3.2实数

3.2实数 教案设计
教学目标：
1利用“合作学习”，让学生经历无理数的产生过程。
2了解无理数、实数的概念，了解的分类。
3知道实数与数轴上的点一一对应。
4.理解相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用于实数。
教材分析：
“实数”是在对算术平方根的研究的基础上，实现数的范围到有理数后的进一步扩展.由、π激起学生思维的火花，揭示现实空间无限不循环小数的存在，并从本质上理解无理数与有理数的区别.
重点：无理数、实数的概念，以及实数与数轴上的点一一对应.
难点：无理数的概念比较抽象；在数轴上的表示需要比较复杂的几何作图.
学生分析：
学生对有理数和平方根已有初步的了解，也已经了解近似数，掌握计算器的简单运用.但对七年级学生来讲，思维仍较直观，无理数显得比较抽象，难以理解.对的探索是本课的关键，不仅得到无理数的概念，还有利于培养学生的分析、探索的能力.
设计理念
让学生主动参与合作交流， 探索、发现，注重知识形成的过程
教学方法：
启发式、探索式教学
教学过程：
（一）创设问题情境，引入新课
“合作学习”：依次连结2×2方格的中点，得到一个阴影正方形，设每格的边长为一个单位长度，回答下面的问题：1、阴影部分面积是多少？2、阴影部分边长是多少？怎么表示？3、阴影部分边长介于哪两个相邻整数之间？
（设计意图：让学生体会到数的概念产生于实际需要并在实践中得到发展，也尊重了学生已有的知识与经验，为新知识引入作好辅垫，这就体现了新课标所倡导的学生学习过程是一种自我建构，自我生成的过程。）
（二）、继续探索 特征，得到无理数概念
1. 利用12＜2＜22推出1＜＜2的不等关系，说明不可能是整数。
引导学生借助计算器进行合作学习交流：
根据 1＜＜2，确定√2=1.…
确定小数点后第一位数
计算 1.42 1.52
由1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2得到1.42＜2＜1.52.
很明显1.4＜＜1.5 .
根据以上得：=1.4…
（3） 再求下一位 计算1.412 1.422 等
=1.41…
以上得到的1.4，1.41仅是的近似值，究竟是多少？在解决此问题后， 又出现了新疑点.这样激发学生沿着以上思路继续合作学习，结合书本p72的表格，探索特征.
2. 合作学习：请在表中的空白处填上适当的不等号。
12____( )2______22
1_____ ______2
1.42____( )2______1.52
1.4_____ ______1.5
1.412_____( )2_____1.422
1.41_____ _____1.42
1.4142_____( )2______1.4152
1.414_____ _____1.415
1.41422_____( )2_____1.41432
1.4142_____ ______1.4143
1.414212_____( )2_____1.414222
1.41421______ ______1.41422
…
…
用这种方法可以得出一系列越来越接近 的近似值。事实上，
=1.1414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6………
继续探索特征，学生能在对有理数的已有认知的基础上，知道确实不同于前面所学的有理数，总结的特征：无限、不循环，得到无理数的概念.
3. 归纳：我们把像 这种无限不循环小数叫做无理数
（设计意图：在教学中用亲切的语言鼓励学生猜想 的值，有利于提高学生的学习兴趣。让学生亲身体验到无理数是怎样的一个数，还让学生学会了求无理数的近似值的方法。）
4. 课内练习：课本p74课内练习2 ， 掌握用有理数逐步逼近无理数，从而求出无理数近似值的方法
小结归纳：1）举例说出无理数；
2）无理数存在的常见形式：
①圆周率∏ 及一些含有∏的数都是无理数，
②像 的数是无理数。
③有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数。
（三）、反馈调整，巩固概念
1、例：判断下列数哪些是无理数？哪些是有理数？

无理数有：
有理数有：
2. 剖析概念，扩展数集
介绍无理数的历史：讲述故事，介绍无理数的来历 。（布置学生阅读课外材料：神奇的π）
2600多年前，古希腊的毕达哥拉斯学派，非常崇拜数。认为“万物的本质都是数”，他们企图用数来解释一切。毕达哥拉斯学派有个叫希伯斯的年轻人，他对正方形的对角线问题很感兴趣。他根据勾股定理发现，正方形的对角线长和边长之比不能用整数比来表示。这一发现，动摇了毕达哥拉斯学派的哲学基础，使他们大为惊恐，他们严密封锁希伯斯的发现，并规定谁要是泄露出去，就要处以极刑。后来希伯斯还是把自己的发现传了出去，但他又十分害怕，就逃往家乡，想不到在他渡地中海时，被毕达哥拉斯学派的信徒追上，并把他投到海里，杀害了他。无理数的发现。曾在西方引起了数学危机，然而在我国，对于古代希腊认为迷惑不解的开方不尽之数，早在公元1世纪的《九章算术》与随后的《九章算术列注》中就直截了当地“以面命之”，给出了独立成数的定义与某些运算法则，从而构成了整个实数系统。在《九章算术》里还介绍笔算开平方，国外直到公元5世纪才有开平方法的介绍。

（设计意图：教师简单说明无理数的来历，培养学生勇于发现真理的科学精神，让学生感受人类（特别是我国古代）在数的发展研究中的伟大成就，从中得到启发与教育。而且介绍数学史，对揭示数学知识的来源和应用，创造一种探索与研究的气氛，激发学生对数学的兴趣等都起到重要作用）
3. 实数的概念： 有理数和无理数统称为实数

1)、和有理数一样，无理数也可以分为正无理数和负无理数，
2)、实数的分类：
正有理数 （ 有限小数、无限循环小数 ）
有理数 零 可化为分数
实数 负有理数

正无理数 （无限不循环小数）
无理数
负无理数 不能化为分数
把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用于实数。
4.练习讨论，反馈调整，巩固概念
（1）无理数的相反数、绝对值
由前面有理数的相反数、绝对值的意义，类似得到无理数的相反数、绝对值的意义.
（2） 练习：在 中
属于有理数的有：｛ ｝
属于无理数的有：｛ ｝
属于实数的有：｛ ｝
（3）同步冲刺：填空：
（1） 的相反数是__________ ；
（2） 的相反数是 ；
（3） ___________；
（4）绝对值等于 的数是 _________ 。
(5)如果a≠0，那么它的倒数为( )，它的负倒数为( ).
(6)若实数a,b互为倒数,则_____;若实数c,d互为负倒数,则_______.
（设计意图：这里利用已有的知识与经验同化和引出当前要学习的知识，使学生始终处于积极的思维，这是符合建构主义理念，也有利于本节课重点的突出，难点的突破。并
遵循教材安排，根据实际情况设计练习题以随时反馈教学效果。分析实数的分类，弄清带根号的数并不都是无理数，无理数指的是无限不循环小数，不能化为分数的数，这才是它的本质特征，明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变.）
（四）、数形结合，突破难点，深化概念
1、探索与交流：
我们已经知道每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，那么数轴上的每一个点都
表示有理数吗？（思考）
由书本图3.2可知，在数轴正方向上取OA的长等于图3.2中阴影正方形的边长，则点
A表示 ，即无理数可以在数轴上找到对应点.可见，数轴上的点对应的数，不都是
有理数.（显示数轴）
像每个有理数都可以在数轴上找到一个对应点一样，每个无理数也都可以在数轴上找到一个对应点，因此，可以说，每个实数都可以在数轴上找到一个对应点.（想一想：为什么？）反过来，数轴上的每一点也都对应一个有理数或无理数，也就是说，数轴上的每一点都对应一个实数.把这两件事合在一起，我们就说全体实数和数轴上的点一一对应.
（设计意图：利用课件显示帮助理解以上内容，数形结合，突破本课的难点：由此形象、直观展示实数除了有理数外还包括无理数，深化了实数的概念.）
总结：在实数范围内，每一个数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，我们说实数和数轴上的点一一对应。
2、例：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）：
--1.4，， 3.3， π，-，1.5
总结实数的大小比较法则：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
（1）让学生阅读题目，讨论比较大小的方法，培养学生的自学能力和探索精神，学会类比迁移.比较学生的解题思路，利用数轴比较或利用法则比较的（一般无理数需取近似值），都予以鼓励，抓住一题多解，培养学生思维的发散性和流畅性，有利于学生整体素质提高.
（2）着重讲解在数轴上如何表示无理数，利用数轴进行大小比较
根据书本图3.2 画表示的点的方法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如； 尺规可作的无理数
π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示
（设计意图：通过例题的解决，比较容易的让学习了解了实数与数轴上的点一一对应，这样的设计是突破难点的较佳途径。）
课堂小结
知识方面：
1)无理数概念：：
2）无理数存在的常见形式：
3）实数的概念：
4）实数的分类：
5）实数与数轴上的点一一对应
6）实数的大小比较法则：
（2）思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值；数形结合的数学思想
（设计意图：以问题的形式出现引导学习思考、交流、梳理所学知识，建立起符合自身认识特点的知识结构。）
布置作业:作业本 A组基础练习；B组综合运用。
附： 课后阅读：神奇的∏
设计后感：
本课设计问题情景，以问题的形式出现引导学习思考、交流、梳理所学知识，建立起符合自身认识特点的知识结构。积极引导，启发学生进行概念剖析，从谈起，让学生合作探究其特征 ，进而得到实数的概念，实现了数的范围的进一步扩展 ，尽量让学生亲身体验知识的形成过程，同时掌握分析、解决问题的思想和方法.
浙教版七年级上册3.2实数学案
教学目标：
1利用“合作学习”，让学生经历无理数的产生过程。
2了解无理数、实数的概念，了解的分类。
3知道实数与数轴上的点一一对应。
4.理解相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用于实数。
重点：无理数、实数的概念，以及实数与数轴上的点一一对应.
难点：无理数的概念比较抽象；在数轴上的表示需要比较复杂的几何作图.
（一）课前热身：
1、若正方形的边长是6，则它的面积是________
2、若正方形的面积是25，则它的边长是________
3、若正方形的面积是2，则它的边长是_________.
（二）1、合作学习：依次连结2×2方格的中点，得到一个阴影正方形，设每格的边长为一个单位长度，回答下面的问题：
1）、阴影部分面积是多少？
2）、阴影部分边长是多少？怎么表示？
3）、阴影部分边长介于哪两个相邻整数之间？
2. 合作学习：请在表中的空白处填上适当的不等号。
12____( )2______22
1_____ ______2
1.42____( )2______1.52
1.4_____ ______1.5
1.412_____( )2_____1.422
1.41_____ _____1.42
1.4142_____( )2______1.4152
1.414_____ _____1.415
1.41422_____( )2_____1.41432
1.4142_____ ______1.4143
1.414212_____( )2_____1.414222
1.41421______ ______1.41422
…
…
小结归纳：_________________________________________________________
3课内练习：课本p74课内练习2.
小结归纳： 无理数存在的常见形式：
（三）、1、例：判断下列数哪些是无理数？哪些是有理数？

无理数有：
有理数有：
2、小结：1）实数的概念：__________________________________________
2）实数的分类：
3、练习：在 中
属于有理数的有：｛ ｝
属于无理数的有：｛ ｝
属于实数的有：｛ ｝
同步冲刺：填空：
（1） 的相反数是__________ ；
（2） 的相反数是 ；
（3） ___________；
（4）绝对值等于 的数是 _________ 。
(5)如果a≠0，那么它的倒数为( )，它的负倒数为( ).
(6)若实数a,b互为倒数,则_____;若实数c,d互为负倒数,则_______.
（四）、1、探索与交流：如图:OA=OB,数轴上A点对应的数是什么?介于哪两个整数之间？
⑴尝试在数轴上找出— 对应的点；
⑵怎样得到长度为— 的线段，并画在数轴上。
总结：___________________________________________________________
_______________________________________________________________.
2、例：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）：
--1.4，， 3.3， π，-，1.5
总结实数的大小比较法则：___________________________________________
（五）梳理总结：
1)无理数概念：：
2）无理数存在的常见形式：
3）实数的概念：
4）实数的分类：
5）实数与数轴上的点一一对应
6）实数的大小比较法则：
（六）设计后感：
本课设计问题情景，以问题的形式出现引导学习思考、交流、梳理所学知识，建立起符合自身认识特点的知识结构。积极引导，启发学生进行概念剖析，从谈起，让学生合作探究其特征 ，进而得到实数的概念，实现了数的范围的进一步扩展 ，尽量让学生亲身体验知识的形成过程，同时掌握分析、解决问题的思想和方法。
课件30张PPT。《数学》(浙教版.七年级 上册 )第三章 实数（1）若正方形的边长是6，则它的面积是 36（2）若正方形的面积是25，则它的边长是5（3）若正方形的面积是2，则它的边长是知识出击合作学习依次连结2×2方格的中点，得到一个阴影正方形，设每格的边长为一个单位长度，回答下面的问题：1、阴影部分面积是多少？
2、阴影部分边长是多少？怎么表示？
3、阴影部分边长介于哪两个相邻整数之间？是不是有理数？是不是整数？是不是分数？结论： 既不是整数，也不是分数。
所以， 不是有理数。议一议12=1, ( )2=2, 22=41.412=1.9881, ( )2=2, 1.422=2.01641.41< <1.42 1.42=1.96 ( )2=2, 1.52=2.251.4< <1.51< < 2＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜我们知道， 是介于1和2之间的一个数。请在表中的空白处填上适当的不等号。合作交流用这种方法可以得到一系列越来越接近
的 近似值。 我们把这种无限不循环小数叫做无理数。①圆周率∏ 及一些含有∏的数都是无理数例如：②像 的数是无理数。想一想：凡是带有根号的数都是无理数吗？ ③有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数。例如：
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
—234.232232223…〔两个3之间依次多1个2〕0.12345678910111213 …〔小数部分有相继的正整数组成〕判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？有理数是：
无理数是：, , , ,超级演练
有一个人，是他第一个发现了除有理数外的数，却被抛进大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？
这得追溯到2600年前，有个叫毕达哥拉斯的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们以领袖毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切都是真理。 毕达哥拉斯( Pythagoras) 认为“宇宙间的一切
现象都能归结为整数或整数之比，即都可用
有理数来描述。 但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯(Hippasus) 发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大海。
他这一死，使得这类数的计算推迟了500多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失。无理数的发现。在西方引起了数学危机，然而在我国，对于古代希腊认为迷惑不解的开方不尽之数，早在公元1世纪的《九章算术》与随后的《九章算术列注》中就直截了当地“以面命之”，给出了独立成数的定义与某些运算法则，从而构成了整个实数系统。在《九章算术》里还介绍笔算开平方，国外直到公元5世纪才有开平方法的介绍。有理数和无理数统称为实数。实数有理数无理数说一说有理数和无理数统称实数。 实数有理数无理数正有理数零负有理数正无理数负无理数有限小数和
无限循环小数无限不循环小数有理数和无理数统称为实数。实数有理数正有理数负有理数零或 有理数整数分数无理数正无理数负无理数（无限不循环小数） 把数从有理数扩充到实数以后，有理数的相反数和绝对值的概念同样适用于实数。例如： 和 互为相反数
∵
∴绝对值等于 的数是　 和
知识拓展注意：
1。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
在 中，属于有理数的：
属于无理数的：
属于实数的有：填空：
（1） 的相反数是__________
（2） 的相反数是
（3） ___________
（4）绝对值等于 的数是 _________ 同步冲刺(5)如果a≠0，那么它的倒数为( )，它的负倒数为( ).(6)若实数a,b互为倒数,则_____;若实数c,d互为负倒数,则_______.议一议你能在数轴上表示 ?如果将所有的有理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗？0-1121AB 如图:OA=OB,数轴上A点对应的数是什么?介于哪两个整数之间？ 如果将所有有理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗?探索 & 交流⑴尝试在数轴上找出- 对应的点； 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。⑵怎样得到长度为 的线段，并画在数 轴上。例：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接）：由图可得： ＜1.4＜ ＜1.5＜∏＜3.3-1.4、 、3.3、∏、 、1.5在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。实数的大小比较法则:归纳总结谈一谈：你掌握了哪些知识？1)无理数概念：：
2）无理数存在的常见形式：
3）实数的概念：
4）实数的分类：
5）实数与数轴上的点一一对应
6）实数的大小比较法则： 阿基米德
（古希腊）祖冲之
(南北朝) 刘徽
（魏晋时期）至2011年底，科学家们用超级计算机已把∏
的值算到小数点后十万亿位. 布置作业作业：作业本
A组基础练习
B组综合运用