不等式的基本性质
一、选择题（共20小题）
1、有理数a、b、c、在数轴上的对应点如图所示，下面的关系中正确的是（ ）
A、ac＞bc B、ab＜a+c
C、2a+3b+c＞0 D、2a+3b+c＜0
2、如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（ ）
A、b﹣a＞0 B、a﹣b＞0
C、ab＞0 D、a+b＞0
3、a、b两数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的有（ ）个．
①ab＞0 ②a+b＞0 ③a﹣b＞0 ④a2﹣b2＞0 ⑤|b﹣1|=1﹣b．
A、2 B、3
C、4 D、5
4、如果a＜0，|a|＞6，则下列各式正确的是（ ）
A、a+6＞0 B、a+6＜0
C、6﹣a＜0 D、a﹣6＞0
5、若a，b是有理数，那么下列结论一定正确的是（ ）
A、若a＜b，则|a|＜|b| B、若a＞b，则|a|＞|b|
C、若a=b，则|a|=|b| D、若a≠b，则|a|≠|b|
6、如果x是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（ ）
A、2008x B、2008+x
C、|x| D、|x|+2008
7、若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是（ ）
A、a，﹣1，1，﹣a B、﹣a，﹣1，1，a
C、﹣1，﹣a，a，1 D、﹣1，a，1，﹣a
8、，，，这四个数由小到大的排列顺序是（ ）
A、＜＜＜ B、＜＜＜
C、＜＜＜ D、＜＜＜
9、已知0＜m＜1，则m、m2、（ ）
A、m2＞m＞ B、m2＞＞m
C、＞m＞m2 D、＞m2＞m
10、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则下列关系中成立的是（ ）
A、c＞a﹣b B、c＞a+b
C、ab＞c D、ac＞bc
11、有四个实数，如果任意三个实数的和都不比另一个数小，那么下列说法中一定错误的是（ ）
A、非零的数不可能只有一个 B、四个数都可以是正数
C、有两个负数 D、如果有零就没有负数
12、在如图的数轴上，标出了有理数a、b、c的位置，则（ ）
A、a﹣c＜b﹣a＜b﹣c B、a﹣b＜b﹣c＜a﹣c
C、b﹣c＜a﹣c＜a﹣b D、a﹣c＜b﹣c＜b﹣a
13、下列各数中没有平方根的数是（ ）
A、﹣（﹣2）3 B、3﹣3
C、a0 D、﹣（a2+1）
14、实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ）
①a+c＞0；②a+b＞a+c；③bc＜ac；④ab＞ac．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
15、已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A、a﹣c＞0 B、abc＜0
C、＜0 D、|a|＞||
16、已知实数a、b满足a＜b，则下列式子中正确的是（ ）
A、＜ B、b﹣a＞0
C、a2＜b2 D、a4＜b4
17、下列四个结论中，正确的是（ ）
A、﹣2＜﹣＜﹣3 B、﹣＜﹣3＜﹣2
C、﹣3＜﹣2＜﹣ D、﹣3＜﹣＜﹣2
18、与最接近的两个整数是（ ）
A、1和2 B、2和3
C、3和4 D、4和5
19、估算的值是在（ ）
A、4和5之间 B、5和6之间
C、6和7之间 D、7和8之间
20、下列说法正确的是（ ）
A、若a2＞b2，那么a＞b B、3a2+2a3=5a5
C、=﹣1与5x=x﹣1是同解方程 D、无论a为何值，代数式≤1
二、填空题（共5小题）
21、a、b、c在数轴上的位置如图所示．则在中，最大的是 _________ ．
22、（1） _________ 的绝对值是它的相反数；（2）若a＜0，则a _________ 2a．
23、已知实数x满足||x|﹣4|＞1，则x的取值范围是 _________ ．
24、若a＜0，且ab＜0，化简|b﹣a+4|﹣|a﹣b﹣7|= _________ ．
25、若有理数a、b满足：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b _________ 0；b﹣a _________ 0（填“＞”或“=”或“＜”）
三、解答题（共5小题）
26、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
（1）|a+b|=|a|+|b|；
（2）|ab|=|a||b|；
（3）|a﹣b|=|b﹣a|；
（4）若|a|=b，则a=b；
（5）若|a|＜|b|，则a＜b；
（6）若a＞b，则|a|＞|b|．
27、已知a，b，c，d是四个不同的数，且a＞b，a+b=c+d，c+a＜d+b，那么四个数中最大的数是 _________ ．
28、阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜＜2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分﹣1，根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）的整数部分是 _________ ，小数部分是 _________ ；
（2）1+的整数部分是 _________ ，小数部分是 _________ ；
（3）若设2+整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值．
29、王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只的价格把羊全部卖掉了．若a＜b，那么王老伯是赚钱了还是赔钱了？为什么？
30、在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：
22×23=25，23×24=27，22×26=28，…?2m×2n=2m+n，…?am×an=am+n（m、n都是正整数）．我们亦知：，，，，…
（1）请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式；
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=a，CA=b，AD=BE=c（a＞b），能否根据这个图形提炼出与（1）中相同的关系式并给予证明．
不等式的基本性质
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、有理数a、b、c、在数轴上的对应点如图所示，下面的关系中正确的是（ ）
A、ac＞bc B、ab＜a+c
C、2a+3b+c＞0 D、2a+3b+c＜0
考点：数轴；不等式的性质。
专题：计算题；数形结合。
分析：先根据数轴图示确定a、b、c的取值范围，然后再由不等式的性质分别对A、B、C、D中的不等式做出判断．
解答：解：根据图示知：
﹣3＜a＜﹣2 ①
﹣2＜b＜﹣1 ②
0＜c＜1 ③
A、由①②③知，﹣3＜ac＜﹣2，﹣2＜bc＜﹣1，所以ac＜bc，故A错误；
B、由①②③知，2＜ab＜6，﹣3＜a+c＜﹣1，所以ab＞a+c，故B错误；
C、由①③知，﹣6＜2a＜﹣4，﹣6＜3b＜﹣3，所以﹣12＜2a+3b+c＜﹣6＜0，故C错误；
D、由①③知，﹣6＜2a＜﹣4，﹣6＜3b＜﹣3，所以﹣12＜2a+3b+c＜﹣6＜0，故D正确；
故选D．
点评：解答本题时，主要涉及到了数轴的基本知识与不等式的基本性质两个知识点．
2、如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（ ）
A、b﹣a＞0 B、a﹣b＞0
C、ab＞0 D、a+b＞0
3、a、b两数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的有（ ）个．
①ab＞0 ②a+b＞0 ③a﹣b＞0 ④a2﹣b2＞0 ⑤|b﹣1|=1﹣b．
A、2 B、3
C、4 D、5
考点：数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的减法；有理数的乘法；不等式的性质。
专题：常规题型。
分析：先根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后对各小题分析判断后利用排除法求解．
解答：解：根据图形可得a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
①ab＜0，故本小题错误；
②a+b＜0，故本小题错误；
③a﹣b=a+（﹣b）＞0，正确；
④a2﹣b2＜0，故本小题错误；
⑤|b﹣1|=1﹣b，正确，
所以正确的有③⑤共2个．
故选A．
点评：本题考查了数轴的知识，根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．
4、如果a＜0，|a|＞6，则下列各式正确的是（ ）
A、a+6＞0 B、a+6＜0
C、6﹣a＜0 D、a﹣6＞0
考点：绝对值；不等式的性质。
分析：利用数轴，根据绝对值的意义，由|a|＞6，得到a的取值范围，再结合a＜0，进一步求得a的取值范围．
然后根据a的取值范围进行分析判断下列式子的正误．
解答：解：∵|a|＞6，∴a＞6或a＜﹣6．又a＜0，
∴a＜﹣6．∴a+6＜0．
故选B．
点评：能够数形结合求得绝对值不等式中的字母的取值范围．
5、若a，b是有理数，那么下列结论一定正确的是（ ）
A、若a＜b，则|a|＜|b| B、若a＞b，则|a|＞|b|
C、若a=b，则|a|=|b| D、若a≠b，则|a|≠|b|
6、如果x是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（ ）
A、2008x B、2008+x
C、|x| D、|x|+2008
考点：非负数的性质：绝对值；不等式的性质。
专题：计算题；推理填空题。
分析：由于x可取任意有理数，通过举反例，排除错误选项，从而得出正确结果．
解答：解：A、当x＜0，如x=﹣1时，2008x＜0，故选项错误；
B、当x＜﹣2008，如x=﹣2009时，2008+x＜0，故选项错误；
C、当x=0时，|x|=0，而0不大于0，故选项错误；
D、∵|x|≥0，∴|x|+2008＞0，故选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查了绝对值与不等式的性质，比较简单．用到的知识点：
绝对值的性质：任意一个数的绝对值都是非负数．
不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
7、若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是（ ）
A、a，﹣1，1，﹣a B、﹣a，﹣1，1，a
C、﹣1，﹣a，a，1 D、﹣1，a，1，﹣a
8、，，，这四个数由小到大的排列顺序是（ ）
A、＜＜＜ B、＜＜＜
C、＜＜＜ D、＜＜＜
考点：有理数大小比较；不等式的性质。
分析：观察这四个分数的分子与分母可发现，这四个分数可以化为同分子的分数，然后根据同分子的正分数，分母大的分数比较小来比较它们的大小即可．
解答：解：∵=﹣=﹣1+
=
=
=
又∵（同分子的正分数，分母大的分数比较小）
∴，即＜＜＜；
故选B．
点评：解答本题时是借助不等式的性质（不等式的两边同时加上同一个数，不等式的符号方向不变）来比较有理数的大小的．
9、已知0＜m＜1，则m、m2、（ ）
A、m2＞m＞ B、m2＞＞m
C、＞m＞m2 D、＞m2＞m
考点：有理数大小比较；不等式的性质。
分析：m2、的取值范围可以根据不等式的基本性质取得．
解答：解：∵0＜m＜1，
∴0＜m?m＜1×m，即0＜m2＜m（不等式的两边都乘以同一个正数，所得的不等式仍然成立）①
0＜，即0（不等式的两边都除以同一个正数，所得的不等式仍然成立） ②
由①②知＞m＞m2；
故选C．
点评：解答本题时，借助于不等式的性质（不等式的两边都乘（除）以同一个正数，所得的不等式仍然成立）．
10、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则下列关系中成立的是（ ）
A、c＞a﹣b B、c＞a+b
C、ab＞c D、ac＞bc
11、有四个实数，如果任意三个实数的和都不比另一个数小，那么下列说法中一定错误的是（ ）
A、非零的数不可能只有一个 B、四个数都可以是正数
C、有两个负数 D、如果有零就没有负数
考点：有理数的加法；不等式的性质。
专题：综合题。
分析：可设四个数为：a，b，c，d，根据题意可得a+b+c＞d①；a+b+d＞c②；a+c+d＞b③；b+c+d＞a④．根据不等式的性质可得：a+b＞0，a+d＞0，a+c＞0，b+c＞0，b+d＞0，且c+d＞0．再根据有理数的加法法则即可作出判断．
解答：解：设四个数为：a，b，c，d，依题意有：
a+b+c＞d①
a+b+d＞c②
a+c+d＞b③
b+c+d＞a④
由①+②可得：a+b＞0，同理a+d＞0，a+c＞0，b+c＞0，b+d＞0，且c+d＞0．
所以任意两数之和均为正，即C错误．
故选C．
点评：本题综合考查了不等式的性质和有理数的加法．
不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
12、在如图的数轴上，标出了有理数a、b、c的位置，则（ ）
A、a﹣c＜b﹣a＜b﹣c B、a﹣b＜b﹣c＜a﹣c
C、b﹣c＜a﹣c＜a﹣b D、a﹣c＜b﹣c＜b﹣a
考点：有理数的减法；数轴；不等式的性质。
专题：综合题；图表型。
分析：观察数轴可知a＜b，根据不等式的基本性质可得a﹣c＜b﹣c；c＞a，不等式的基本性质可得b﹣c＜b﹣a．
从而得出正确选项．
解答：解：由图可知，a＜b，所以a﹣c＜b﹣c；
又知c＞a，所以c﹣b＞a﹣b，
不等式两边都乘以﹣1，则有b﹣c＜b﹣a．
综上所述，有a﹣c＜b﹣c＜b﹣a．
故选D．
点评：本题结合数轴考查了不等式的基本性质．
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13、下列各数中没有平方根的数是（ ）
A、﹣（﹣2）3 B、3﹣3
C、a0 D、﹣（a2+1）
定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
14、实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ）
①a+c＞0；②a+b＞a+c；③bc＜ac；④ab＞ac．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：实数与数轴；不等式的性质。
分析：根据图示，可得a、b、c的大小关系，然后利用实数的运算法则结合题意，依次分析选项中的四个式子可得答案．
解答：解：根据题意，可得：﹣2＜c＜﹣1，1＜b＜2＜a＜3，
依次分析四个式子可得：
①∵﹣2＜c＜﹣1，又有2＜a＜3，∴a+c＞0，故说法①正确；
②∵b＞c，故a+b＞a+c，故说法②正确；
③∵（b﹣a）＜0，且c＜0，则（b﹣a）?c=bc﹣ac＞0，故bc＞ac，故说法③错误；
④∵ab＞0，而ac＜0，故ab＞ac，故说法④正确；
故有3个选项正确．
故选C．
点评：本题考查了实数与数轴的对应关系与不等式的有关运算性质．
15、已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A、a﹣c＞0 B、abc＜0
16、已知实数a、b满足a＜b，则下列式子中正确的是（ ）
A、＜ B、b﹣a＞0
C、a2＜b2 D、a4＜b4
考点：实数大小比较；不等式的性质。
专题：计算题。
分析：根据实数大小的比较法则，采用特殊值的方法，对每个选项分别判断，比较即可．
解答：解：∵实数a、b满足a＜b，
A、当a、b为负数时，、无意义；故本项错误；
B、b﹣a＞0；故本项正确；
C、当a=﹣1，b=0时，a2=1，b2=0；故本项错误；
D、当a=﹣1，b=0时，a4=1，b4=0；故本项错误．
故选B．
点评：本题考查了实数大小比较和不等式的性质，关键要掌握实数大小比较的法则和不等式的性质，根据题意，采用特殊值法，可事半功倍．
17、下列四个结论中，正确的是（ ）
A、﹣2＜﹣＜﹣3 B、﹣＜﹣3＜﹣2
C、﹣3＜﹣2＜﹣ D、﹣3＜﹣＜﹣2
考点：实数大小比较；不等式的性质。
专题：计算题。
分析：根据2＜＜3和不等式的性质推出即可．
解答：解：∵2＜＜3，
∴﹣2＞﹣＞﹣3，
故选D．
点评：本题考查了无理数的大小比较和不等式的性质，关键是确定的范围和运用不等式的性质．
18、与最接近的两个整数是（ ）
A、1和2 B、2和3
C、3和4 D、4和5
考点：估算无理数的大小；不等式的性质。
专题：推理填空题。
分析：求出的大小，根据不等式的性质求出4＜+1＜5，即可得出答案．
解答：解：＜＜，
3＜＜4，
∴1+3＜+1＜4+1，
即4＜+1＜5，
∴与最接近的两个整数是4和5，
故选D．
点评：本题考查了不等式的性质和无理数的大小的应用，关键是确定的大小．
19、估算的值是在（ ）
A、4和5之间 B、5和6之间
C、6和7之间 D、7和8之间
20、下列说法正确的是（ ）
A、若a2＞b2，那么a＞b B、3a2+2a3=5a5
C、=﹣1与5x=x﹣1是同解方程 D、无论a为何值，代数式≤1
考点：代数式求值；合并同类项；一元一次方程的解；不等式的性质。
分析：根据不等式的基本性质、合并同类项、一元一次方程的解、代数式求值的相关知识进行解答．
解答：解：A、当a、b均为负数时，原式不成立，故错误；
B、3a2和2a3不是同类项，不能合并，故错误；
C、=﹣1可化为5x=x﹣6，与5x=x﹣1不是同解方程，故错误；
D、∵a2+1≥1，∴≤1，故正确．
故选D．
点评：此题主要考查了不等式的基本性质、合并同类项、一元一次方程的解、代数式求值等知识，需注意的是在合并同类项时，不是同类项的不能合并；在解不等式的过程中，不等式左右两边都乘以或除以同一个负数时，不等式的符号要改变．
二、填空题（共5小题）
21、a、b、c在数轴上的位置如图所示．则在中，最大的是 ．
考点：数轴；实数大小比较；不等式的性质。
专题：常规题型。
分析：由题意可知，0＞c＞b＞a．于是a﹣b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0．从而可判断得出答案．
解答：解：由图可见，0＞c＞b＞a．于是a﹣b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0．
因此＜0，＞0，＜0，
∴在中，最大的是．
故答案为：．
点评：本题考查了数轴，实数大小比较，不等式的性质的知识，属于基础题，先根据所给图形找出0＞c＞b＞a是关键．
22、（1） 0和负数 的绝对值是它的相反数；（2）若a＜0，则a ＞ 2a．
23、已知实数x满足||x|﹣4|＞1，则x的取值范围是 x＞5或x＜﹣5或﹣3＜x＜3 ．
考点：绝对值；不等式的性质。
专题：计算题。
分析：||x|﹣4|＞1说明|x|﹣4有两种情况：大于1或者小于﹣1，然后分别进行解题，根据不等式的性质得到最后的结果．
解答：解：∵||x|﹣4|＞1，
∴|x|﹣4＞1或|x|﹣4＜﹣1，
即|x|＞5或|x|＜3．
∴x＞5或x＜﹣5或﹣3＜x＜3．
故答案为：x＞5或x＜﹣5或﹣3＜x＜3．
点评：本题考查了绝对值和不等式的性质综合运用，必须记得：||x|﹣4|＞1说明|x|﹣4有两种情况：大于1或者小于﹣1．
24、若a＜0，且ab＜0，化简|b﹣a+4|﹣|a﹣b﹣7|= ﹣3 ．
考点：绝对值；不等式的性质。
专题：计算题。
分析：由＜0，且ab＜0，从而得出b＞0，再把|b﹣a+4|﹣|a﹣b﹣7|去绝对值即可．
解答：解：∵a＜0，且ab＜0，
∴b＞0，
|b﹣a+4|﹣|a﹣b﹣7|=b+（﹣a）+4﹣（﹣a+b+7）=b﹣a+4+a﹣b﹣7=﹣3，
故答案为﹣3．
点评：本题考查了绝对值以及不等式的性质，解题的关键是判断出b的取值，再把原式化简，此题难度不大，但计算时要细心才行．
25、若有理数a、b满足：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b ＜ 0；b﹣a ＜ 0（填“＞”或“=”或“＜”）
考点：绝对值；有理数；不等式的性质。
分析：根据绝对值的性质和已知条件，先去掉绝对值，然后再判断a+b与0的关系，从而求解．
解答：解：∵a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
∴a＜﹣b，
∴a+b＜0，
∵﹣a＜0，
∴b﹣a＜0，
故答案为：＜；＜．
点评：此题主要考查绝对值的性质，当a＞0时，|a|=a；当a≤0时，|a|=﹣a，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．
三、解答题（共5小题）
26、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
（1）|a+b|=|a|+|b|；
（2）|ab|=|a||b|；
（3）|a﹣b|=|b﹣a|；
（4）若|a|=b，则a=b；
（5）若|a|＜|b|，则a＜b；
（6）若a＞b，则|a|＞|b|．
．
27、已知a，b，c，d是四个不同的数，且a＞b，a+b=c+d，c+a＜d+b，那么四个数中最大的数是 d ．
考点：有理数大小比较；不等式的性质。
分析：先根据不等式的性质及已知条件a＞b，c+a＜d+b，得出c＜d，故要求a，b，c，d四个不同的数中最大的数，只需比较d与a的大小即可．为此，将不等式c+a＜d+b变形为a﹣d＜b﹣c，并把a﹣d=c﹣b代入，得出c＜b，即b﹣c＞0，从而得出d＞a．
解答：解：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，
又∵c+a＜d+b，
∴c+a﹣a＜d+b﹣b，即c＜d．
∵c+a＜d+b，∴a﹣d＜b﹣c，
由a+b=c+d，得a﹣d=c﹣b，代入上式，
∴c﹣b＜b﹣c，
∴c＜b，
∴b﹣c＞0．
∵a+b=c+d，
∴d=a+b﹣c＞a，
∴c＜b＜a＜d．
故四个数中最大的数是d．
故答案为d．
点评：本题主要考查了不等式的性质，有理数的大小比较及式子的变形，有一定难度．
28、阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜＜2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分﹣1，根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）的整数部分是 2 ，小数部分是 ﹣2 ；
（2）1+的整数部分是 2 ，小数部分是 ﹣1 ；
（3）若设2+整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值．
29、王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只的价格把羊全部卖掉了．若a＜b，那么王老伯是赚钱了还是赔钱了？为什么？
考点：列代数式；不等式的性质。
专题：经济问题。
分析：分别求得8只羊的总进价以及总售价，利用不等式的性质比较即可．
解答：解：王老伯赚钱了．（2分）
王老伯买羊共付出（5a+3b）元，而卖羊共收入×8=（4a+4b）元，（4分）
∵a＜b，
∴a+（4a+3b）＜b+（4a+3b）
∴5a+3b＜4a+4b，即王老伯赚钱了．（4分）
点评：计算盈亏应比较总进价和总售价，得到8只羊的总进价和总售价是解决本题的关键；用到的知识点为：在不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变．
30、在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：
22×23=25，23×24=27，22×26=28，…?2m×2n=2m+n，…?am×an=am+n（m、n都是正整数）．我们亦知：，，，，…
（1）请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式；
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=a，CA=b，AD=BE=c（a＞b），能否根据这个图形提炼出与（1）中相同的关系式并给予证明．
考点：规律型：数字的变化类；不等式的性质。
专题：压轴题。
分析：（1）根据已知不等式可找出规律，因为3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0，＜；＜…故a＞b＞0，c＞0，则＜；
（2）因为＜，说明原来糖水中糖的质量分数小于加入k克糖后糖水中糖的
质量分数，所以糖水更甜了．
（3）利用三角函数值的定义，相似三角形的相似比及三角形的中位线定理，列出不等式，再利用三角函数值的定义找出a，b，c的关系式．
解答：解：（1）a，b，c的数学关系式是＜；
（2）因为＜，说明原来糖水中糖的质量分数小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数，所以糖水更甜了．
（3）证法一：
在Rt△ABC和Rt△DEC中，tan∠ABC=，tan∠DEC=．
过A点作AF∥CE，交ED于F点，则△DAF∽△DCE．
∴=
∵DC=DA+AC＜EB+BC=EC，
