浙教版八年级数学上册 2.7探索勾股定理　自主提升训练 （含解析）

2022-2023学年浙教版八年级数学上册《2.7探索勾股定理》自主提升训练（附答案）
一．选择题
1．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
2．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5
3．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（　　）
A．① B．①②③ C．①② D．①③
4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高，则线段AD的长度为（　　）
A． B． C． D．
5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2＝64：②x﹣y＝3；③2xy＝55；④x+y＝11．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　）
A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2
7．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为（　　）
A．8 B．9.6 C．10 D．4 5
8．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
二．填空题
10．直角三角形的两直角边的长分别为6cm、8cm，则斜边上高的长是　 　cm．
11．如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于 AC的射线AX上运动，当AP＝　 　时，才能使△ABC与△QPA全等．
12．△ABC中，AB＝41，AC＝15，高AH＝9，则△ABC的面积是　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC、BC为直径的半圆面积分别是12.5πcm2和4.5πcm2，则Rt△ABC的面积为　 　．
14．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，连接AD，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB＝17，BC＝9，AC＝10，试求△ABC的面积．
17．如图，在等腰△ABC中，AC＝AB＝17，BC＝16，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，交AC于点E，求BE的长．
18．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．△ADE和△ACB是两直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
19．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝3cm，AB＝4cm，BC＝5cm，CD＝6cm．
（1）连接BD，判断△CBD的形状；
（2）求四边形ABCD的面积S．
20．如图△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
21．△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若∠C＝90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2＝c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的面积；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
参考答案
一．选择题
1．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
2．解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BF＝4，
∴△ABF中，AF＝＝3，
∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，
12＝×5×（PD+PE）
PD+PE＝4.8．
故选：A．
3．解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，
∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，①正确；
这个直角三角形的面积＝ab＝ch，
∴ab＝ch，②正确；
∴a2b2＝c2h2，
∴＝＝＝＝，③正确．
故选：B．
4．解：设AD＝x
∵CD⊥AB，
∴∠D＝90°，
∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，
∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，
∴x＝，
∴AD＝，
故选：D．
5．解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝64，
故本选项正确；
②由图可知，x﹣y＝CE＝＝3，
故本选项正确；
③由2xy+9＝64可得2xy＝55，
故本选项正确；
④∵x2+2xy+y2＝64+55，
整理得，（x+y）2＝119，
x+y＝≠11，
故本选项错误；
∴正确结论有①②③．
故选：B．
6．解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．
即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．
∵G的面积是62＝36cm2，
∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．
故选：D．
7．解：作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝6，
由勾股定理得：AD＝＝8，
当BM⊥AC时，BM最小，
此时，∠BMC＝90°，
∵△ABC的面积＝AC BM＝BC AD，
即×10×BM＝×12×8，
解得：BM＝9.6，
故选：B．
8．解：∵BC＝5，AC＝＝5，
∴S△ABC＝×5×3＝×AC×BD，
∴BD＝3，
解法二：过A点做AE⊥BC交于点E，则易证三角形AEC全等三角形BDC，所以BD等于AE＝3．
故选：A．
9．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，CA＝6cm，
∴AB＝10cm，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
设OE＝x，
∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，
∴×6×8＝OF×10+OE×6+OD×8，
∴5x+3x+4x＝24，
∴x＝2，
∴点O到AB的距离等于2．
故选：A．
二．填空题
10．解：∵直角三角形两直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边长为 ＝10cm．
∵直角三角形面积＝×一直角边长×另一直角边长＝×斜边长×斜边的高，
代入题中条件，即可得：斜边高＝4.8cm．
故答案为：4.8．
11．解：当AP＝5时，Rt△ABC≌Rt△QPA，
理由是：∵∠C＝90°，AQ⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
当AP＝5＝BC时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
当AP＝AC＝10，AQ＝BC＝5时，△ABC≌△PQA，
故答案为：5或10．
12．解：①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
在Rt△ABH中，AB＝41，AH＝9，
根据勾股定理得：BH＝＝40，
在Rt△AHC中，AC＝15，AH＝9，
根据勾股定理得：HC＝＝12，
∴BC＝BH+HC＝40+12＝52，
则S△ABC＝BC AH＝234；
②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，
由①得，BH＝40，CH＝12，
∴BC＝BH﹣HC＝40﹣12＝28，
则S△ABC＝BC AH＝126．
综上，△ABC的面积为234或126．
故答案为：234或126．
13．解：由题意得，×π×（）2＝12.5π，
解得，AC＝10，
×π×（）2＝4.5π，
解得，BC＝6，
∴Rt△ABC的面积＝×6×10＝30cm2，
故答案为：30cm2．
14．
解：观察发现，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
即S1+S2＝1，
同理S3+S4＝3．
则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为：4．
15．解：∵DE是AB的中垂线，
∴DA＝DB，
设AD＝x，则DB＝x，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD2＝AD2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴CD＝8﹣x＝，
故答案为：．
三．解答题
16．解：由题意可得：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
AB2﹣BD2＝AD2，AC2﹣CD2＝AD2，
设DC＝x，
∵AB＝17，BC＝9，AC＝10，
∴BD＝9+x，
故172﹣（9+x）2＝102﹣x2，
解得：x＝6，
故AD＝＝＝8，
则△ABC的面积为：×BC×AD＝×9×8＝36．
17．解：∵AC＝AB＝17，BC＝16，AD是BC边上的中线，
∴BD＝BC＝8，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝15，
∴△ABC的面积＝＝AC×BE，
∴BE＝＝．
18．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
19．解：（1）∵∠BAD＝90°，AD＝3cm，AB＝4cm，
∴BD＝＝5，
∵BC＝5，
∴△CBD是等腰三角形．
（2）作BE⊥CD于E，计算可得：
∵DE＝3cm，BD＝5
∴BE＝4cm，
∴S△CBD＝12cm2，
∵S△ABD＝6cm2．
故四边形ABCD的面积为18cm2．
20．解：点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝20，BC＝32，
∴BE＝CE＝BC．
∴AE＝＝＝12．
设DE＝x，则BD＝16﹣x，CD＝16+x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，即AD2＝122+x2①，
在Rt△ADC中，AD2＝CD2﹣AC2，即AD2＝（16+x）2﹣202②，
①②联立得，122+x2＝（16+x）2﹣202，解得x＝9，
∴BD＝16﹣9＝7．
21．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2（1分）
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．（2分）
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD＝a﹣x（3分）
根据勾股定理，得b2﹣x2＝AD2＝c2﹣（a﹣x）2
即b2﹣x2＝c2﹣a2+2ax﹣x2．
∴a2+b2＝c2+2ax（5分）
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a2+b2＞c2．（6分）
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．
设CD为y，则有BD2＝a2﹣y2（7分）
根据勾股定理，得（b+y）2+a2﹣y2＝c2．
即a2+b2+2by＝c2．（9分）
∵b＞0，y＞0，
∴2by＞0，
∴a2+b2＜c2．（10分）
23．解：（1）如图1，
∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝8cm，
根据题意可得：PC＝2cm，则AP＝6cm，
故△ABP的面积为：×AP×BC＝×6×6＝18（cm2）；
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠CBA，
∴PD＝PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中，，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD＝BC＝6 cm，
∴AD＝10﹣6＝4 cm．
设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm
在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴当t＝3秒时，BP平分∠CBA；
（3）如图3，
若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有3种情况：
①如图4，
若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②如图5，
若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③如图6，
若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．