第2章 特殊三角形单元测试卷（含详解）

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第2章《特殊三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，4
2．下列图标中轴对称图形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，等腰三角形ABC中，AB边上高的长是（　　）
A．3cm B．4cm C．cm D．5cm
4．△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，则一个底角等于（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（　　）
A．36° B．60° C．72° D．80°
6．已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．50° C．70° D．90°
7．用反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，应假设（　　）
A．a＞3 B．a≥3 C．a2≥9 D．a2＞9
8．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两个锐角对应相等
B．两条直角边对应相等
C．一个锐角和斜边对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝16．则S3＝（　　）
A．20 B．12 C．2 D．2
10．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（　　）°（点A，B，P是网格交点）．
A．30 B．45 C．60 D．75
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，则∠B＝　 　度．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝　 　．
14．如图，已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为　 　．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°；若c+b＝18，c﹣b＝2，则a＝　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．
18．（6分）用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
19．（7分）等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，7，求等腰三角形的周长．
20．（7分）如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，求∠A的度数．
21．（9分）计算：△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，请在坐标系中标出点P的位置．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．
（1）求∠BPC的度数；
（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
24．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵3+4＞5，
∴能组成三角形，但不是等腰三角形，故此选项不符合题意；
C、∵2+2＞3，
∴能组成三角形，且是等腰三角形，故此选项符合题意；
D、∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．【解答】解：图①是轴对称图形，图②是轴对称图形；图③是轴对称图形；图④不是轴对称图形，
轴对称图形共3个，
故选：B．
3．【解答】解：如图：
∵CA＝CB，AB＝6cm，CD是AB边上高的长，
∴AD＝AB＝3（cm），
∴AD＝＝＝4（cm）．
故选：B．
4．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，
∴一个底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°．
故选：A．
5．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°，
∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝72°．
故选：C．
6．【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，
∵∠C为直角，
∴∠A+∠B＝90°，
∴x+2x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠A＝30°，
故选：A．
7．【解答】解：反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，
应假设a2≥9，
故选：C．
8．【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意．
故选：A．
9．【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
即4+16＝20＝AB2，
∴S3＝20，
故选：A．
10．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，
则∠B＝90°﹣38°＝52°，
故答案为：52．
12．【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
13．【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝100°，
∴∠B＝∠C＝50°，
故答案为：50°．
14．【解答】解：∵CD是△ABC的边AB上的高，
∴△ADC，△BDC是直角三角形，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝，
∵AB＝2AC，
∴AB＝4，
BD＝AB+AD＝4+1＝5，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC＝．
故答案为：2．
15．【解答】解：∵c+b＝18，c﹣b＝2，
∴c＝10，b＝8，
由勾股定理得，a＝＝＝6，
故答案为：6．
16．【解答】解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，AM＝BM，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC与△ACD为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∵AB＝AD，AC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠1＝∠2．
18．【解答】证明：假设△ABC的三个外角中至少有两个直角，
则△ABC的三个内角中至少有两个直角，不妨设∠B＝∠C＝90°，
所以∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
19．【解答】解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，7，
∴4x﹣3＝7，
∴x＝2.5，
∴3x﹣2＝5.5，
∴等腰三角形的周长＝7+7+5.5＝19.5；
②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，7，
∴3x﹣2＝7，
∴x＝3，
∴4x﹣3＝9，
∴等腰三角形的周长＝7+7+9＝23；
③当7是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3，
∴3x﹣2＝4x﹣3，
∴x＝1，
∴3x﹣2＝1，4x﹣3＝1，
∵1+1＜7，
∴不能构成三角形．
则三角形的周长为19.5或23．
20．【解答】解：设∠A＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝，
∵AE＝ED，
∴∠A＝∠ADE＝x，
∴∠BED＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝，
∵∠A+∠EBD＝∠BDC，
∴，
解得：x＝，
即∠A＝．
21．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，A1（﹣2，4），B1（﹣1，1），C1（﹣3，﹣1）；
（2）如图，点P即为所求．
22．【解答】（1）解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，，
∴∠CBE+∠BCF＝∠ABC+ACB＝＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，
在△FBP和△QBP中，
，
∴△FBP≌△QBP（SAS），
∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，
∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP+∠AEP＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
∴∠BFP+∠CEP＝180°，
∵∠CQP+∠BQP＝180°，
∴∠CEP＝∠CQP，
在△CQP和△CEP中，
，
∴△CQP≌△CEP（AAS），
∴EF＝QP，
∵FP＝EP，
∴△EFP是等腰三角形．
23．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC＝，
当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
∴62+（8﹣t）2＝t2，
解得t＝；
当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；
当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；
∴t＝2×8＝16，
综上，t的值为或10或16．
24．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．