特殊三角形复习

特殊三角形
主要知识点：
等腰三角形、等边三角形及有关概念性质。
等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴
等腰三角形的两个底角相等性质及三线合一定理和运用
等腰三角形的判定定理及应用
直角三角形的性质-----两锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形性质的运用
勾股定理及逆定理的运用
复习重点：
1、等腰三角形的各部分名称，了解等腰三角形是轴对称图形
2、理解等腰三角形的性质
3、等腰三角形的判定方法
4、等边三角形的判定和性质
5、直角三角形的性质和判定
6、直角三角形全等的判定
等腰三角形性质和判定


等边三角形：

直角三角形：


例题选讲：
例1：七年级一班的张小明是体育委员，李聪是学习委员.这天，搞班级活动，全班同学在操场参加“小组争先”竞赛，张小明与李聪分别代表自己所在小组参加“浇花”项目竞赛.平时跑步比赛在班中数一数二的张小斌硬是在这个项目中输给了李聪，同学们百思不得其解，纷纷认真地研究起了这个问题.
这个项目的比赛是这样规定的：参赛队员同时从起点出发，先到河中打上半桶水，再跑到花坛将水浇在花丛中，最后跑回起点，先回到起点者胜.同学们都说张小斌选择的路线不对.张小明觉得很冤枉.他说：我往河边跑时跑的是最近的垂直路线，我比李聪先打的水，怎么可能不对？
聪明的同学，你知道李聪的取胜的路线吗？请你试着画一画.
例2：（1）下列说法正确的是（ ）
A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B.顶角相等的两个等腰三角形全等
C.等腰三角形一边不可是另一边的两倍
D.等腰三角形的两个底角相等
（2）在△ABC中，AB=AC, ∠A︰∠B=4︰7,求三角形的各个内角度数
（3）等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于（ ）
A.顶角 B.顶角的两倍 C.顶角的一半 D.底角的一半
例3：下列说法正确的有（ ）
①等角对等边；
②等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍；
③过等腰三角形一腰上的点作底边的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形；
④过等腰三角形底边上的点作一腰的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形.
A..1个 B.2个 C.3个 D.4个
例4：在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：
①，②，③，④．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：是等腰三角形．
证明：
例5：如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥BC，AC=10cm，AB=13cm，求△ADE的周长．
例6：（1）若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（ ）．
（1）这个三角形是锐角三角形； （2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）下列图形中，对称轴最多的是（ ）
A.角 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.线段
（3）若△ABC的三边关系满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不能确定
练习：
1.在等边△ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 .
2.如图，E是等边△ABC的边AC上的一点，且∠1=∠2，CD=BE,试判断△ADE的形状.
3.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，连结AN和BM分别与MC、NC交于点D、E,连结DE请说明下列结论成立的理由.
（1）AN=BM ；（2）△CDE是等边三角形.
4．如图，∠AOB=30 o，P是∠AOB内一点，且OP=4cm，C、D分别是P关于OA、OB的对称点，连结CD、PM、PN, 求（1）CD的长 （2）△PMN的周长
例7：如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB的垂直平分线交AC于点D，BD平分∠ABC.求∠A、∠ABC的度数.
例8：本节内容中有一个直角三角形的重要性质“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，下面给出了一个说明此性质正确的说理过程，你能把它补充完整吗？
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB边上的中线，
延长CD到点E，使CD=DE，连结BE，
∵CD=DE，∠ADC=∠BDE，AD=BD
∴△ ≌△
∴∠ACD=∠BED，AC=BE
∴ ∥
∴∠ACB=∠EBC=Rt∠
∵AC=BE，∠ACB=∠EBC，BC=CB
∴△ ≌△
∴AB=
∴CD=CE=AB
练习：
1.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5?m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是
2.如图，在△ABC中，AB=AC=8,AD是底边上的中线，E为AC的中点，则DE=
3.如图，在△ABC中，BE, CF分别是 AC，AB边上的高，D是BC的中点，M是EF的中点，试说明DM⊥EF的理由.

4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E.若BC=12，试求BF的长.
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，试说明：AE=AF.
例9：（1）等边三角形的边长为a，求它的高和面积．
（2）在△ABC中，三条边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n＞0）。那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由。
练习：
1.一个正三角形的边长为4，则它的面积是
2.当阳光与地面成60°角时，量得一棵树的影长为3米，则这棵树的高度为
3. 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在E处，若AB=4，BC=8，则（1）试判断折叠后重叠部分三角形的形状；（2）求重叠部分的面积.
4. 根据如图所示，利用面积法证明勾股定理.
5. 问：边长满足关系（a-b）（a2+b2-c2）=0的△ABC是什么三角形？
小明说△ABC是等腰三角形；小刚说△ABC是直角三角形；小亮说△ABC是等腰直角三角形；小慧说△ABC或是等腰三角形或是直角三角形或是等腰直角三角形。
亲爱的同学，你认为谁的说法正确，若都不正确，那么正确的应该怎样说呢？
6.如图，在四边形ABCD中，已知AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
7. 如图，以△ABC的每一边为边长，作三个等边三角形，所得的图形可分成五个三角形，其中，试判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由.
例10：已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F
求证：CE=DF.
练习：
1．如图，在Rt△BCD和Rt△CBE中，∠BDC=∠CEB=Rt∠，BE=CD，判断△ABC是不是等腰三角形，并说明理由.
2. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，E是AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD，试说明BE⊥AC的理由.
3. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点P，则点P必定也在∠BAC的平分线上，请说明理由.
4. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE，CE⊥AE，试求DE与BD，CE的数量关系，并说明理由.