第1章 二次函数培优训练卷（含解析）
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浙教版2022年九年级上册第1章《二次函数》较难题培优训练卷
一．选择题
1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
2．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为的正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则m的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
8．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
二．填空题
9．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ．
10．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
11．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y＝﹣x2+6x上．设OA＝m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为 ．
12．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2．
13．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
14．如图，P是抛物线y＝2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行y轴，分别与y＝x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ ．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判断：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判断的序号是 ．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 （只填写序号）．
三．解答题
17．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB＝8，并求出此时P点的坐标．
19．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：
若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，求a的值．
20．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣利用函数图象研究其性质﹣运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝a|x﹣1|+bx+中，当x＝4时，y＝1；当x＝0时，y＝2．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象（每个小方格的边长为1个单位长度）并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函数y＝﹣x2++的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程a|x﹣1|+bx+＝﹣x2+x+的解（精确到0.1）．
21．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
22．已知抛物线L：y＝x2+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
参考答案
一．选择题
1．解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，
函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.02与y＝0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．
故选：C．
2．解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣x2，
得x＝±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB＝20m．
即水面宽度AB为20m．
故选：C．
3．解：∵四边形ABOC是正方形，
∴△ABO是等腰直角三角形；
在等腰Rt△ABO中，AB＝OB＝，则OA＝AB＝2，即：A（0，2）；
∴m＝2；
故选：D．
4．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选：D．
5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，
∴c＝0，
∴abc＝0
∴①正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b＝3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
6．解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选：A．
7．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
8．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：D．
二．填空题
9．解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3．
故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
10．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为：s≥9．
11．解：把x＝m代入抛物线y＝﹣x2+6x中，得AD＝﹣m2+6m
把y＝﹣m2+6m代入抛物线y＝﹣x2+6x中，得
﹣m2+6m＝﹣x2+6x
解得x1＝m，x2＝6﹣m
∴C的横坐标是6﹣m，故AB＝6﹣m﹣m＝6﹣2m
∴矩形的周长是l＝2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）
即l＝﹣2m2+8m+12．
12．解：设：AB＝xm，则BC＝（24﹣x）m，
S矩形花园ABCD＝AB BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，
此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝12，
∵a＝﹣1，故函数有最大值，
当x＝12时，函数取得最大值，
则：S矩形花园ABCD＝AB BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x＝﹣144+24×12＝144，
故：答案是144．
13．解：对称轴为直线x＝﹣＝1，
解得b＝﹣2，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
y＝（x﹣1）2﹣1，
x＝﹣1时，y＝1+2＝3，
x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，
∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
14．解：∵y＝2（x﹣2）2，
∴y＝2x2﹣8x+8，
∵直线x＝t分别与直线y＝x、抛物线y＝2x2﹣8x+8交于点A、B两点，
∴设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），AB＝|t﹣（2t2﹣8t+8）|＝|2t2﹣9t+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB＝90°，此时PA＝AB＝|t﹣2|，
即|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2，或2t2﹣9t+8＝2﹣t，
解得t＝或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，此时PB＝AB＝|t﹣2|，结果同上．
故答案为：或1或3．
15．解：由抛物线的性质，当xA＜x＜xB时，y＞0，所以①错误；
因为x1＜1＜x2，所以点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以②正确；
当m＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），C（0，3），
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，
∴E（2，3），
∴DE＝，
作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于x轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），
∴FD＝FD′，GE＝GE′，
∴FD+FG+GE＝FD′+FG+GE′＝D′E′，
∴此时四边形EDFG周长的最小，
而D′E′＝，
∴四边形EDFG周长的最小值为+，所以③错误．
故答案为②．
16．解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵k是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），
故②正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（am+b）≤﹣a，
故③正确；
由图象知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
故④正确；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故⑤正确，
故答案为：①②③④⑤．
三．解答题
17．解：（1）设y＝kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入得：，
解得：，
则y＝﹣2x+80；
（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：（x﹣20）y＝150，
则（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，
（x﹣25）（x﹣35）＝0，
解得：x1＝25，x2＝35，
∵20≤x≤28，
∴x＝35（不合题意舍去），
答：每本纪念册的销售单价是25元；
（3）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
此时当x＝30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，w随x的增大而增大，即当x＝28时，w最大＝﹣2（28﹣30）2+200＝192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
18．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c＝0的两根为x＝﹣1或x＝3，
∴﹣1+3＝﹣b，
﹣1×3＝c，
∴b＝﹣2，c＝﹣3，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x＝1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为yP，
∵S△PAB＝8，
∴AB |yP|＝8，
∵AB＝3+1＝4，
∴|yP|＝4，
∴yP＝±4，
把yP＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1±2，
把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB＝8．
19．解（1）∵﹣5＜0
∴y'＝﹣y＝2
即点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）
（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数
y′＝的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7
∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3，
当x2﹣16＝7时，解得x＝﹣
故答案为：3或﹣
（3）由题意得∵﹣16≤y′≤16，
∴﹣16＝﹣x2+16
∴x＝4，
观察图象可知，实数a＝4．
20．解：（1）把x＝4，y＝1；x＝0，y＝2代入y＝a|x﹣1|+bx+中，得，
解得，
∴这个函数的表达式为y＝﹣|x﹣1|+x+；
（2）列表：
x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 1 4 6 …
y … ﹣4 ﹣2 0 2 3 1 ﹣ …
描点，连线画出函数的图象如图：
由图象可知函数有最大值3；
（3）由图象可知方程a|x﹣1|+bx+＝﹣x2+x+的解为x1＝﹣3，x2＝﹣1，x3＝2.5，x4＝7．
21．解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，
∴B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
解得a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
解得a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
22．解：（1）当y＝0时，x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝x2+x﹣6＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∴△ABC的面积＝ AB OC＝×（2+3）×6＝15；
（2）∵抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，
∴A′B′＝AB＝5，
∵△A'B′C′和△ABC的面积相等，
∴OC′＝OC＝6，即C′（0，﹣6）或（0，6），
设抛物线L′的解析式为y＝x2+bx﹣6或y＝x2+bx+6
设A'（m，0）、B′（n，0），
当m、n为方程x2+bx﹣6＝0的两根，
∴m+n＝﹣b，mn＝﹣6，
∵|n﹣m|＝5，
∴（n﹣m）2＝25，
∴（m+n）2﹣4mn＝25，
∴b2﹣4×（﹣6）＝25，解得b＝1或﹣1，
∴抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6．
当m、n为方程x2+bx+6＝0的两根，
∴m+n＝﹣b，mn＝6，
∵|n﹣m|＝5，
∴（n﹣m）2＝25，
∴（m+n）2﹣4mn＝25，
∴b2﹣4×6＝25，解得b＝7或﹣7，
∴抛物线L′的解析式为y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6．
综上所述，抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6或y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6．
23．解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，
解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；
（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，
将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：
k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，
∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，
当x＝4时，y＝3a+3，
所以点Q的纵坐标为3a+3．
②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
3a+3≥0，∴a≥﹣1
∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，
∴﹣1≤a＜0
当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，
当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，
所以抛物线与点P不相交．
综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜0
24．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，
∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，
∵a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②≤t＜1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，
∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t≤时，
y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；
④t≥1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．
浙教版2022年九年级上册第1章《二次函数》较难题培优训练卷
一．选择题
1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
2．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为的正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则m的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
8．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
二．填空题
9．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ．
10．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
11．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y＝﹣x2+6x上．设OA＝m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为 ．
12．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2．
13．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
14．如图，P是抛物线y＝2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行y轴，分别与y＝x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ ．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判断：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判断的序号是 ．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 （只填写序号）．
三．解答题
17．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB＝8，并求出此时P点的坐标．
19．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：
若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，求a的值．
20．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣利用函数图象研究其性质﹣运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝a|x﹣1|+bx+中，当x＝4时，y＝1；当x＝0时，y＝2．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象（每个小方格的边长为1个单位长度）并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函数y＝﹣x2++的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程a|x﹣1|+bx+＝﹣x2+x+的解（精确到0.1）．
21．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
22．已知抛物线L：y＝x2+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
参考答案
一．选择题
1．解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，
函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.02与y＝0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．
故选：C．
2．解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣x2，
得x＝±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB＝20m．
即水面宽度AB为20m．
故选：C．
3．解：∵四边形ABOC是正方形，
∴△ABO是等腰直角三角形；
在等腰Rt△ABO中，AB＝OB＝，则OA＝AB＝2，即：A（0，2）；
∴m＝2；
故选：D．
4．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选：D．
5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，
∴c＝0，
∴abc＝0
∴①正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b＝3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
6．解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选：A．
7．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
8．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：D．
二．填空题
9．解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3．
故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
10．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为：s≥9．
11．解：把x＝m代入抛物线y＝﹣x2+6x中，得AD＝﹣m2+6m
把y＝﹣m2+6m代入抛物线y＝﹣x2+6x中，得
﹣m2+6m＝﹣x2+6x
解得x1＝m，x2＝6﹣m
∴C的横坐标是6﹣m，故AB＝6﹣m﹣m＝6﹣2m
∴矩形的周长是l＝2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）
即l＝﹣2m2+8m+12．
12．解：设：AB＝xm，则BC＝（24﹣x）m，
S矩形花园ABCD＝AB BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，
此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝12，
∵a＝﹣1，故函数有最大值，
当x＝12时，函数取得最大值，
则：S矩形花园ABCD＝AB BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x＝﹣144+24×12＝144，
故：答案是144．
13．解：对称轴为直线x＝﹣＝1，
解得b＝﹣2，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
y＝（x﹣1）2﹣1，
x＝﹣1时，y＝1+2＝3，
x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，
∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
14．解：∵y＝2（x﹣2）2，
∴y＝2x2﹣8x+8，
∵直线x＝t分别与直线y＝x、抛物线y＝2x2﹣8x+8交于点A、B两点，
∴设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），AB＝|t﹣（2t2﹣8t+8）|＝|2t2﹣9t+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB＝90°，此时PA＝AB＝|t﹣2|，
即|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2，或2t2﹣9t+8＝2﹣t，
解得t＝或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，此时PB＝AB＝|t﹣2|，结果同上．
故答案为：或1或3．
15．解：由抛物线的性质，当xA＜x＜xB时，y＞0，所以①错误；
因为x1＜1＜x2，所以点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以②正确；
当m＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），C（0，3），
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，
∴E（2，3），
∴DE＝，
作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于x轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），
∴FD＝FD′，GE＝GE′，
∴FD+FG+GE＝FD′+FG+GE′＝D′E′，
∴此时四边形EDFG周长的最小，
而D′E′＝，
∴四边形EDFG周长的最小值为+，所以③错误．
故答案为②．
16．解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵k是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），
故②正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（am+b）≤﹣a，
故③正确；
由图象知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
故④正确；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故⑤正确，
故答案为：①②③④⑤．
三．解答题
17．解：（1）设y＝kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入得：，
解得：，
则y＝﹣2x+80；
（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：（x﹣20）y＝150，
则（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，
（x﹣25）（x﹣35）＝0，
解得：x1＝25，x2＝35，
∵20≤x≤28，
∴x＝35（不合题意舍去），
答：每本纪念册的销售单价是25元；
（3）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
此时当x＝30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，w随x的增大而增大，即当x＝28时，w最大＝﹣2（28﹣30）2+200＝192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
18．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c＝0的两根为x＝﹣1或x＝3，
∴﹣1+3＝﹣b，
﹣1×3＝c，
∴b＝﹣2，c＝﹣3，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x＝1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为yP，
∵S△PAB＝8，
∴AB |yP|＝8，
∵AB＝3+1＝4，
∴|yP|＝4，
∴yP＝±4，
把yP＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1±2，
把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB＝8．
19．解（1）∵﹣5＜0
∴y'＝﹣y＝2
即点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）
（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数
y′＝的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7
∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3，
当x2﹣16＝7时，解得x＝﹣
故答案为：3或﹣
（3）由题意得∵﹣16≤y′≤16，
∴﹣16＝﹣x2+16
∴x＝4，
观察图象可知，实数a＝4．
20．解：（1）把x＝4，y＝1；x＝0，y＝2代入y＝a|x﹣1|+bx+中，得，
解得，
∴这个函数的表达式为y＝﹣|x﹣1|+x+；
（2）列表：
x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 1 4 6 …
y … ﹣4 ﹣2 0 2 3 1 ﹣ …
描点，连线画出函数的图象如图：
由图象可知函数有最大值3；
（3）由图象可知方程a|x﹣1|+bx+＝﹣x2+x+的解为x1＝﹣3，x2＝﹣1，x3＝2.5，x4＝7．
21．解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，
∴B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
解得a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
解得a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
22．解：（1）当y＝0时，x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝x2+x﹣6＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∴△ABC的面积＝ AB OC＝×（2+3）×6＝15；
（2）∵抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，
∴A′B′＝AB＝5，
∵△A'B′C′和△ABC的面积相等，
∴OC′＝OC＝6，即C′（0，﹣6）或（0，6），
设抛物线L′的解析式为y＝x2+bx﹣6或y＝x2+bx+6
设A'（m，0）、B′（n，0），
当m、n为方程x2+bx﹣6＝0的两根，
∴m+n＝﹣b，mn＝﹣6，
∵|n﹣m|＝5，
∴（n﹣m）2＝25，
∴（m+n）2﹣4mn＝25，
∴b2﹣4×（﹣6）＝25，解得b＝1或﹣1，
∴抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6．
当m、n为方程x2+bx+6＝0的两根，
∴m+n＝﹣b，mn＝6，
∵|n﹣m|＝5，
∴（n﹣m）2＝25，
∴（m+n）2﹣4mn＝25，
∴b2﹣4×6＝25，解得b＝7或﹣7，
∴抛物线L′的解析式为y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6．
综上所述，抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6或y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6．
23．解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，
解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；
（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，
将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：
k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，
∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，
当x＝4时，y＝3a+3，
所以点Q的纵坐标为3a+3．
②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
3a+3≥0，∴a≥﹣1
∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，
∴﹣1≤a＜0
当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，
当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，
所以抛物线与点P不相交．
综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜0
24．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，
∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，
∵a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②≤t＜1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，
∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t≤时，
y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；
④t≥1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．
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