三角形的认识

三角形的认识
一、知识点梳理
三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的分类.

三角形的三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
三角形的重要线段
①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心
②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心
③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)
（5）三角形具有稳定性
（6）三角形的内角和定理及性质
定理：三角形的内角和等于180°.
推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
多边形的外角和恒为360°。
全等判定：
1．两个三角形的全等是指两个图形之间的一种对应关系，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．
2．实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法得到的．
[知识要点]
一、全等三角形
1．判定和性质
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
② 全等三角形面积相等．
2．证题的思路：
尺规作图：
1．会用直尺和圆规作角平分线和线段的垂直平分线．
2．会用直尺和圆规作一个角等于已知角．
3．会用直尺和圆规作三角形：已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其一边作三角形．
【学法指导】
用圆规和直尺画三角形是尺规作图的重要基础，在日常生活和生产实际中也有较多应用，已知两边及其夹角；已知两角及其一边；已知三边能且只能作一个三角形，这里的“一个三角形”的含义是：当三角形的大小、形状完全相同时无论位置如何，都视作同一个三角形．
二、典例分析
例1 一个三角形的两边长分别为2和9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少？（三边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系）
若一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为3cm ,则它的另一边长是 。
例2如图,已知中, 的角平分线BD,CE相交于点 O,且求。
思考：若，则的度数为多少？
例3 如图，BP平分∠FBC，CP平分∠ECB，∠A=40°求∠BPC的度数。
例4：如图,AD是的中线,DE=2AE.若
例5：如图：
（1）如图（1），在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线．若∠A为x°， 则∠BOC为多少？
（2）如图（2），BO、CO为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线，若∠A为x°，则∠BOC为多少？
（3）如图（3），BO、CO为△ABC一内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，若∠A为x°，则∠BOC为多少？
例6：如图，已知，，是中点，过作直线交的延长线于，交的延长线于．
求证：．
例7： 如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所学校，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P．
【分析】 分两步：先作到A、B两点等距离的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，就是所求作的点．
【解】 作法：
（1）连结AB，作线段AB的垂直平分线DE．
（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点P．
则点P即为所求作的学校的位置（如图）．

练习：
1.（1）如图△ABC三内角平分线AD、BF、CE交于点O，则∠1+∠2等于（ ）
A．100° B．90° C．95° D．不能确定
（2）已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( )
 A.9 B.12 C.15 D.12或15
（3）如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
2.（1）能把一个任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是三角形的（ ）
A、角平分线 B、中线 C、高 D、两边中点连线
（2）如图AD是△ABC的中线，DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，AB=7cm，AC=6cm，DH=3cm，则DG的长是（ ）
A．4cm B．3cm C．cm D．无法判断
（2）
（3）如图在中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，则的值为（）
A.2cm2 B.1cm2 C.cm2 D.cm2
（4）如图∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB， 则在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．AD B．CF C．BE D．AE

3.中,AB=AC.周长为16cm.AC边上的中线BD将分成周长之差为2cm的两个三角形.求的各边长.
4.如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个诊断：①AB=AC，②∠B=∠C，③∠BAC=∠EAD，④AD=AE．请以其中三个诊断作条件，余下一个诊断作为结论（用序号的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明原因．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，试说明：AD+DE=BE．
6. 如图，△ABC两条角平分线BD、CE相交于点O，∠A=60°，求证：CD+BE=BC．
7.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则BC上的中线AD的取值范围是多少？
8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，延长ED至P，使ED=DP，连接FP与CP，试判断BE+CF与EF的大小关系．
9．如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2．∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．
10．在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明

11．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=
12．如图，已知AE平分∠BAC，BE上AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=

13．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，给出三个论断：①DE=FE；②AE=CE；③FC∥AB，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是
14．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是

15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90° ．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是( )
A．1 B.2 C．3 D．4
如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于多少？

17．考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且,求∠ABC+∠ADC的度数。