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第2章 特殊三角形 单元测试
一、单选题
1．以下四个图形中，轴对称图形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的中线相等 B．等腰三角形两腰上的高线相等
C．等腰三角形的中线与高重合 D．等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等
3．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ）
A．15°或75° B．15° C．75° D．150°和30°
5．下列命题的逆命题为假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．全等三角形的面积相等 D．到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
6．如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
7．如图，ΔABC的面积为8cm，AP垂直ABC的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )
A．x2＋y2＝49 B．x－y＝3 C．2xy＋9＝49 D．x＋y＝13
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，E、F为垂足，则下列五个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝___．
12．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_______________，这个逆命题是____命题．
13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于_______．
14．如图，BD，CE分别是△ABC两个外角的角平分线，DE过点A且DE∥BC．若DE＝14，BC＝7，则△ABC的周长为____．
15．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是__________海里．
16．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为， 高为， 则放入木盒的细木条最大长度为________ ．
17．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC ，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________.
18．如图，在中，，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．当时，___________．
三、解答题
19．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长．
20．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD＝CD，请证明点D在∠BAC的平分线上．
21．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．
(1)求；（直接写出结果）
(2)当AB=3，AC=5时，求的周长．
22．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米．
(1)求小溪流AC的长．
(2)求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）
23．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(1)求这个梯子的顶端离地面的高度；
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
24．作图计算题．如图，在正方形网格上有一个（三个顶点均在格点上，网格上的最小正方形的边长为1）．
(1)作关于直线的轴对称图形（不写作法）；
(2)画出中边上的高；
(3)画一个锐角（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积．
(4)在HG上画出点，使最小．
25．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC= ∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
26．
(1)问题发现：如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
(2)拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；
求：①∠AEB的度数；
②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
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第2章 特殊三角形 单元测试
一、单选题
1．以下四个图形中，轴对称图形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【提示】据轴对称图形的概念：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，根据定义逐一判断即可．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形不是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形不是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的中线相等 B．等腰三角形两腰上的高线相等
C．等腰三角形的中线与高重合 D．等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等
【答案】C
【解答】试题解析：根据全等三角形的判定定理SAS，A选项正确；
根据全等三角形的判定定理SAS，B选项正确；
非等边三角形的等腰三角形的腰上的中线与高不重合，C错误；
根据三线合一的性质，D正确；
故选C．
考点：命题与定理．
3．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∴BC边上的高．
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC边的距离相等，设为h，
则，
解得，
，
解得．
故选A
4．已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ）
A．15°或75° B．15° C．75° D．150°和30°
【答案】A
【解答】试题分析：此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部．当该高线在三角形内部时，那么该三角形的顶角度数为300，其底角也就是为750．当高线在三角形外部时，其顶角度数为1500，那么其底角为150．
考点：等腰三角形的顶角为钝角和锐角的情况．
点评：此题有一定的难度．考生容易忽视两种情况，只考虑到一种情况．此类型题经常出现在各种试卷上，希望考生能通过此题达到举一反三的效果．
5．下列命题的逆命题为假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．全等三角形的面积相等 D．到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
【答案】C
【提示】先写出各选项的逆命题，然后判断真假．
【解答】解：选项A的逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”，该命题为真命题，不符合题意；
选项B的逆命题为“等腰三角形是两边相等的三角形”，该命题为真命题，不符合题意；
选项C的逆命题为“面积相等的两个三角形全等”，该命题为假命题，符合题意；
选项D的逆命题为“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，该命题为真命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的的真假，掌握三角形与角的相关性质是解题的关键．
6．如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【提示】由对称得OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜7，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质和三角形三边的关系的应用，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形三边的关系．
7．如图，ΔABC的面积为8cm，AP垂直ABC的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【提示】延长AP交BC于E，根据AP垂直ABC的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得出△PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直ABC的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=4cm2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点．能正确作出辅助线并理解同底等高的三角形面积相等是解题关键．
8．用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )
A．x2＋y2＝49 B．x－y＝3 C．2xy＋9＝49 D．x＋y＝13
【答案】D
【提示】利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可.
【解答】，故A选项和B选项正确，
由上式子可知,故C正确.
（x+y）2=x2+y2+2xy=49+40=89,x+y≠13.
唯一不对的只有D.
故选D.
【点睛】熟练掌握完全平方公式是本题的解题关键.
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，E、F为垂足，则下列五个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【提示】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后证明△ADE与△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可以证明AD垂直平分EF，根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD与△ACD的面积相等不正确．
【解答】解：平分，，，、为垂足，
，
，故①正确；
在与中，
，
，
，故②正确；
，，
垂直平分，故③正确；
与，与不一定相等，
不一定垂直平分，故④错误，
根据图形，，
平分时，，
与等高不等底，面积不相等，故⑤错误．
综上所述，①②③共3个正确．
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积，是小综合题，但难度不大，仔细分析图形是解题的关键．
10．如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】作AB的中点M，连接ME，过F点作，首先证得是等边三角形，再证明，从而得到，利用勾股定理求得DF的长度，从而得到DE的长度，再根据在中E是中点，从而计算出BC的长度．
【解答】如下图所示，作AB的中点M，连接ME，过F点作，垂足为N
在中，M是中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵M、E为中点，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，E是中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考虑直角三角形、等边三角形、全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、等边三角形、全等三角形的相关知识．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝___．
【答案】30°
【解答】试题解析：∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是中线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°.
12．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_______________，这个逆命题是____命题．
【答案】 如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真
【提示】
【解答】等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题．
故答案为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形； 真
13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于_______．
【答案】8
【提示】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，
则根据勾股定理，得
．
故答案为：8．
14．如图，BD，CE分别是△ABC两个外角的角平分线，DE过点A且DE∥BC．若DE＝14，BC＝7，则△ABC的周长为____．
【答案】21
【提示】有角平分线的定义和平行线的性质可证明AB＝AD,AE＝AC,则可求得△ABC的周长.
【解答】
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD＝∠DBF
∴DE∥BC,
∴∠ADB＝∠DBF
∴∠ADB＝∠ABD,
∴ AD＝AB
同理可得AE＝AC
∴AB＋AC＝DA＋AE＝DE=14
∴BC＝7,
∴AB＋AC＋BC＝14＋7＝21,
即△ABC的周长为21.
因此，本题正确答案是21.
【点睛】熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是本题关键.
15．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是__________海里．
【答案】
【提示】根据在B处观测到的灯塔A和C处的方向确定，且B处在C处的北偏西方向上，再结合在C处观测到的灯塔A的方向确定，进而求出，然后根据等腰三角形的判定定理确定AC=BC=25海里，再根据勾股定理可求出B处与灯塔A的距离．
【解答】解：∵灯塔A在B处南偏东方向上，C处在B处南偏东方向上，
∴，B处在C处的北偏西方向上．
∴．
∴．
∴．
∴AC=BC．
∵轮船从B处以每小时50海里的速度航行半小时到达C处，
∴海里．
∴AC=25海里．
∴海里．
故答案为：．
【点睛】本题考查方位角，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
16．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为， 高为， 则放入木盒的细木条最大长度为________ ．
【答案】3
【解答】如图所示：
在直角△EFG中，
EG=，
在Rt△EGC中，EG=，CG=，
由勾股定理得CE=.
故答案是：3.
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
17．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC ，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________.
【答案】9
【解答】∵∠B和∠C的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠BCF=∠ECF；
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC=∠FBD，∠EFC=∠FCB=∠ECF，
∴DF=DB，EF=EC，
即DE=DF+FE=DB+EC=9.
故答案为9.
18．如图，在中，，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．当时，___________．
【答案】
【提示】过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，根据全等三角形的判定和性质得出 BAD ACP，AD=CP，∠CEN=∠P，继续证明 CPN CEN，得出∠DEF=∠EDF=60°，然后结合图形利用勾股定理解直角三角形，最后求比值即可．
【解答】解：如图所示，过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，
∵Rt ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN，
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°，
∴∠ABD=∠CAP，
在 BAD与 ACP中，
，
∴ BAD ACP，
∴AD=CP，∠CEN=∠P，
∴AD=EC，
∴CE=CP，
∵CN=CN，
∴ CPN CEN，
∴∠P=∠NEC，
∴∠EDF=∠DEF，
∵∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵∠DEF=∠EDF=60°，
∴EF=DE，∠P=60°，
∴CP=CE=，
∴AE=AC-CE=
∵AD=，
∴CD=AC-CD=
∴EF=AC-AE-CD=，
∵BC=，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形等，作出辅助线构造出全等三角形是解题关键．
三、解答题
19．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长．
【答案】AB=10，CD=4.8.
【提示】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，
由勾股定理得：AB==10．
∵S△ABC=AB CD=AC BC，
∴CD===4.8．
20．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD＝CD，请证明点D在∠BAC的平分线上．
【答案】见解析
【提示】在Rt△BDE和Rt△CDF中，由∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，证△BDE≌△CDF，得DE＝DF.可进一步证点D在∠BAC的平分线上.
【解答】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上.
【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理的逆定理. 解题关键点：熟记全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理的逆定理.
21．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．
(1)求；（直接写出结果）
(2)当AB=3，AC=5时，求的周长．
【答案】(1)∠ADE=90°；
(2)△ABE的周长=7．
【提示】（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
(1)
解：解：∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE＝90°；
(2)
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+（AE+BE）＝AB+BC＝3+4＝7．
【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
22．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米．
(1)求小溪流AC的长．
(2)求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）
【答案】(1)千米；
(2)平方千米
【提示】（1）根据勾股定理已知直角边求斜边计算；
（2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和．
(1)
解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，
∴（千米）；
(2)
∵（千米），（千米），（千米），
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，则∠D＝90°，
∴（平方千米）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的概念和公式并灵活运用是解题关键 ．
23．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(1)求这个梯子的顶端离地面的高度；
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)24米
(2)8米
【提示】（1）利用勾股定理直接得出OB的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．
（1）
由题意得，△AOB是直角三角形，∠O=90°，AB=25米，AO=7米，如图，
∴AB2=AO2+BO2，
∴（米），
答：这个梯子的顶端离地面24米；
（2）
由题意可得，△A′OB′是直角三角形，且∠O=90°，A'B'=AB=25米，BB'=4米，
∴A'B'2=A'O2+B'O2，
∴（米），
∴AA'=A'O-OA=15-7=8（米），
答：梯子底部在水平方向滑动了8米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．
24．作图计算题．如图，在正方形网格上有一个（三个顶点均在格点上，网格上的最小正方形的边长为1）．
(1)作关于直线的轴对称图形（不写作法）；
(2)画出中边上的高；
(3)画一个锐角（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积．
(4)在HG上画出点，使最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析（答案不唯一）
(4)见解析
【提示】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）延长CB，然后过点A利用三角板的两条直角边作图即可；
（3）作一个面积等于3的三角形即可（答案不唯一）；
（4）连接BB1，交HG于点P，点P即为所求．
（1）
解：如图，即为所求；
（2）
解：如图，线段AD即为所求；
（3）
解：如图，即为所求；
（4）
解：如图，点P即为所求；
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，三角形的高，以及三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC= ∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
【答案】（1）见解析；（2）△ABD为等腰三角形；见解析；（3）∠ABC=72°．
【解答】试题分析：（1）根据角平分线的定义得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，等量代换即可得到结论；
（2）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H根据角平分线的性质得到DM=DH，DN=DH，等量代换得到DM=DN，根据三角形的内角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠GAD=∠ABC，推出AD∥BC，由平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，证得∠ABD=∠ADB，即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠ABF=∠ABC，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：（1）∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，
∴∠BDC=∠BAC．
（2）△ABD为等腰三角形，证明如下：
作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM=DH，DN=DH，
∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠GAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）∵AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．
考点：等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
26．
(1)问题发现：如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
(2)拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；
求：①∠AEB的度数；
②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)60°
(2)①90°；②AE＝BE+2CM，理由见解析
【提示】（1）先判断出CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACD＝∠BCE，进而用SAS判断出△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法，即可得出结论；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）得出AD＝BE，再判断出DM＝CM，即可得出结论．
(1)
解：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△CD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°；
(2)
①同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM＝45°，
∴∠DCM＝∠CDM＝45°，
∴DM＝CM，
∴DM＝ME＝CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE时解本题的关键．
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