浙教版八年级数学上册1.5三角形全等的判定（1-4）提升学案（含答案）

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》
1.5三角形全等的判定（一）SSS
【知识点-部分】
一、三角形的稳定性
1、当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变；
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理；
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变。四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形。
二、全等三角形判定1——“边边边”
1、三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
三、全等三角形判定2——“边角边”
（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△。
注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角。
2、有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
（1）如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
四、线段的垂直平分线
1、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2、线段的垂直平分线的尺规作图：求做线段AB的垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了。
3、线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
要点诠释：线段的垂直平分线性质定理，是证明两线段相等的常用方法之一。同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角
形创造条件。
五、全等三角形判定3——“角边角”
1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△。
六、全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论。
1、三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
（1）如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE
不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等。
2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：（1）用符号语言表示角的平分线的性质定理：
（2）若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。
4、角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC； （4）射线OC即为所求.
【典型例题-精选部分】
1、综合与探究：如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD． （2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
2、如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线DP交∠BOC的平分线于点D，连接DB、DC，过点D作DF⊥OC于点F．
（1）若∠BOC＝60°，OB⊥BC，求∠PDF的度数； （2）若OB＝3，OC＝5，求OF的长．
3、如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，
且AD∥BC． （1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？
（2）在（1）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？求出AB的长．
4、如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，
过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．
（1）求证：△AEF≌△BGH； （2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．
5、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
6、在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是　 　；
（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？
如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
7、如图，∠MAN＝45°，B是射线AN上一点，过B作BC⊥AM于点C，点D是BC上一点，作射线AD，过B作BE⊥AD于点E，连接CE． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAE＝∠DBE；
（3）用等式表示线段CE、BE、AE的数量关系，并证明．
8、已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H．
（1）求证：BF＝CD+DE； （2）若∠C＝45°．求证：BD＝BG．
9、如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
① 如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE　 　CF；
② 如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件　 　，
使①中的结论仍然成立，并说明理由；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
10、课外兴趣小组活动中，老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，
∠B与∠D互补，求证：AB+AD＝AC．
小敏反复探索，不得其解．她想，可先将四边形ABCD特殊化，再进一步解决问题．
（1）由特殊情况入手，添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD＝AC，请你完成此证明；
（2）受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，如图3，请你补全证明过程．
【参考答案】
1、综合与探究：如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD． （2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE．∴∠CAE＝∠BAD．在△ACE和△ABD中，
，∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，∵∠BFC+∠DFE＝180°，∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；
（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．∵△ACE≌△ABD，∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD．∴，∴AJ＝AH．
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，，∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），∴FJ＝FH．
在Rt△AJE和Rt△AHD中，，∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），∴EJ＝DH，∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．
2、如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线DP交∠BOC的平分线于点D，连接DB、DC，过点D作DF⊥OC于点F．
（1）若∠BOC＝60°，OB⊥BC，求∠PDF的度数； （2）若OB＝3，OC＝5，求OF的长．
【解答】解：（1）如图，作DE⊥OB交OB的延长线于点E，∵OD平分∠BOC，DF⊥OC，点D在BC的垂直平分线上，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，DB＝DC，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠BDE＝∠CDF，∴∠BDE+∠BDF＝∠CDF+∠BDF，即∠EDF＝∠BDC，∵∠OED＝∠OFD＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠EDF＝120°，∴∠BDC＝120°，∵OB⊥BC，∠BOC＝60°，∴∠OCB＝30°，∵DF⊥OC，PD⊥BC，
∴∠PDF＝∠OCB＝30°；
（2）由（1）可知：△DEB≌△DFC，∴BE＝CF，∵OB+OC＝OB+OF+FC，
∴OB+OC＝OB+OF+EB＝（OB+EB）+OF＝OE+OF，∵∠DEO＝∠DFO＝90°，DE＝DF，在Rt△DEO和Rt△DFO中，
，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴OE＝OF，∴OB+OC＝2OF．∵OB＝3，OC＝5，∴OF＝4．
3、如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，
且AD∥BC． （1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？
（2）在（1）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？求出AB的长．
【解答】解：（1）当点F运动到离点A为4cm（即AF＝AD＝4cm）时，△ADE≌△AFE，理由如下：
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠DAE＝∠FAE，∠FBE＝∠CBE，
在△AFE与△ADE中，，∴△AFE≌△ADE（SAS）；
（2）BF＝BC，理由如下：∵△AFE≌△ADE，∴∠D＝∠AFE，∵AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠C＝∠BFE，在△ECB与△EFB中，，∴△ECB≌△EFB（AAS），
∴BF＝BC；∵AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，∴AB＝AF+BF＝3+4＝7（cm）．
4、如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，
过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．
（1）求证：△AEF≌△BGH； （2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC．∵∠ABC＝∠GBH，∴∠A＝∠GBH．∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠AFE＝∠BHG．在△ADG和△CDF中，，∴△AEF≌△BGH（AAS）．
（2）解：∵△AEF≌△BGH，∴AF＝BH，∴AB＝FH＝4．∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠EFD＝∠GHD．
在△EFD和△GHD中，∴△EFD≌△GHD（AAS），∴．
5、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，
（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，
在△BMK和△BGK中，，∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，
在△ABM和△DBG中，，∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．
6、在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是　 　；
（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？
如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形，理由如下，
∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等边三角形，
∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，
∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等边三角形．
7、如图，∠MAN＝45°，B是射线AN上一点，过B作BC⊥AM于点C，点D是BC上一点，作射线AD，过B作BE⊥AD于点E，连接CE． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAE＝∠DBE；
（3）用等式表示线段CE、BE、AE的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：∵BC⊥AM，BE⊥AD，∴∠ACB＝∠BED＝90°，∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAE＝∠DBE；
（3）AE＝BE+CE．
证明：如图，在AE上截取AF＝BE，连接CF，∵BC⊥AM，∠MAN＝45°，∴∠CBA＝45°，
∴△CBA是等腰直角三角形，∴CA＝CB，在△CAF和△CBE中，，∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∴∠ACF+∠FCD＝∠BCE+∠FCD，∴∠ACD＝∠FCE＝90°，
∴△FCE是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∴AE＝AF+EF＝BE+CE．
8、已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H．
（1）求证：BF＝CD+DE； （2）若∠C＝45°．求证：BD＝BG．
【解答】证明：（1）∵BF∥AC，∴∠BFO＝∠CAO，∠FBO＝∠ACO，又∵AO为△ABC的中线，∴BO＝CO，
在△BOF与△COA中，，∴△BOF≌△COA（AAS），∴BF＝CA＝CD+AD，∵AD＝DE，∴BF＝CD+DE；
（2）∵BD垂直平分AE，∴BA＝BE，∠BAC＝∠BEA，又∵BF∥AC，∴∠BEA＝∠EBF＝∠BAC，
在△BAC与△EBF中，，∴△BAC≌△EBF（SAS），∴∠BFE＝∠C＝45°，
又∵∠BGE＝∠C+∠FEC＝90°＝∠BDE，在△BEG与△BED中，，
∴△BEG≌△BED（AAS），∴BG＝BD．
9、如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
① 如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE　 　CF；
② 如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件　 　，
使①中的结论仍然成立，并说明理由；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
【解答】解：（1）① ∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°．
又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF．在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF．
② α+∠BCA＝180°，理由如下：∵∠BEC＝∠CFA＝α，∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α．又∵α+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝180°﹣α．
∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α．∴∠EBC＝∠FCA．
在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF．
（2）EF＝BE+AF，理由如下：
∵∠BCA＝α，∴∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α．又∵∠BEC＝α，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．∴∠EBC＝∠FCA．
在△BEC和△CFA中，∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA．∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．
10、课外兴趣小组活动中，老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，
∠B与∠D互补，求证：AB+AD＝AC．
小敏反复探索，不得其解．她想，可先将四边形ABCD特殊化，再进一步解决问题．
（1）由特殊情况入手，添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD＝AC，请你完成此证明；
（2）受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，如图3，请你补全证明过程．
【解答】证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B＝∠D，∴∠B＝∠D＝90°，∵AC平分∠DAB
∴∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，在△ADC中，cos30°＝，在△ABC中，cos30°＝，
∴AB＝AC，AD＝AC．∴AB+AD＝AC．
（2）由（1）知，AE+AF＝AC，∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CE＝CF．而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D＝∠CBE．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（AAS）．
∴DF＝BE．∴AB+AD＝AB+（AF+FD）＝（AB+BE）+AF＝AE+AF＝AC．