2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》同步自主提升训练（含答案）

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》同步自主提升训练题（附答案）
一．选择题
1．把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（　　）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC的面积为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
3．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O的半径为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
4．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．5
二．填空题
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 　 　．
6．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在圆G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　 　．
7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosB＝，BC＝3，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过程中，当PE∥CF时，则AP的长为　 　．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为　 　．
三．解答题
9．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC＝BD．
10．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．
11．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝20cm，水深GF＝2cm．若水面上升2cm（EG＝2cm），则此时水面宽AB为多少？
12．如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，高度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．
13．如图，⊙O的半径OB＝5cm，AB是⊙O的弦，点C是AB延长线上一点，且∠OCA＝30°，OC＝8cm，求AB的长．
14．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
15．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．
（1）求线段OD的长；
（2）当EO＝BE时，求DE的长．
16．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．
17．已知：圆O的半径长为5，弦AB与弦CD平行，AB＝6，CD＝8．求弦AB与弦CD之间的距离．
18．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？
19．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH＝5，CD＝，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）求圆O的半径；
（2）如果AE＝6，求EF的长．
20．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE＝2．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
21．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
22．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3．
（1）求⊙O的半径；
（2）若点P是AB上的一动点，试求线段OP的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：
则NF＝EN＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，
故选：C．
2．解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝，∠AEC＝90°，
∵AC＝CD，
∴CE＝，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠COE＝60°，
∴CE＝，
∴S△AOC＝
＝
＝．故选：C．
3．解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，
∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°
又∵OC＝OD，
∴∠ODP＝∠OCP，
∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODN＝45°+∠ODC，
∴∠NDO＝∠COM，
在Rt△ODN与Rt△COM中，
，
∴Rt△ODN≌Rt△COM，
∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN
又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2
∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2
∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8
∴OC2＝4，
∴OC＝2，
故选：B．
4．解：连接OB、AB，
∵BD⊥AO，BD＝8，
∴BE＝ED＝BD＝4，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
∵CO＝OA，OF＝，
∴AB＝2OF＝2，
由勾股定理得：AE＝＝2，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，
即OA2＝（OA﹣2）2+42，
解得：OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．
故选：A．
二．填空题
5．解：过O作OM⊥直线AB与M，直线AB交y轴于C，
y＝，
当x＝0时，y＝，
当y＝0时，x+＝0，解得：x＝﹣3，
所以OC＝，OA＝3，
∴∠CAO＝30°，
∵OM⊥AC，
∴∠OMA＝90°，
∴OM＝OA＝，
由勾股定理得：AM＝＝＝，
∵OM⊥AB，OM过圆心O，
∴AM＝BM＝，
∴AB＝AM+BM＝+＝3，
故答案为：3．
6．解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，AG＝2，OG＝1，
∴AG＝2OG，OA＝＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．
故答案为：﹣1．
7．解：如图，连接CF，过点P作PG⊥AC于G，设PA＝x．
在Rt∠ACB中，∵ACB＝90°，BC＝3，＝，
∴AB＝5，AC＝＝＝4，
∵PG⊥AD，
∴AG＝DG＝x，
∴AD＝x，CD＝4﹣x，
∵∠ABC+∠A＝90°，∠PEC+∠CDE＝90°，
∵∠A＝∠PDA，
∴∠ABC＝∠PEC，
∵∠ABC＝∠EBP，
∴∠PEC＝∠EBP，
∴PB＝PE，
∵点Q为线段BE的中点，
∴PQ⊥BC，
∴PQ∥AC
∴当PE∥CF时，四边形PDCF是平行四边形，
∴PF＝CD，
当点P在边AB的上时，x＝4﹣x，x＝，
当点P在边AB的延长线上时，x＝x﹣4，x＝，
综上所述，当PE∥CF时，AP的长为或．
8．解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝，
∴AD＝2AE＝，
故答案为．
三．解答题
9．证明：过点O作OE⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AE＝BE，
又∵在⊙O中，
∴CE＝DE，
∴AC＝BD
10．解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，
∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，
在Rt△OEM中，∵OE＝4，
∴，，
∵，
∴，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD＝2DM，
∴，
∵，
∴在Rt△DOM中，，
∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．
11．解：连接OA、OC，
∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD＝20cm，
∴CG＝CD＝10cm，
在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2＝CG2+OG2，
OC2＝102+（OC﹣2）2，
解得：OC＝26（cm），
则OE＝26cm﹣2cm﹣2cm＝22cm，
∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
∴262＝222+AE2，
∴AE＝8，
∵OE⊥AB，OE过圆心O，
∴AB＝2AE＝16cm．
12．解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，
在Rt△AOD中，r2＝202+（r﹣10）2，
解得r＝25，
∴OD＝r﹣10＝15，
在Rt△OEG中，r2＝152+OG2，
解得OG＝20，
∴可以通过的船的高度为GD＝OG﹣OD＝20﹣15＝5，
∵6＞5，
∴船不能通过．
13．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵在Rt△ODC中，∠OCA＝30°，OC＝8cm，
∴OD＝OC＝4cm，
∵在Rt△OAD中，OA＝5cm，
∴AD＝＝3，
∴AB＝2AD＝6．
14．解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC＝AB＝0.3，
在Rt△OBC中，OC＝＝0.4
CD＝0.5﹣0.4＝0.1，
此时的水深为0.1米；
（2）当水位上升到圆心以下时 水面宽0.8 米
则OC＝＝0.3，
水面上升的高度为：0.3﹣0.2＝0.1米；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3＝0.7米，
综上可得，水面上升的高度为 0.1米或 0.7米．
15．解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD＝BC，
在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2．
∵BO＝AO＝8，BD＝6．
∴OD＝2；
（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2．
设BE＝x，则OE＝x，DE＝6﹣x．
（2）2+（6﹣x）2＝（x）2，
解得x1＝﹣16（舍），x2＝4．
则DE＝2．
16．解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，
∴AB＝6，
∴OE＝2，
在Rt△OPE中，OP＝OE sin∠DEB＝，
∴PD＝＝，
∴CD＝2PD＝2（cm）．
17．解：分两种情况：
（i）当两条弦在圆心O异侧时，如图1所示：
过O作OE⊥AB，交CD于F点，
连接OB，OD，可得出OB＝OD＝5，
∵AB∥CD，∴EF⊥CD，
∴E为AB中点，F为CD中点，
又∵AB＝6，CD＝8，
∴EB＝3，FD＝4，
在Rt△OEB和Rt△ODF中，
利用勾股定理得：OE＝＝4，OF＝＝3，
则弦AB与CD间的距离EF＝OE+OF＝4+3＝7；
（ii）当两条弦在圆心O同侧时，如图2所示：
同理求出OE＝4，OF＝3，
则弦AB与CD间的距离EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1．
综上，弦AB与CD间的距离为1或7．
18．解：AC与BD是相等，理由如下；
过点O作OE⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AE＝BE，
又∵在⊙O中，
∴CE＝DE，
∴AC＝BD．
19．解：（1）连接OD，
∵直径AB⊥弦CD，CD＝4，
∴DH＝CH＝CD＝2，
在Rt△ODH中，AH＝5，
设圆O的半径为r，
根据勾股定理得：OD2＝（AH﹣OA）2+DH2，即r2＝（5﹣r）2+20，
解得：r＝4.5，
则圆的半径为4.5；
（2）过O作OG⊥AE于G，
∴AG＝AE＝×6＝3，
∵∠A＝∠A，∠AGO＝∠AHF，
∴AF＝，
∴EF＝AF﹣AE＝﹣6＝．
20．解：（1）∵CD⊥AB，AO⊥BC
∴∠AFO＝∠CEO＝90°，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE，
∴CE＝AF，
∵CE＝2，
∴AF＝2，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴AB＝4．
（2）∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC
∴CE＝BE＝2，
∵AB＝4，
∴，
∵∠AEB＝90°，
∴∠A＝30°，
又∵∠AFO＝90°，
∴，即⊙O的半径是．
21．解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴BE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣3）2，
R＝，
答：圆片的半径R为cm．
22．解：（1）作OC⊥AB于点C，
∵圆心O到AB的距离为3，
∴OC＝3，
∵弦AB的长为8，
∴AC＝BC＝4，
∴OA＝＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）∵点P是AB上的一动点，
∴3≤PO≤5．