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
4、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（ C ）
A． ①② B． ①③ C． ①③④ D． ①②③④
5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：
①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，
错误的个数有（ B ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．] 4个
第4题 第5题
知识点5：函数解析式：
1、如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式
∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；
2、如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴，
解得：a=﹣1，k=4，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．
3、已知抛物线的顶点为,与y轴的交点为求它的解析式.
∵ 抛物线的顶点为∴ 设其解析式为①
将代入①得∴
故所求抛物线的解析式为即
4、抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
知识点6：二次函数的应用
1、某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间
x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行 . 600 m才能停
下来.
2、炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我军炮位A与射击目标B的水平距离为600 m，炮弹运行的最大高度为1 200 m.
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若在A、B之间距离A点500 m处有一高350 m的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.
解（1）建立直角坐标系，设点A为原点，
则抛物线过点（0，0），（600，0），
从而抛物线的对称轴为直线.
又抛物线的最高点的纵坐标为1 200，
则其顶点坐标为（300，1 200） ，
所以设抛物线的解析式为，
将（0，0）代入所设解析式得，
所以抛物线的解析式为.
（2）将代入解析式，得，
所以炮弹能越过障碍物.
3、某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格x（元/个） … 30 40 50 60 …
销售量y（万个） … 5 4 3 2 …
同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y=ax+b，
则，
解得：，
故函数解析式为：y=﹣x+8；
（2）根据题意得出：
z=（x﹣20）y﹣40
=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40
=﹣x2+10x﹣200，
=﹣（x2﹣100x）﹣200
=﹣[（x﹣50）2﹣2500]﹣200
=﹣（x﹣50）2+50，
故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．
（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．
如上图，通过观察函数y=﹣（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=﹣x+8，y随x的增大而减少，
4、如图所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时）的变化满足函数关系h=-(t-19)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
解：(1)依题意可得顶点C的坐标为（0，11），设抛物线解析式为y=ax2+11.
由抛物线的对称性可得B(8,8),
∴ 8=64a+11.解得a=-,抛物线解析式为y=-x2+11.
(2)画出h= (t-19)2+8(0≤t≤40)的图
象如图所示.
当水面到顶点C的距离不大于5米时，
h≥6,当h=6时，解得t1=3,t2=35.
由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜=32(小时）.
答：禁止船只通行的时间为32小时.
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第二章《二次函数》期中复习练习卷
班级___________ 姓名 _____________ 成绩 ______________
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、抛物线轴的交点纵坐标为（ ）
A.-3 B.-4 C.-5 Ｄ.-1
2、在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单
位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x-2)2-2
C.y=(x-2)2+2 D.y=(x+2)2-2
3、函数的部分图象与的交点分别为A（1,0）、B（0,3），对称轴是，在下列结论中，错误的是（ ）
A．顶点坐标为（-1,4） B.函数的解析式为
C.当 D.抛物线与轴的另一个交点是（-3,0）
4、已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（ ）
A.2，4 B. C.2， D.，0
5、对于函数，使得随的增大而增大的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6、对于任意实数，抛物线 总经过一个固定的点，这个点是（ ）
A.（1， 0） B.（， 0） C.（， 3） D. （1， 3）
7、二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
8、已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
第7题 第9题 第10题
9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
10、已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，给出下列结果(1)；(2)＞0；(3)；(4)；(5).则正确的结论是（ ）
A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(4)(5)
C.(2)(3)(4) D.(1)(4)(5)
二、填空题（每小题4分，共24分）
11、如果二次函数的图象顶点的横坐标为1，则的值为 .
12、将二次函数化为的形式，则 ．
13、若关于的函数与轴仅有一个公共点，则实数的值为 .
14、把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 ．
15、若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= ．
16、对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17、（6分）当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
18、（8分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大 最大面积是多少 (
19、（8分）如图所示,一个运动员推铅球,铅球在点A处出手,出手时球离地面约.铅球落地点在B处,铅球运行中在运动员前4m处(即)达到最高点,最高点高为3m.已知铅球经过的路线是抛物线,根据图示的直角坐标系,你能算出该运动员的成绩吗
20、（10分）已知抛物线的解析式为
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值.
21、某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
22、已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
23、
如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1、C 2、B 3、C 4、B 5、D 6、D 7、C 8、B 9、D 10、D
二、填空题
11、-2 12、 13、或
14、y=-（x+1）2-2 15、9 16、①④
三、解答题
17、解：（1）当k=1时，函数y=-4x+4为一次函数，无最值.
（2）当k=2时，函数y=x2-4x+3为开口向上的二次函数，无最大值.
（3）当k=-1时，函数y=-2x2-4x+6=-2(x+1)2+8为开口向下的二次函数，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，8），所以当x=-1时，y最大值=8.
综上所述，只有当k=-1时，函数y=(k-1)x2-4x+5-k有最大值，且最大值为8.
18、解：（1）S=-x2+20x.
（2）方法1：∵ a=-＜0,∴ S有最大值.
∴ 当x=-=-=20时，S有最大值为==200.
∴ 当x为20 cm时,三角形面积最大，最大面积是200 cm2.
19、能.∵,∴顶点坐标为(4,3),
设 +3,把代入上式,得 ,
∴,
∴即.
令,得∴(舍去),
故该运动员的成绩为.
20、(1)证明：∵
∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根.
∴ 抛物线与x轴必有两个不同的交点.
(2)解:令则解得
21、解：（1）由题意，可设y=kx+b，
把（5，30000），（6，20000）代入得：，
解得：，
所以y与x之间的关系式为：y=﹣10000x+80000；
（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣10000x+80000）
=﹣10000（x﹣4）（x﹣8）
=﹣10000（x2﹣12x+32）
=﹣10000[（x﹣6）2﹣4]
=﹣10000（x﹣6）2+40000
所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．
22、解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x=0，得y=﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC=（DE+OA） OE﹣DE CE﹣OA OC=（2+5） 9a﹣×2×4a﹣×5×5a=15a，而S△ABC=AB OC=×6×5a=15a，∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1；（2）如解答图所示，在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，∵a＞0，∴a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．
23、解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴，
解得：a=﹣1，k=4，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．
（2）①∵四边形OMPQ为矩形，
∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，
整理得：t2+5t﹣3=0，
解得t=，由于t=＜0，故舍去，
∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON为等腰三角形，有三种情况：
（I）若ON=AN，如答图1所示：
过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=，
∴t=；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，
即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），
∴x=，OD=1﹣x=，
∴t=；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，
即（x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），
∴OD=1﹣x=1﹣，
∴t=1﹣．
综上所述，当t为秒、秒，（1﹣）秒时，△AON为等腰三角形．
A
D
x
y
C
O
B
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