第3章 3.1-3.3垂径定理 精选必刷题（含解析）

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第3章 3.1-3.3精选必刷题（含解析）
一、3.1圆
1．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（　　）
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
3．⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1，最远点的距离为7，则⊙O的半径为　 　．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为　 　．
5．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.
（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；
（2）该最小覆盖圆的半径是　 　.
6．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OB，CD的延长线交⊙O于点E.若∠C＝19°，求∠BOE的度数.
二、3.2旋转
7．将点（1，2）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（2，﹣1）
C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
8．如图， 在 中， ， 以点 为旋转中心， 将 绕点 逆时针旋转得到 ， 点 的对应点分别为 ， 连接 ， 若 ， 则 的值是(　　)
A． B． C． D．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（2，0），连接AB，点D为AB的中点，将点D绕着点A旋转90°得到点D的坐标为（　　）
A．（﹣2，1）或（2，﹣1） B．（﹣2，5）或（2，3）
C．（2，5）或（﹣2，3） D．（2，5）或（﹣2，5）
10．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，．将绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是　 　．
11．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．
（1）如图①，若α=90°，求AA′的长；
（2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；
（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，在图中画出点P的位置，并直接写出点P的坐标．
12．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，
在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠　 　．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌　 　．
∴　 　=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF= ∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF= ∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）
．
三、3.3垂径定理
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（　　）
A．8 B．2 C．3 D．4
14．⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离　 　．
15．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD=DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为　 　.
16．如图，AB是 的直径，弦 于点M，连结CO，CB.
（1）若 ， ，求CD的长度；
（2）若 平分 ，求证： .
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．
（1）请用尺规作图作出三角形ABC的外接圆⊙O；（不写作法及证明，应保留作图痕迹）
（2）若BC＝4，AD=5，求⊙O的半径r．
18．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意；②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意；③长度相等的弧不一定是等弧，故③错误，符合题意；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意，
故不正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，据此判断①；不在用一直线上的三点可以确定一个圆，据此判断②；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，据此判断③；经过圆内的一个定点可以作无数条弦，据此判断④.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：在中，°，，，
．
，，
．
以点为圆心作，其半径长为，要使点恰在外，点在内，
的范围是，
故答案为：A．
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论。
3．【答案】4
【解析】【解答】解：∵⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1，最远点的距离为7，
∴⊙O的直径是8，
∴⊙O的半径是4．
故答案为：4
【分析】根据点和圆的位置关系，再结合最近点的距离为1，最远点的距离为7，可得到⊙O的直径是8，即可得到⊙O的半径是4．
4．【答案】（2，1）
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，即可得出答案。
5．【答案】（1）解：如图，点O即为所求.
（2）
【解析】【解答】解：（2）半径OA= .
故答案为： .
【分析】（1）只需作出三角形ABC的外接圆即可，于是作其中两边的垂直平分线的交点即为所求；
（2）根据网格图的特征用勾股定理可求解.
6．【答案】解：连接OD，
∵CD=OB=OD，∠C=19°，∴∠ODE=2∠C=38°，∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=38°，∴∠EOB=∠C+∠E=19°+38°=57°
【解析】【分析】连接OD，根据CD=OB=OD及外角的性质得出∠ODE的度数，最后根据∠EOB为△COE的外角得出答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，将点A（1，2）绕原点逆时针旋转90°得到点A′，则 ， ，过点作AB⊥x轴于点C，过点A′作 于点C，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A（1，2），
∴AB=2，OB=1，
∴ ，
∴点 ．
故答案为：D．
【分析】先求出 ，再求出AB=2，OB=1，最后求点的坐标即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=75°；
∵ 以点 为旋转中心， 将 绕点 逆时针旋转得到 ，
∴AE=AC，
∴∠AEC=∠ECA=75°；
∴∠CAE=180°-2×75°=30°.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可求出∠ACE的度数；再利用旋转的性质可得到AE=AC，利用等边对等角可得到∠AEC=∠ECA=75°；然后利用三角形的内角和定理可求出∠CAE的度数.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：设点D绕着点A逆时针旋转90°得到点D1，
分别过点D，D1作y轴的垂线，分别交y轴于点C、E，如图：
根据旋转的性质得∠DAD1=90°，AD1=AD，
∴∠AED1=∠ACD=90°，
∴∠D1+∠EAD1=90°，∠EAD1 +∠DAC=90°，
∴∠D1=∠DAC，
∴△AD1E≌△DAC，
∴CD=AE，ED1=AC，
∵A（0，4），B（2，0），点D为AB的中点，
∴点D的坐标为（1，2），
∴CD=AE=1，ED1=AC=AO-OC=2，
∴点D1的坐标为（2，5）；
设点D绕着点A顺时针旋转90°得到点D2，
同理，点D2的坐标为（-2，3），
综上，点D绕着点A旋转90°得到点D的坐标为（-2，3）或（2，5），
故答案为：C．
【分析】利用图象法，画出图形即可得到结论。
10．【答案】(-2，)
【解析】【解答】过点作C⊥y轴，垂足为C，根据旋转的性质，
∴=30°，，
∴C=，
∴OC==，
∴点的坐标是(-2，)，
故答案是：(-2，)．
【分析】过点作C⊥y轴，垂足为C，根据旋转的性质可得=30°，，再利用含30°角的性质可求出OC的值，即可得到点B的坐标。
11．【答案】（1）解：如图①，
∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB= =5，
∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，
∴BA=BA′，∠ABA′=90°，
∴△ABA′为等腰直角三角形，
∴AA′= BA=5 .
（2）解：作O′H⊥y轴于H，如图②，
∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，
∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，
∴∠HBO′=60°，
在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°-∠HBO′=30°，
∴BH= BO′= ，O′H= BH= ，
∴OH=OB+BH=3+ = ，
∴O′点的坐标为（ ， ）
（3）解：∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，
∴BP=BP′，
∴O′P+BP′=O′P+BP，
作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，
则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（0，-3），
设直线O′C的解析式为y=kx+b，
把O′（ ， ），C（0，-3）代入得 ，解得 ，
∴直线O′C的解析式为y= x-3，
当y=0时， x-3=0，解得x= ，
∴P（ ，0）
【解析】【分析】（1）由点A（4，0）、点B（0，3）利用勾股定理可得AB=5 ，根据旋转的性质可知△ABA′为等腰直角三角形，据此即可解答；
（2） 作O′H⊥y轴于H ，由旋转性质可知BO=BO′=3，∠OBO′=120°， 故有∠HBO′=60°， 通过解Rt△BHO'即可求得HB、HO'，从而可得点O'的坐标
（3） 作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，由轴对称性质可知此时O'P+BP的值最小 ，易得点C的坐标，利用待定系数法可得直线O'C的解析式，令y=0即可求得点P的坐标。
12．【答案】（1）EAF；△EAF；GF
（2）解：DE+BF=EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转 m°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF= m°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF= m°- m°= m°
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3= m°．
即∠GAF=∠EAF
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF
∴DE+BF=EF．
（3）解：当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF
【解析】【解答】解：⑴EAF、△EAF、GF．
【分析】（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，根据旋转的性质得出AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，再求出∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，再判断点G，B，F在同一条直线上．再利用“边叫边”证明△GAF≌△EAF，根据全等三角形对应边相等得出EF=GF，再根据DE+BF=EF等量代换即可得出结论；
（2）假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转 m°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，得出∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，推出点G，B，F在同一条直线上．再证出∠GAF=∠EAF，证出△GAF≌△EAF，得出GF=EF，由GF=BG+BF=DE+BF ，得出结论；
（3）当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF。
13．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故答案为：D．
【分析】如图，连接OD．由垂径定理可得CE＝ED＝4，利用勾股定理求出OE＝=3，从而得出AE＝OA+OE＝8，再次利用勾股定理求出AD＝＝4.
14．【答案】1cm或7cm
【解析】【解答】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm．
故答案为：1cm或7cm．
【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后利用勾股定理算出AB弦与圆心的距离，CD弦与圆心的距离，再分情况求解即可。
15．【答案】
【解析】【解答】解：延长CD交⊙O于点E，连接OA，AE，BE如图，
∵OA=OC=1，OD=CD，
∴OD=CD= OC= ，
∵OC⊥AB，
∴AD= ，
∴AB=2AD= ，
∴S△ABE= ，
∵在△ABP中，当点P与点E重合时，AB边上的高取最大值，此时△ABP的面积最大，
∴S△ABP的最大值= .
故答案为： .
【分析】要使得 S△PAB的最大值 ，即点P到AB的距离最大，当点P经过圆心O且与AB互相垂直时，PD最大，即 S△PAB最大；连接OA，由OD=OA，和勾股定理可得，根据垂径定理，PD⊥AB于点D，故，AB=2AD，PD=OP+OD=，利用三角形的面积可得.
16．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，
∵AM＝2，BM＝8，
∴AB＝10，
∴OA＝OC＝5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
∴CM 4，
∴CD＝8；
（2）证明：过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵CO平分∠DCB，
∴OM＝ON，
∵CO=CO
∴Rt△COM≌Rt△CON
∴CM=CN
∴CB＝CD.
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得CM=DM，由已知条件可求出圆的直径和半径，再利用勾股定理求出CM的长，即可得到CD的长.
（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，利用角平分线的性质可证得ON=OM，利用HL证明Rt△COM≌Rt△CON，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，利用垂径定理可证得结论.
17．【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即AD垂直平分BC，
∴作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，⊙O即为所求作，如下图所示；
（2）解：连结OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，BC＝4，
∴BD=CD=2 ，
设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，，
在Rt△BOD中，由勾股定理可得：
，
解得：，
∴⊙O的半径．
【解析】【分析】（1）作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，⊙O即为所求作；
（2）设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，OD=5-r，根据勾股定理列出方程求出r的值即可。
18．【答案】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM＝ AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）解：∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝ ＝8（m），
∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施.
【解析】【分析】（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM=AB=15m，A′N＝B′N，易得OM＝OP-PM＝(x-9)m，然后由勾股定理求解即可；
（2）易得ON＝OP-PN＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理求出A′N，根据垂径定理可得A′B′，据此判断.
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