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3.8 弧长及扇形面积
一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
一、单选题
1．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A． B．6 C．12 D．
【答案】B
【提示】根据弧长公式可以求得该扇形的半径的长度．
【解答】解：根据弧长的公式，知
=6，
即该扇形的半径为6．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．
2．已知扇形的圆心角为，半径为，则弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据扇形的弧长公式计算即可．
【解答】∵扇形的圆心角为 30° ，半径为 2cm ，
∴弧长cm
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长，熟记扇形的弧长公式是解题的关键．
3．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（ ）
A．5 B．π C． D．π
【答案】D
【提示】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC＝60°，再利用弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OC、OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴的长＝＝
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，弧长的计算，掌握以上知识是解题的关键．
4．圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【答案】D
【提示】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，圆心角的度数为n度
∵它的轴截面是正三角形，∴R=2r，
∴2πr=，
解得n=180，
故展开图的圆心角为180°
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥的轴截面，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的弧长公式，是解题的关键．
5．如图，在扇形中，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为（结果保留）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=100°-∠DOB=40°；然后由弧长公式弧长的公式 来求的长即可．
【解答】解：如图，连接OD．
根据折叠的性质知，OB=DB．
又∵OD=OB，
∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°．
∵∠AOB=100°，
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=40°，
∴的长为 =2π．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处．
6．如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据旋转的性质可知，由此可得，根据扇形面积公式即可得出结论．
【解答】由旋转得：∠B1AB＝60°，
∵，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解决本题的的关键根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积．
7．如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】∠AOB＝90°时，CD最大，由求出扇形面积即可．
【解答】解：解：由PC⊥OA，PD⊥OB可知，∠OCP+∠ODP＝180°，
∴O、C、P、D四点共圆，CD为此圆直径时，CD最大，
∴当∠AOB＝90°时，CD最大，如图：
此时扇形面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积计算，解题的关键是掌握∠AOB＝90°时，CD最大．
8．如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】先在中利用的余弦计算出，再根据旋转的性质得 ，然后根据弧长公式计算点转过的路径长．
【解答】解：在中，，，
，
，
绕直角顶点逆时针旋转得△，
，
弧的长．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
9．已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，两点触地放置，搬动时，先将扇形以为旋转中心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当两点再次触地时停止，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（结果保留）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】经过的路线是两个半径是3，圆心角的的弧，平移的距离是半径长是3，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长．
【解答】解：
，则，
则，
旋转的长度是：，
移动的距离是：，
则圆心所经过的路线长是：．
故选：．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式，难度较大，解答本题的关键是正确理解经过的路线．
10．如图，等边中，，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】如图，作过A、B、F作⊙O，为点F的轨迹，然后计算出的长度即可．
【解答】解：如图：作过A、B、F作⊙O，过O作OG⊥AB
∵等边
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°
∵
∴△BCE≌△ABC
∴∠BAD=∠CBE
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°
∴∠ABE+∠BAD=60°
∴∠AFB=120°
∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角
∴∠AOB=120°
∵OG⊥AB，OA=OB
∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°，BG=AB=
∴∠OBG=30°
设OB=x，则OG=x
∴，解得x=或x=-（舍）
∴的长度为．
故选B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键．
二、填空题
11．已知扇形的周长为，半径为4，则圆心角的度数为________．
【答案】
【提示】根据扇形的周长弧长个半径长，可得弧长等于 ，再代入弧长公式即可求解．
【解答】解：∵扇形的周长为，
∴弧长，
∴ ，
解得：．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
12．半径为的圆中，若扇形面积为，则它的圆心角为_________．若扇形面积为，则它的圆心角为________．
【答案】
【提示】根据扇形的面积公式，即可求解．
【解答】解：若扇形面积为，则可得：
，
解得： ，
即若扇形面积为，则它的圆心角为 ；
若扇形面积为，则可得：
，
解得： ，
若扇形面积为，则它的圆心角为 ．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积计算公式 是解题的关键．
13．如图，在半径为3的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC=60°，则的长为__________．
【答案】2π
【提示】连接OA，OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：连接OA，OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
∴的长=
故答案为：2π．
【点睛】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握弧长的计算方法及圆周角定理进行计算是解决本题的关键．
14．如图，扇形AOB的圆心角是为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C，E，D 分别在OA，OB，上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为____________．
【答案】-1
【提示】先根据正方形的性质求出OD=OA=，从图中可看出阴影部分的面积等于矩形ACDF的面积．然后依面积公式计算即可．
【解答】连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC=CD=1，
∴OD=，
∴AC=OA-OC=-1，
∵DE=DC，BE=AC，
∴S阴=长方形ACDF的面积=AC CD=-1．
故答案为-1．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质以及勾股定理，关键是怎样将不规则图形转化为规则图形.
15．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度_____米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
【答案】
【提示】铁轨AB的长度为劣弧AB的长度，再根据弧长公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，铁轨的长度为劣弧AB的长度，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的弧长公式，属于基础题，熟练掌握圆的弧长公式是解决本题的关键．
16．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC=4：3，则弧AC的长为_____．
【答案】##
【提示】根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可．
【解答】解：由于∠AOC：∠ABC=4：3，可设∠AOC=4x，则∠ABC=3x，
∴∠ADC=∠AOC=2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
即2x+3x=180°，
∴x=36°，
∴∠AOC=4x=144°，
∴则弧AC的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形以及弧长的计算，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及弧长的计算公式是正确解答的前提．
17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
【答案】 ##
【提示】根据弧长公式可求得的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．
【解答】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．
∴的长为:2π；
∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积= ．
故答案为：2π；．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
18．如图，平行四边形ABCD中，，．将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【提示】连接和，过作于，过作于，过作于，根据平行四边形性质以及旋转角为，可得，在中，得到，在中，得到，利用勾股定理求出，再求出，进而求出、、，根据计算即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接和，过作于，过作于，过作于，如图所示：
在平行四边形ABCD中，，，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，
，
在中，，则，
在中，，则，
，
，
，，
，
在中，，则，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
三、解答题
19．求下图中阴影部分的周长和面积．（结果保留）
【答案】；
【提示】根据圆的周长和面积公式以及扇形的面积公式和弧长公式进行解答即可．
【解答】解：图中阴影部分的周长为：
；
图中阴影部分的面积为：
．
【点睛】本题主要考查了圆的周长和面积的计算，扇形的面积和弧长的计算，熟练掌握圆的面积和弧长计算公式，是解题的关键．
20．如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)1
【提示】（1）连接AD，可得AD⊥BC．再根据△ABC是等腰直角三角形，可得BD＝CD，，即可求解；
（2）根据AD=BD，可得弧BD=弧AD，从而得到弓形BD的面积＝弓形AD的面积，进而得到阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积，即可求解．
（1）
解∶如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，，
∴AD＝BD＝CD＝；
（2）
解：∵AD=BD，
∴BD =AD ，
∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积＝．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，求扇形面积，勾股定理，根据题意，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出图中点和点的坐标；
(2)画出绕点按顺时针方向旋转后的；
(3)求（2）中，点B旋转到点B'所经过的路线长（结果保留）．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
(3)
【提示】（1）根据平面直角坐标系写出点和点的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点、、绕点顺时针方向旋转后的对应点、、
的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据弧长公式即可求解．
（1）解：由图可知，；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：点B旋转到点B'所经过的路线长．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°．
(1)求弧BC的长度；
(2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）连接OB，OC．根据∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根据⊙O的直径为2，可得OB＝OC＝1，即利用弧长公式即可求解答案；
（2）根据∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根据OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面积和扇形OBC的面积，再根据S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．
（1）
如图，连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝1，
∴；
（2）
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是直角三角形，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝1，
∴△BOC的面积为，
∵，
即S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，掌握圆周角定理证明出∠BOC＝90°是解答本题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转后得到．
(1)请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________
(2)求点旋转到点的弧长．
【答案】(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）
(2)2π
【提示】（1）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．
（2）由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90 ，OB=4，根据弧长公式即可计算求出．
(1)
解：将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，
所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）
(2)
解：由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，
∴点旋转到点的弧长==2π
【点睛】本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．
24．已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
(1)求正六边形的边长；
(2)以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．
【答案】(1)6
(2)4π
【提示】（1）根据正六边形的边长与半径相等即可解决问题；
（2）由正六边形的性质和弧长公式即可得出结果．
（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴正六边形的边长＝半径OA＝6；
（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCF＝120°，∴弧BF的长为．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、弧长公式；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
25．如图，内接于，，，，．
(1)度数________；（直接写出答案）
(2)求的长度；
(3)是上一点（不与A，，重合），连结．
①若垂直的某一边，求的长；
②将点A绕点逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为________．（直接写出答案）
【答案】(1)45°
(2)的长为cm
(3)①的长为cm；②
【提示】（1）根据勾股定理计算出CD的值，即可判定等腰直角三角形ADC，进而即可求解；
（2）连接OC，OB根据等腰直角三角形的性质和判定即可求解；
（3）①BP于点E，并连接AP，根据等腰直角三角形进而证明三角形全等即可应用勾股定理进行求解；②连接A，根据等腰直角三角形和勾股定理对边进行转化进而求解即可．
（1）
∵，
∴，
又∵，，
∴(cm)，
∵，
∴AD=14 cm -6 cm =8cm=CD，且CDAB，
∴ADC为等腰直角三角形，
∴=45°，
故答案为：45°．
（2）
连接CO，BO
∵，
∴，
又∵，
∴COB为等腰直角三角形，
∴(cm)，
则=(cm)．
（3）
①根据题意可得当垂直的某一边时，
则P点只能在内，且BP于点E，并连接AP，
∵和为所对的角，
∴=，
由（1）得，且，
∴为等腰直角三角形，
∴AE=BE
∵，
∴，
∴PE=CE，BE=AE，
又∵在Rt中，
∴BP=AC=(cm)．
②连接A，如下图，
由①得为等腰直角三角形，
∴AE=EB，
又∵，且
∴，
∴在Rt中，
∴AP=，
∵点A绕点逆时针旋转后得到，
∴，
∴，
又∵AD=8，且在Rt中，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、圆弧上的性质和勾股定理的应用，解决本题的关键上我以上的性质并联合起来进行对题目进行解读．
26．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个．
（2）如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且．
①当时，求的度数；
②如图3，当，时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）4个；（2）①或70°或；②
【提示】(1)根据等腰三角形的画法画图即可判断；
(2) ①求出∠C的度数，再分类讨论，求∠BCD即可；②连结，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可．
【解答】（1）如图，使得是“圆等三角形”，则这样的点C能找到4个，
故答案为：4
（2）①∵四边形是圆内接四边形，
∴
当时，；
当时，；
当时，
②连结，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∵是圆等三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过点O作OE⊥BC，
∴∠BOE=60°，
∴OE=1.5，BE=1.5，
，
∴扇形BOC的面积为：，
阴影部分面积为：．
【点睛】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题．
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3.8 弧长及扇形面积
一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
一、单选题
1．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A． B．6 C．12 D．
2．已知扇形的圆心角为，半径为，则弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（ ）
A．5 B．π C． D．π
4．圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
5．如图，在扇形中，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为（结果保留）（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，两点触地放置，搬动时，先将扇形以为旋转中心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当两点再次触地时停止，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（结果保留）（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等边中，，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知扇形的周长为，半径为4，则圆心角的度数为________．
12．半径为的圆中，若扇形面积为，则它的圆心角为_________．若扇形面积为，则它的圆心角为________．
13．如图，在半径为3的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC=60°，则的长为__________．
14．如图，扇形AOB的圆心角是为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C，E，D 分别在OA，OB，上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为____________．
15．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度_____米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
16．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC=4：3，则弧AC的长为_____．
17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
18．如图，平行四边形ABCD中，，．将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题
19．求下图中阴影部分的周长和面积．（结果保留）
20．如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
21．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出图中点和点的坐标；
(2)画出绕点按顺时针方向旋转后的；
(3)求（2）中，点B旋转到点B'所经过的路线长（结果保留）．
22．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°．
(1)求弧BC的长度；
(2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
23．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转后得到．
(1)请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________
(2)求点旋转到点的弧长．
24．已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
(1)求正六边形的边长；
(2)以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．
25．如图，内接于，，，，．
(1)度数________；（直接写出答案）
(2)求的长度；
(3)是上一点（不与A，，重合），连结．
①若垂直的某一边，求的长；
②将点A绕点逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为________．（直接写出答案）
26．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个．
（2）如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且．
①当时，求的度数；
②如图3，当，时，求阴影部分的面积．
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