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3.1 认识不等式
一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
一、单选题
1．下列各数中，满足不等式的是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【提示】根据各项数据的大小，判断其是否满足不等式的解集即可．
【解答】∵-4＜0，0＜1＜3，x＜0，
∴满足条件的只有-4，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式解集的知识，关键是明白不等式解的取值范围．
2．下列式子：①﹣5＜7；②x﹣2x：③a≠2：④7y﹣6＞5y+2中，是不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【提示】用不等号表示不相等关系的式子是不等式，根据定义即可解题．
【解答】解：①-5＜7，是不等式；
②x-2x不含不等号，不是不等式；
③a≠2，是不等式；
④7y-6＞5y+2，是不等式．
所以不等式有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示的不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．
3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【解答】解：由题意得：0＜x≤10．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．
4．下列各式中：①；②；③；④；⑤，不等式的个数有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【提示】根据不等式的定义进行判断．
【解答】解：①-3＜0，是不等式；
②x+3y≥0，是不等式；
③x=3是等式，不是不等式；
④x2+xy+y2是代数式，不是不等式；
⑤x≠5，是不等式．
不等式的个数有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常用的不等号：“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．
5．下列各项中，蕴含不等关系的是（ ）
A．老师的年龄是你的年龄的2倍 B．小丽和小华一样高
C．明天可能下雨 D．是非负数
【答案】D
【提示】根据四个选项中描述的数量关系进行分析判断即可.
【解答】解：A选项中，语句“老师的年龄是你的2倍”描述的是“等量关系”；
B选项中，语句“小丽和小华一样高”描述的是“等量关系”；
C选项中，语句“明天可能下雨”描述的的不是“不等关系”；
D选项中，语句“x2是非负数”描述的是“不等关系”.
故选D.
【点睛】读懂每个语句的含义，弄清其中所描述的数量间的关系是解答本题的关键.
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．a不是正数，则 B．b是小于0的数，则
C．c不大于-1，则 D．d是负数，则
【答案】D
【提示】根据正数和负数的意义，不大于的意义，可得答案．
【解答】解：A. a不是正数，则，故该选项错误；
B. b是小于0的数，则，故该选项错误；
C. c不大于-1，则，故该选项错误；
D. d是负数，则，故该选项正确．
【点睛】本题考查了正数和负数的意义、不大于的意义，正确理解是解题关键，特别注意0既不是正数也不是负数．
7．下列数表达式①；②；③；④．其中属于不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】根据不等式的定义，逐一判断，即可．
【解答】解：①是不等式；
②是等式；
③是不等式；
④是代数式，
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握“用不等号连接起来的式子，叫做不等式”是解题的关键．
8．下列说法：①x与3的差不是正数，即；②x是负数，即；③x的平方是非负数，即；④x大于0且不大于2的数，即；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【提示】根据题意，列出不等式， 找出正确的个数，注意和、差、大于、小于等关键描述词.
【解答】①x－3不是正数，则x－3为负数或0，得x－3≤0，本项正确；
②x为负数，x＜0显然正确；
③x2是非负数，则x2为正数或0，得x2≥0，本项正确；
④显然0＜x≤2，本项正确；
所以正确的有四个，
选D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，关键在于清楚认识到非负数、非正数和0的大小关系，还有不大于、不小于的意思．
9．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据不等式的定义即可列出温度的变化范围．
【解答】解：年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，
当天淮安气温的变化范围是，
答案：．
【点睛】此题主要考查不等式的表示，解题的关键是根据题意列出符合题意的不等式．
10．在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：表示不小于；表示不大于，表示远大于；表示远小于等．下列选项中表达错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据对每个符号的定义对每一项进行判断即可．
【解答】解：A．表示2不小于2，正确，故本选项不符合题意；
B．表示-1不大于0，正确，故本选项不符合题意；
C．表示100远大于1，正确，故本选项不符合题意；
D．表示-2远小于-99，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的新定义问题，解决本题的关键是理解各个符号的意思．
二、填空题
11．“a，b两数同号“，可用一个不等式表示为_____．
【答案】ab＞0．
【提示】根据实数的运算法则可知，两数相乘，同号得正，异号得负表示即可.
【解答】根据两数相乘同号得正可得不等式．
解：由题意得：ab＞0，
故答案为：ab＞0.
【点睛】本题考查了实数的运算法则，解决本题的关键是熟练掌握实数运算时，同号得正，异号得负这一法则.
12．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有________个．
【答案】2
【提示】运用不等式的定义进行判断．
【解答】解：是等式，
和是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.
不等式有：，.
故答案为：2.
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
13．用不等号表示下列句子：x是正数____________；x是负数______________．
【答案】
【提示】根据不等式的定义填空．
【解答】解：x是正数用不等式表示为：，
x是负数用不等式表示为：．
故答案是：；．
【点睛】本题考查不等式的定义，解题的关键是根据不等式的定义以及题目要求列不等式．
14．“x小于-3且不小于-5”，用不等式表示为_________________．
【答案】
【提示】根据题意和不等式的定义列不等式．
【解答】解：x小于-3且不小于-5，列不等式：．
故答案是：．
【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是掌握不等式定义，利用题目中的不等关系列式．
15．若，且，则a______0；b________0．
【答案】 > <
【提示】先根据，可判断出a和b异号，再根据，可得出答案．
【解答】解：∵，
∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0
又∵，
∴a＞0，b＜0
故答案为：＞；＜．
【点睛】本题考查的是根据不等式判断符号问题，解题关键在于理解掌握不等式的定义，根据运算关系正确判断符号．
16．用不等式表示：x减去2的差的绝对值不大于_________________．
【答案】
【提示】根据题意以及不等式的定义列不等式．
【解答】解：x减2的绝对值不大于，列式：．
故答案是：．
【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式．
17．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系：
（1）是正数：_____________________；
（2）是负数：_____________________；
（3）不小于4：_____________________；
（4）是非负数：_____________________；
（5）的2倍比9大：_____________________；
（6）的一半与8的和是负数：_____________________；
（7）的3倍与5的和大于的：_____________________；
（8）相反数是非正数：_____________________；
【答案】 >0； <0； ≥4； ≥0； 2>9； +8<0； +5>； -() ≤0.
【提示】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
【解答】（1）>0；（2）<0；（3）≥4；（4）≥0；（5）2>9；（6）+8<0；（7）+>；（8）-() ≤0.
故答案为（1）>0；（2）<0；（3）≥4；（4）≥0；（5）2>9；（6）+8<0；（7）+5>；（8）-() ≤0.
【点睛】此题考查利用字母来表示题目中的不等关系，抓住大于、小于、不大于、不小于等关键字．
18．下面的式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的是：___________________；（填序号）
【答案】①②⑤
【提示】依据不等式的定义-----用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断即可．
【解答】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②⑤为不等式，共有3个．
故答案为①②⑤
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
三、解答题
19．用不等式表示：
（1）与5的和是正数；
（2）与2的差是负数；
（3）与15的和小于27；
（4）与12的差大于；
（5）的4倍大于或等于8；
（6）的一半小于或等于3；
（7）与的和不小于0；
（8）与的差不大于．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
【提示】根据语句直接列式即可．
【解答】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．
【点睛】此题考查列不等式，正确理解题目中的和、差、倍、分是解题的关键．
20．用不等式表示
（1）a的与一1的差是非正数．
（2）a的平方减去b的立方大于a与b的和．
（3）a的减去4的差不小于-6．
（4）x的2倍与y的和不大于5．
（5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【提示】根据题意以及不等式的定义列不等式．
【解答】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式．
21．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
① x＋y；② 3x＞7；③ 5＝2x＋3；④ x2＞0；⑤ 2x－3y＝1；⑥ 52；⑦ 2＞3.
【答案】等式有③⑤，不等式有②④⑦，既不是等式也不是不等式的有①⑥.
【解答】表示相等关系的式子是等式，则等式有③⑤；表示不等关系的式子是不等式，不等式有②④⑦，既不是等式也不是不等式的有①⑥，故答案为等式有③⑤，不等式有②④⑦，既不是等式也不是不等式的有①⑥.
22．用不等式表示下列数量之间的不等关系：
(1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加；
(2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【提示】（1）较去年有所增加，即比去年多的意思；
（2）由图可以得到放球的一边向下沉说明球的总重量比5g要大，即可得到答案.
【解答】解：（1）根据题意可知，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加，
则x＞480 ；
（2）观察图可知，三个乒乓球的质量大于5克的砝码，
则3x＞5.
【点睛】本题考查了不等式的定义，要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
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3.1 认识不等式
一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
一、单选题
1．下列各数中，满足不等式的是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
2．下列式子：①﹣5＜7；②x﹣2x：③a≠2：④7y﹣6＞5y+2中，是不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中：①；②；③；④；⑤，不等式的个数有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列各项中，蕴含不等关系的是（ ）
A．老师的年龄是你的年龄的2倍 B．小丽和小华一样高
C．明天可能下雨 D．是非负数
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．a不是正数，则 B．b是小于0的数，则
C．c不大于-1，则 D．d是负数，则
7．下列数表达式①；②；③；④．其中属于不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列说法：①x与3的差不是正数，即；②x是负数，即；③x的平方是非负数，即；④x大于0且不大于2的数，即；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：表示不小于；表示不大于，表示远大于；表示远小于等．下列选项中表达错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．“a，b两数同号“，可用一个不等式表示为_____．
12．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有________个．
13．用不等号表示下列句子：x是正数____________；x是负数______________．
14．“x小于-3且不小于-5”，用不等式表示为_________________．
15．若，且，则a______0；b________0．
16．用不等式表示：x减去2的差的绝对值不大于_________________．
17．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系：
（1）是正数：_____________________；
（2）是负数：_____________________；
（3）不小于4：_____________________；
（4）是非负数：_____________________；
（5）的2倍比9大：_____________________；
（6）的一半与8的和是负数：_____________________；
（7）的3倍与5的和大于的：_____________________；
（8）相反数是非正数：_____________________；
18．下面的式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的是：___________________；（填序号）
三、解答题
19．用不等式表示：
（1）与5的和是正数；
（2）与2的差是负数；
（3）与15的和小于27；
（4）与12的差大于；
（5）的4倍大于或等于8；
（6）的一半小于或等于3；
（7）与的和不小于0；
（8）与的差不大于．
20．用不等式表示
（1）a的与一1的差是非正数．
（2）a的平方减去b的立方大于a与b的和．
（3）a的减去4的差不小于-6．
（4）x的2倍与y的和不大于5．
（5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20．
21．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
① x＋y；② 3x＞7；③ 5＝2x＋3；④ x2＞0；⑤ 2x－3y＝1；⑥ 52；⑦ 2＞3.
22．用不等式表示下列数量之间的不等关系：
(1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加；
(2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)．
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