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2022-2023学年浙江九年级数学上册第3章《圆的基本性质》易错题精选
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)（2022·浙江衢州·九年级期末）已知的半径为2，点到圆心的距离为1.5，则点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系即可得．
【详解】解： ∵⊙O 的半径为2，点 P 到圆心 O 的距离为1.5，且 1.5<2 ，
∴ 点 P 在圆内，
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
2．(本题3分)（2019·浙江·九年级阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个圆; B．任何三角形有且仅有一个外接圆
C．平分弦的直径必垂直弦; D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内
【答案】B
【分析】根据圆的性质逐一判断即可.
【详解】A. 若三点在同一条直线上时，不能确定圆，故A错误；
B. 根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，故B正确；
C. 两条直径互相平分，但不一定垂直，故C错误;
D. 等腰直角三角形的外心是斜边的中点，故D错误.
故选B.
【点睛】此题考查的是与圆有关的性质，掌握三角形的外接圆的性质和垂径定理的推论是解决此题的关键.
3．(本题3分)（2021·浙江温州·九年级期末）已知一个扇形的半径长是，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据扇形的面积公式直接求解即可．
【详解】解：由扇形的面积公式可得，这个扇形的面积为
故选B
【点睛】此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
4．(本题3分)（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
【答案】A
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B，的度数即可解决问题．
【详解】解：在正五边形ABCDE中，
∠B=∠BCD=×（5-2）×180=108°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=（180°-108°）=36°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
5．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连接AO，CO，则∠AOC的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，根据∠D﹣∠B＝40°求出∠D＝110°，∠B＝70°，根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠B，再代入求出答案即可．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D﹣∠B＝40°，
∴∠D＝110°，∠B＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟记圆内接四边形的对角互补．
6．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在同圆中，根据圆心角、弧和弦之间的关系即可判断．
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
【点睛】本题考查圆的对称性，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键．
7．(本题3分)（2022·浙江宁波·三模）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；
【详解】连接AC，AO，
∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5 3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．
8．(本题3分)（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在△ABC中，，，点D，E分别在AC和BC上，，若以DE为直径的⊙O交AB的中点F，则⊙O的直径是（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，然后证明△DFG≌△EFH，得到DF=EF，再利用勾股定理，即可求出DE的长度．
【详解】解：作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，如图
则四边形BCGF是矩形，，，
∵，点F是AB的中点，
∴，
∴四边形BCGF是正方形，
∴∠GFH=90°，
∵DE是直径，则∠DFE=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴△DFG≌△EFH，
∴DF=EF，
∵在直角△DFG中，，，
∴，
在直角△DEF中，
；
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，证明DF=EF．
9．(本题3分)（2020·浙江温州·二模）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个相同的半圆①和⑦、等腰直角三角形②、角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤、圆⑥组成，已知AJ＝BK．为庆祝北京冬奥会，小明将这个智力七巧板拼成一个滑冰运动员的图案，如图2所示，若AB平行地面MN，AJ＝2，则该图案的高度是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可知③⑤⑥的高度都为2，直角梯形④的锐角为45°，图1中B到HG的距离为2，所以下图中RP=2，由已知得OR=1，即OQ=OQ，推出，从而得出答案．
【详解】解：由图1中的数据可知③⑤⑥的高度都为2，MN是半圆⑦的切线，
如图是直角梯形④和半圆⑦，作RP⊥AB，OT⊥MN，RQ⊥OT
图1中，∵∠KBA=45°，
∴∠GBC=45°=∠HGB，即直角梯形④的锐角为45°，
∴∠PRO=∠ORQ=45°，
∵图1中B到HG的距离为2，
∴图中RP=2，
∵半圆⑦的直径为2，
∴OR=1，OQ=OR=,
∴QT=,
∴高度为6＋PR＋QT=；
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，理清题意，找准线段之间的关系是解题的关键．
10．(本题3分)（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸片左右对折、折痕为AB，将圆形纸片上下折叠使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，将圆形纸片沿EF折叠使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N．连结AE、AF，经过以上操作小芳得到了以下结论：①CDEF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形④ ．以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得，则，故①正确；根据垂径定理，BM垂直平分EF，根据折叠的性质得BM、EF互相垂直平分，即可得四边形MEBF是菱形，故②正确；连接ME，MF，则，，根据直角三角形的性质得，，则，，根据三角形内角和定理得，即可得是等边三角形，故③正确；设圆的半径为r，则，，即，，即可得，故④正确；即可得．
【详解】解：∵纸片上下A、B两点重合，
∴，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴，
∴，
∴，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
如图，连接ME，MF，
则，，
∴，，
∴，
，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则，，
∴，，
，故④正确；
综上，结论正确的是①②③④正确共4个，
故选D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，等边三角形的判定，菱形的判定，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
二、填空题(共21分)
11．(本题3分)（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）已知扇形的弧长为，半径为，则它的面积为________．
【答案】
【分析】直接根据扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】∵扇形的弧度长为，半径为
∴扇形的面积
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算是解题的关键．
12．(本题3分)（2020·浙江绍兴·模拟预测）圆内接四边形ABCD中，若，则的度数是___________
【答案】112.5°
【分析】先利用圆内接四边形对角互补得出∠A+∠C=∠B+∠D=180°，再把∠A=3∠C代入求出∠C=45°，那么∠A=135°=2∠B，再求出∠B=67.5°，则∠D=180°-∠B=112.5°．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
∵∠A=2∠B=3∠C，
∴3∠C+∠C=180°，
∴∠C=45°，
∴∠A=135°=2∠B，
∴∠B=67.5°，
∴∠D=180°-∠B=112.5°．
故答案为：112.5°．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．
13．(本题3分)（2021·浙江湖州·二模）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_____cm．
【答案】12
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为60cm，
∴OB＝OC＝30cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），
即水的最大深度为12cm，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【答案】30°##30度
【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【详解】∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
15．(本题3分)（2021··九年级期中）如图，在中，，截三边所得的弦长，则____________度．
【答案】125
【分析】过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，由于=，利用弦、圆心角和对应的弦心距的关系得到OM=OK=OP，则可判断OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，然后根据角平分线的定义和三角形内角和求解．
【详解】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，
∵
∴OM=OK=OP，
∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°∠B）=90°，
∴∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA）
=180°
=125°．
故答案为：125．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系．
16．(本题3分)（2021·浙江·九年级期末）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和Rt∠ACB围成，且点C也在所在的圆上，已知AC＝4m，隧道的最高点P离路面BC的距离DP＝7m，则该道路的路面宽BC＝_____m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是_____m．
【答案】 2 ＋2
【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到AM＝CM＝2，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求得CD，进而求得BC，根据勾股定理求得PA，从而以及垂径定理求得PN，利用勾股定理求得ON，通过证得△EOK≌△OPN求得EK＝ON，进一步即可求得EQ．
【详解】解：作AC的垂直平分线OM，交PD于O，交AC于M，则O是圆心，连接OC，
∴OD＝MC＝AC＝2cm，
∵PD＝7cm，
∴圆的半径为7 2＝5（cm），
∴CD＝（cm），
∴BC＝2CD＝2cm，
连接PA、OE交于N，作AH⊥PD于H，EQ⊥BC于Q，
∵PD＝7cm，DH＝AC＝4cm，
∴PH＝7 4＝3（cm），
∵AH＝CD＝cm，
∴PA＝（cm），
∵E是的中点，
∴OE垂直平分PA，
∴PN＝cm，
∴ON＝，
∵EQ∥PD，
∴∠OEK＝∠EOP，
在△EOK和△OPN中，
，
∴△EOK≌△OPN（AAS），
∴EK＝ON＝，
∴EQ＝EK＋KQ＝（＋2）（cm），
故答案为2，（＋2）．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形求得的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
17．(本题3分)（2020·浙江·余姚市兰江中学九年级阶段练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_____．
【答案】8
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．
【详解】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝8，
故答案为8．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及推论、全等三角形的判定、勾股定理、灵活应用性质及定理是关键，熟练掌握垂径定理是重点．
三、解答题(共49分)
18．(本题6分)（2020·浙江·九年级期末）已知：在中，AB＝AC．
（1）求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，则求出⊙O的面积．
【答案】（1）见解析；（2）100π．
【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，交点即为△ABC的外接圆的圆心．
（2）根据垂径定理以及勾股定理，即可得到OB的长，进而得出⊙O的面积．
【详解】解：（1）如图，⊙O即为所画的图形．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．
由题意得：OE＝8，BE＝EC＝6，
在Rt中，OB＝＝10，
∴
【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆，以及求三角形的外接圆的面积，考查了垂径定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
19．(本题7分)（2021·浙江·金华海亮外国语学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．
(1)求证：四边形AECD为平行四边形
(2)连接CO，求证：CO平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠B=∠E，得到∠E=∠D，根据平行线的判定和性质定理得到AE/CD，证明结论；
（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．
（1）
证明：∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠E=∠D，
∵，
∴∠D+∠ECD=180°，
∴∠E+∠ECD=180°，
∴，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）
证明：作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，如图，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴AD=CE，
又∵AD=BC，
∴CE=CB，
∵OM⊥BC，ON⊥CE，
∴∠ONC=∠OMC=90°，，
∴，
∵OC=OC，
∴，
∴ON=OM，
∵OM⊥BC，ON⊥CE，
∴CO平分∠BCE．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
20．(本题8分)（2022·浙江丽水·九年级期中）如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）连接AD，可得AD⊥BC．再根据△ABC是等腰直角三角形，可得BD＝CD，，即可求解；
（2）根据AD=BD，可得弧BD=弧AD，从而得到弓形BD的面积＝弓形AD的面积，进而得到阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积，即可求解．
（1）
解∶如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，，
∴AD＝BD＝CD＝；
（2）
解：∵AD=BD，
∴BD =AD ，
∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积＝．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，求扇形面积，勾股定理，根据题意，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．(本题9分)（2021·浙江·杭州仁和实验学校九年级期中）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)弦BD的长为16cm
【分析】（1）根据垂径定理可得，进而可得∠ABD＝∠C，根据半径相等可得∠C＝∠CBO，等量代换即可得证；
（2）在Rt△OBE中，勾股定理求得，根据垂径定理可得BE＝DE，即可求解．
（1）
∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴
∴∠ABD＝∠C，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABD；
（2）
∵AE＝4，CE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OBE中，，
∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE＝16cm．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，掌握垂径定理是解题的关键．
22．(本题9分)（2022·浙江台州·九年级期末）如图，在中，弦与半径形成的夹角 ，点是优弧上的一动点，切线与射线相交于点．
(1)与满足的数量关系是___________．
(2)当时，求阴影部分的面积；
(3)当是多少度时，为等腰三角形？通过推理说明理由．
【答案】(1)∠O+∠D=210°；
(2)；
(3)∠AOC 为140°或160°，理由见解析．
【分析】（1）根据切线的性质得到，结合四边形内角和是来求解；
（2）连接OB，易得是等边三角形，求出，从而求出扇形OBC的面积，连接BC易得是等边三角形，进而求出的度数，计算出的面积，即可进一步求得结果；
（3）设∠AOC=x，由（1）可得∠D=210°-x，进而得到∠DBC=180°-∠ABC=，分三种情况：当BD=BC时，当CD=BC时，当BD=BC时，分别求解．
(1)
解：是的切线，
．
，
，
．
故答案为：；
(2)
解：连接OB，如图1．
∵∠D=90°，∠AOC+∠D=210°，
∴∠AOC=120°．
∵∠A =60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，
∴S扇形OBC=，
连接BC，则△BOC是等边三角形，
∴∠BCD=30°．
在Rt△BCD中，BD=，
则CD=，
．
，
∴S四边形BOCD=，
∴S阴=；
(3)
解：当∠AOC为140°或160时，△BCD是等腰三角形．
理由如下：
设∠AOC=x，
由（1）可得∠D=210°-x，
∠ABC=(360°-x)=180°-，
∴∠DBC=180°-∠ABC=，
当BD=BC时，2∠D+∠DBC=180°，
∴2(210°-x)+=180°，
∴x=160°，
当CD=BC时，∠D=∠DBC，
∴210°-x=，
∴x=140°，
当BD=BC时，2∠DBC+∠D=180°，
∴2+(210°-x)=180°，
∴不存在，
反之，当∠AOC为140°或160时，△BCD是等腰三角形．
综上所述，∠AOC为140°或160°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，扇形面积公式，等腰三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．
23．(本题10分)（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）如图，内接于，，，，．
(1)度数________；（直接写出答案）
(2)求的长度；
(3)是上一点（不与A，，重合），连结．
①若垂直的某一边，求的长；
②将点A绕点逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为________．（直接写出答案）
【答案】(1)45°
(2)的长为cm
(3)①的长为cm；②
【分析】（1）根据勾股定理计算出CD的值，即可判定等腰直角三角形ADC，进而即可求解；
（2）连接OC，OB根据等腰直角三角形的性质和判定即可求解；
（3）①BP于点E，并连接AP，根据等腰直角三角形进而证明三角形全等即可应用勾股定理进行求解；②连接A，根据等腰直角三角形和勾股定理对边进行转化进而求解即可．
（1）
∵，
∴，
又∵，，
∴(cm)，
∵，
∴AD=14 cm -6 cm =8cm=CD，且CDAB，
∴ADC为等腰直角三角形，
∴=45°，
故答案为：45°．
（2）
连接CO，BO
∵，
∴，
又∵，
∴COB为等腰直角三角形，
∴(cm)，
则=(cm)．
（3）
①根据题意可得当垂直的某一边时，
则P点只能在内，且BP于点E，并连接AP，
∵和为所对的角，
∴=，
由（1）得，且，
∴为等腰直角三角形，
∴AE=BE
∵，
∴，
∴PE=CE，BE=AE，
又∵在Rt中，
∴BP=AC=(cm)．
②连接A，如下图，
由①得为等腰直角三角形，
∴AE=EB，
又∵，且
∴，
∴在Rt中，
∴AP=，
∵点A绕点逆时针旋转后得到，
∴，
∴，
又∵AD=8，且在Rt中，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、圆弧上的性质和勾股定理的应用，解决本题的关键上我以上的性质并联合起来进行对题目进行解读．
试卷第1页，共3页
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2022-2023学年浙江九年级数学上册第3章《圆的基本性质》易错题精选
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)（2022·浙江衢州·九年级期末）已知的半径为2，点到圆心的距离为1.5，则点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
2．(本题3分)（2019·浙江·九年级阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个圆; B．任何三角形有且仅有一个外接圆
C．平分弦的直径必垂直弦; D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内
3．(本题3分)（2021·浙江温州·九年级期末）已知一个扇形的半径长是，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．(本题3分)（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
5．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连接AO，CO，则∠AOC的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
6．(本题3分)（2022·浙江金华·九年级期末）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题3分)（2022·浙江宁波·三模）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A． B．C．或D．或
8．(本题3分)（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在△ABC中，，，点D，E分别在AC和BC上，，若以DE为直径的⊙O交AB的中点F，则⊙O的直径是（ ）
A． B．2 C． D．5
9．(本题3分)（2020·浙江温州·二模）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个相同的半圆①和⑦、等腰直角三角形②、角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤、圆⑥组成，已知AJ＝BK．为庆祝北京冬奥会，小明将这个智力七巧板拼成一个滑冰运动员的图案，如图2所示，若AB平行地面MN，AJ＝2，则该图案的高度是（ ）
A．8 B． C． D．
10．(本题3分)（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸片左右对折、折痕为AB，将圆形纸片上下折叠使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，将圆形纸片沿EF折叠使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N．连结AE、AF，经过以上操作小芳得到了以下结论：①CDEF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形④ ．以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(共21分)
11．(本题3分)（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）已知扇形的弧长为，半径为，则它的面积为________．
12．(本题3分)（2020·浙江绍兴·模拟预测）圆内接四边形ABCD中，若，则的度数是___________
13．(本题3分)（2021·浙江湖州·二模）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_____cm．
14．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
15．(本题3分)（2021··九年级期中）如图，在中，，截三边所得的弦长，则____________度．
16．(本题3分)（2021·浙江·九年级期末）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和Rt∠ACB围成，且点C也在所在的圆上，已知AC＝4m，隧道的最高点P离路面BC的距离DP＝7m，则该道路的路面宽BC＝_____m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是_____m．
17．(本题3分)（2020·浙江·余姚市兰江中学九年级阶段练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_____．
三、解答题(共49分)
18．(本题6分)（2020·浙江·九年级期末）已知：在中，AB＝AC．
（1）求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，则求出⊙O的面积．
19．(本题7分)（2021·浙江·金华海亮外国语学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．
(1)求证：四边形AECD为平行四边形
(2)连接CO，求证：CO平分．
20．(本题8分)（2022·浙江丽水·九年级期中）如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
21．(本题9分)（2021·浙江·杭州仁和实验学校九年级期中）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
22．(本题9分)（2022·浙江台州·九年级期末）如图，在中，弦与半径形成的夹角 ，点是优弧上的一动点，切线与射线相交于点．
(1)与满足的数量关系是___________．
(2)当时，求阴影部分的面积；
(3)当是多少度时，为等腰三角形？通过推理说明理由．
23．(本题10分)（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）如图，内接于，，，，．
(1)度数________；（直接写出答案）
(2)求的长度；
(3)是上一点（不与A，，重合），连结．
①若垂直的某一边，求的长；
②将点A绕点逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为________．（直接写出答案）
试卷第1页，共3页
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