第2章 2.6-2.8直角三角形全等的判定 精选必刷题（含解析）

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第2章 2.6-2.8精选必刷题（含解析）
一、2.6直角三角形
1．下列命题中，是真命题的是(　　)
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形
B．三个内角之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2．如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在等腰△ABC中，点M，N都在BC边上，∠BAC＝120°，若ME⊥AB于点E，NF⊥AC于点F，点E，F分别为AB，AC的中点，且EM＝2．则BC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝　 　．
5．如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC.
（1）若D为AB中点，且 CD=2，则AB=　 　.
（2）当CD= AB时，∠A=α ，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是　 　.
7．某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE＝30°．
（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；
（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
二、2.7勾股定理
8．在 中， ， ， .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ .其中，所有正确的说法的序号是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
9．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是（　　）
A． B． +1 C．1﹣ D．﹣
10．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A．1 B．2020 C．2021 D．2022
11．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是　 　.
根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC.请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+ AD的最小值为　 　.
13．如图，在 中， ， ， ，CD与BE相交于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
14．如图所示， 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）．
三、2.8直角三角形全等
15．如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
16．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是　 　
18．如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
19．如图，在中，，点D为边BC上一点，且，过点D作BC的垂线交AC于点E.
（1）求证：
（2）当时，求证：.
20．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， .求证： .
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题.
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，错误；
B、∵最大角=180°×=75°≠90°，不是直角三角形，错误；
C、∵坐标值正负不确定，∴点的横坐标不一定是点到x轴的距离，错误；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理判断A；根据三角形内角和定理求最大角判断B；根据坐标和点到直线的距离判断C；根据角平分线的性质判断D.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，交OE于P，过P作PC⊥OB于C，此时的值最小，
∵为的角平分线，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∴=BD，
∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质求出PD=PC，再求出=BD，最后求出BD的值即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵ME⊥AB，NF⊥AC，点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴BM=AM=AN=MN=NC，
∵在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，
∴BM=2EM=4，
∴BM=MN=CN=4，
∴BC=12；
故答案为：D．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠C=∠B=30°，再求出△AMN是等边三角形，可得BM=AM=AN
=MN=NC，在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，可得BM=2EM=4，从而得解.
4．【答案】4
【解析】【解答】解：作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，
∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，
∵∠AOE＝15°，
∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
故答案为：4．
【分析】作EG⊥OA于G，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性质可得EF＝2EG＝4．
5．【答案】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴．
【解析】【分析】根据三角形的内角和得出，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可。
6．【答案】（1）4
（2）0< α <90°
【解析】【解答】解：(1)∵△ABC为Rt△ABC，D为AB中点，
∴AB=2CD=4.
故答案为：4.
(2)∵CD= AB ，AD=BD，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠CBD，
∴∠ACB=∠ACD+∠CBD=90°，
∴∠A为锐角，
即0< α <90°.
故答案为：0< α <90°.
【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质求AB长即可；
(2)先求出∠A=∠ACD，∠B=∠CBD，根据三角形内角和定理求出∠ACB=90°，则A为锐角，从而得出 α的取值范围.
7．【答案】（1）解：∵DB⊥AB，∠BAE＝30°，
∴，
∵AE=80m，
∴BE=40m，
即旋转木马E处到出口B处的距离为40m；
（2）解：∵DB⊥AB，∠BAE＝30°，
∴∠AEB=∠DEC=60°，
∵∠C＝90°，
∴∠D=30°，
∵CE=40m，
∴，
∴DB=DE+BE=120m，
即海洋球D处到出口B处的距离为120m；
（3）解：入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等，理由如下：
由（1）（2）可知：AE=DE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△DEC≌△AEB（AAS），
∴AB=DC，
即入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．
【解析】【分析】（1）根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出BE的值；
（2）由（1）同理得出DE的值，从而求出BD的值；
（3）利用勾股定理求出AB、CD的长，即可判断。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
① 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③a是8的算术平方根，说法正确；
④∵4＜8＜9，∴ ，即2＜a＜3，说法错误；
所以说法正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对应，可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可知，可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：
.
∴ .
∵
∴
∴点M表示的数是：1-
.
故答案为：C.
【分析】首先由勾股定理求出BC，根据同圆的半径相等得MB=BC，结合OB的值求出OM，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得点M表示的数.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：SA=1，
由勾股定理得：SB＋SC=1，
则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：
“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可证得SB＋SC=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.
11．【答案】
【解析】【解答】解：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=DB=5，
∵∠C=90°，AC=8，BD=5，
∴AB=2BD=10，
由勾股定理得，BC==6，
则CE=8-AE=8-EB，
在Rt△CBE中，BE2=CE2+BC2，即BE2=（8-BE）2+36，
解得，BE=，则AE=，
∴S△ABE=AE×BC=××6=，
∴△ADE的面积是S△ABE=.
故答案为：.
【分析】连接BE，利用垂直平分线的性质可证得EA=EB，AE=DB=5，从而可求出AB的长；再利用勾股定理求出BC的长，可得到CE=8-EB；然后利用勾股定理可得到关于BE的方程，解方程求出BE的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABE的面积.
12．【答案】
【解析】【解答】解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，
∴DE＝
AD，
∴CD+
AD＝CD+DE≥CF，
∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，AC＝2，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝1，
∴CF＝
，
∴CD+
AD的最小值为
.
故答案为：
.
【分析】作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝
AD，从而得出CD+
AD＝CD+DE≥CF，可知 CD+ AD的最小值 即为此时CF的长，利用勾股定理求出CF即可.
13．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠ADC=∠FDB=90°，根据同角的余角相等可得∠DBF=∠ACD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AD=DF=3，利用勾股定理求出BD，然后求出AB，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
14．【答案】（1）解：∵ ， ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
（2）解：①分两种情况：
ⅰ)如图1所示，
当 时，过 作 于 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ)当 时，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
② 的长为 或 ．
【解析】【解答】（2）②分两种情况：
ⅰ）当 在线段 上时，如图3所示，
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，
同理得 ，∵ ，∴ ，
同理得： ，∴ ，
中， ，
综上， 的长为 或 ．故直接写出答案为： 或 ．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOC=90°，利用勾股定理求出CO，AC的长.
（2）①分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ON⊥AC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证明ON∥DE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明△CAO≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；②分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作BG⊥EF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求出BF的长；再证明BG∥AC，可推出∠GBF=∠ACB，利用平行线的性质可证得∠A=∠DBG，利用等腰三角形的性质可推出∠DBF=∠GBF，∠BDG=∠BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥DE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上所述可得到CD的长.
15．【答案】B
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
16．【答案】D
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.
17．【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【解析】【解答】因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的判定方法求解即可。
18．【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
【解析】【分析】（1）利用HL证明△ABE≌△CBF.
（2）利用等腰直角三角形的性质可证得∠BAC=∠BCA=45°，由此可求出∠BAE的度数；再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠BCF的度数；然后根据∠CFA=90°-∠BCF，代入计算求出∠CFA的度数.
19．【答案】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AE＝DE.
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DBE，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABC＝2∠DBE，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠DBE＝∠C，
∴CE＝BE，
∵ED⊥BC，
∴CD＝BD，
又∵AB＝BD，
∴AB＝CD.
【解析】【分析】（1）利用HL证Rt△ABE≌Rt△DBE，然后根据全等三角形的性质可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE＝∠DBE，则∠ABC＝2∠DBE，结合已知条件可得CE＝BE，根据等腰三角形的性质可得CD＝BD，然后结合AB＝BD可得结论.
20．【答案】（1）解：方法1：在 上截 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
，
， .
， .
.
，
.
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
.
， .
，
.
，
，
.
（2）解： 、 、 之间的数量关系为： .
（或者： ， ）.
延长 到点P，使 ，连接 ，如图2所示.
由（1）可知 ，
.
为等边三角形.
， .
，
.
.
，
为等边三角形.
， .
，
，
即 .
在 和 中， ，
.
，
，
.
（3）
【解析】【解答】解：（3） AB，CE，BC之间的数量关系为： .
（或者： ， ）
连接BD ，过点D作DF⊥AC于F，如图3所示.
， .
.
在 和 中， ，
，
， .
在 和 中，DF=DE，AF=CE，
，
.
，
，
.
【分析】（1）方法一：在BC上截取BM=BA，连接DM，利用角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，由SAS证明△ABD≌△MBD，利用全等三角形的性质得∠A=∠BMD，AD=MD；由此可推出DM=DC，即可证得结论；方法二：延长BA至点N，使BN=BC，连接DN，由角平分线定义得∠NBD=∠CBD，利用SAS证明△NBD≌△CBD，利用全等三角形的性质可得到∠C=∠BND，ND=CD；利用补角的性质可得∠BND=∠NAD，利用等角对等边可得到DN=DA，即可证得结论；
（2）延长CB到点P，使BP=BC，连接AP，易证△ADC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AC=AD，∠ADC=60°，再求出∠ABC，∠PBA的度数；再证明△ABP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠PAB=60°，AB=AP，可推出∠PAC=∠BAD；然后利用SAS证明△PAC≌△BAD，利用全等三角形的性质可推出PC=BD，由此可得到AB，BC，BD之间的数量关系；
（3） 连接BD，过点D作DF⊥AC于点F，由补角的性质得∠FAD=∠C，利用AAS证明△DFA≌△DEC，利用全等三角形的性质可得到利用HL证明△BDF≌△BDE，利用全等三角形的性质可推出BF=BE，由此可推出BC=BA+2CE，由此可证得结论.
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