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--------关于中点的联想
第二章 特殊三角形章末复习课
浙教版八上数学
遇见中点
中线倍长法
一般三角形
三连等
三线合一
三线合一
+
三连等
直角三角形
连中线
等腰三角形
连中线
等腰直角三角形
连中线
三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线
“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，
连接相应的顶点，构造全等三角形（“SAS”）。
1.已知：AC=DE,B为CD的中点，求证：∠DEB=∠A
A
B
C
D
E
F
证明：延长EB至F,使BF=EB,连接FC
∵B为CD的中点，
∴BD=BC,
在△BED和△BFC中，
1
2
.
∴△BED ≌△BFC（SAS)
∴
∠DEF=∠F
DE=CF
∵AC=DE
∴CF=AC
∴∠F=∠A
∴∠DEF=∠A(跟第三个量相等的两个量相等)
法1.倍长中线，构造八字全等
已知：AC=DE,B为CD的中点，求证：∠DEB=∠A
A
B
C
D
E
F
证明：延长EB至F,使BF=AB,连接DF,
∵B为CD的中点，
∴BD=BC,
在△BDF和△BCA中，
1
2
.
∴△BDF ≌△BCA（SAS)
∴
∠A=∠F
DF=AC
∵AC=DE
∴DF=DE
∴∠F=∠DEB
∴∠DEB=∠A
法2.倍长中线，构造八字全等
(跟第三个量相等的两个量相等)
见中点连中线
若是Rt⊿的斜边上的中线，则得出斜边上的中线等于斜边的一半（三连等）
若是等腰⊿底边上的中线，则得出底边上的中线就是底边上的高线，也是顶角的平分线（三线合一）。
A
E
D
N
M
B
C
2.如图，BD,CE是△ABC的两条高，M,N分别是BC,DE的中点，求证：MN⊥DE
证明:连接ME,MD,
∵BD,CE是△ABC的两条高
∴∠BEC=∠BDC=Rt∠
∴△BEC和△BDC都是Rt△
∵M是BC的中点，
∴EM与DM分别是Rt△BEC和Rt△BDC公共斜边BC 边上的中线
∴EM= BC, DM= BC
∴EM=DM
∵N是DE的中点
∴MN⊥DE
（等腰三角形三线合一）
直角三角形中的辅助线
斜边上的中线
3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，若D为BC的中点， DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，证明：DE=DF.
证明：连结AD
∵AB=AC，D为BC的中点
∴AD是∠BAC的平分线
（等腰三角形三线合一）
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等。)
等腰三角形三线合一
┒
┓
A
B
C
D
E
F
见中点，连中线------
4. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90０，D、E、F分别是BC、AB、AC
的中点，猜想∠EDF的度数，并说明理由．
见中点，连中线
等腰直角三角形
三线合一 + 三连等
∠EDA=450
∠FDA=450
∠EDF=900
思路：
等腰直角三角形
等腰三角形
三线合一
直角三角形
三连等
总结：
┓
5.已知，等边△ABC，D是AC的中点，点 E 在BC的延长线上，且CE =CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点。
思路：
等边△ABC
见中点，连中线
三线合一
∠1=300
2
⌒
1
⌒
3
⌒
∠3=600
条件：CE=CD
∠2=300
BD=DE
条件：DM⊥BC
BM=EM
等腰三角形顶角的外角=2×底角
等腰三角形底角= ×顶角的外角
M
D
E
A
B
C
6.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上， 且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰直角三角形.
证明：连结CM
∵∠ACB=90°，BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
∴CM平分∠BCA
（等腰三角形底边上的中线也是顶角的平分线）
∴∠MCE=∠MCB=45°
∴∠B=∠MCE=∠MCB
∴CM=MB（等角对等边）
在△BDM和△CEM中
.
∴△BDM≌△CEM（SAS）
∴ MD=ME, ∠BMD=∠CME ，∴∠EMD=∠CME+∠CMD=∠BMD+∠CMD=∠CMB=Rt∠
∴△MDE是等腰直角三角形
见中点，连中线----------------三连等
直角三角形
7.在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝900， D、E、F分别是BC、AB、AC的中点， 保持∠EDF为900，以点Ｄ为中心顺时针旋转一定的角度（小于450），猜想ＤＥ与ＤＦ的大小关系，并说明理由。
D
A
B
C
E
F
全等藏其中
思路：
△ADE ≌△CDF (ASA)
关于中点的联想-------见中点，连中线
遇见中点
中线倍长法
一般三角形
三连等
直角三角形
等腰三角形
三线合一
等腰直角三角形
三线合一
+
三连等
归纳总结：
构造全等三角形关于中点的联想------见中点，连中线+倍长中线法
1.已知：AC=DE, B为CD的中点，求证：∠DEB=∠A
如图，BD,CE是△ABC的两条高，M,N分别是BC,DE的中点，
求证：MN⊥DE
3.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，若D为BC的中点， DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，证明：DE=DF.
4. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90０，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，猜想∠EDF的度数，并说明理由．
5.已知，等边△ABC，D是AC的中点，点 E 在BC的延长线上，且CE =CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点。
6.如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上， 且BD=CE，M是AB的 中点. 求证：△MDE是等腰直角三角形.
7.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900， D、E、F分别是BC、AB、AC的中点， 保持∠EDF为900，以点Ｄ为中心顺时针旋转一定的角度（小于450），猜想ＤＥ与ＤＦ的大小关系，并说明理由。
