2022-2023学年浙教版七年级数学上册 2.6有理数的混合运算-提升练习（含答案）

浙教版-7年级-上册-数学-第2章《有理数的运算》
2.6 有理数的混合运算
【知识点-部分】
1、有理数混合运算的顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
（1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
（3）在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题-精选部分】
1、设a＝，b＝，
则a、b的大小关系是 。
2、定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是 。
3、计算：
（1）（﹣）÷×（﹣）÷（﹣） （2）﹣3﹣[﹣5+（1﹣0.2×）÷（﹣2）]
（3）（4﹣3）×（﹣2）﹣2÷（﹣） （4）[50﹣（﹣+）×（﹣6）2]÷（﹣7）2
4、计算：
（1）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（﹣2）﹣（+1.75）﹣（﹣1）
（2）﹣4×（﹣2）﹣6×（﹣2）+17×（﹣2）﹣19÷
（3）﹣12+×[﹣22+（﹣3）2×（﹣2）+（﹣3）]÷（﹣）2
5、已知有理数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求式子ab++e的值．
6、小张上周末买进股票1000股，每股20元，下表为本周每日股票的涨跌情况：
星 期 一 二 三 四 五
每股涨跌 +4 +5 ﹣1 ﹣3 ﹣6
（1）到本周三，小张所持股票每股多少元？
（2）本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？
（3）已知小张买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和3‰的交易税．如果小张在本周末卖出全部股票，他的收益如何？
7、符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+，f（2）＝1+，f（3）＝1+，f（4）＝1+…
（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝　 　；（n为正整数）
（2）计算：f（1） f（2） f（3）…f（100）的值．
8、如果规定符号“*”的意义是a*b＝，求2*（﹣3）*4的值．
9、规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得（a+2）×2﹣b，即a※b＝（a+2）×2﹣b，
例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5，根据上面规定解答下题：
（1）求7※（﹣3）的值； （2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？
10、如果规定符号“*”的意义是a*b＝，比如3*1＝32﹣1＝8，2*3＝32+2＝11，
求（﹣3）*（﹣2）+4*（﹣1）的值．
11、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示
（1）比较a、b、|c|的大小（用“＞”连接）；
（2）若n＝|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|，求1﹣2017 （n+a）2018的值；
（3）若a＝，b＝﹣2，c＝﹣3，且a、b、c对应的点分别为A、B、C，问在数轴上是否存在一点M，使M与B的距离是M与A的距离的3倍，若存在，请求出M点对应的有理数；若不存在，请说明理由．
12、阅读下面的文字，完成解答过程．
（1）＝1﹣，＝﹣，＝﹣，则＝　 　，并且用含有n的式子表示发现的规律．
（2）根据上述方法计算：+++…+．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：＝　 　（其中n，k均为正整数），并计算+++…+．
13、如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
① 设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
② 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
14、定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为S（x）．
例如，a＝13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31＝44，和44除以11的商为44÷11＝4，所以S（13）＝4．
（1）下列两位数：20，29，77中，“相异数”为　 　，计算：S（43）＝　 　；
（2）若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣1），且S（y）＝10，求相异数y；
（3）小慧同学发现若S（x）＝5，则“相异数”x的个位数字与十位数字之和一定为5，请判断小慧发现”是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例．
15、【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
（1）① 如图1，当输入数x＝﹣2时，输出数y＝　 　；
② 如图2，第一个“”内，应填　 　；第二个“”内，应填　 　；
（2）①如图3，当输入数x＝﹣1时，输出数y＝　 　；②如图4，当输出的值y＝17，则输入的值x＝　 　；
【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．请设计出一个“计算框图”，使得输入数为用水量x，输出数为水费y．
16、（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作a ，
读作“a的圈n次方”．
（初步探究）（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，＝　 　．
（2）关于除方，下列说法错误的是 　 　．
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，1 ＝1．
C．3③＝4④． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝　　；5⑥＝　 ；＝　　．
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 　．
（5）算一算：．
【参考答案】
1、设a＝，b＝，
则a、b的大小关系是 。
【解答】a＜b。解：∵a＝＝
＝＝
＝＝﹣20042×2003+1＜0，
b＝＝
＝＝＝1＞0，∴a＜b．
2、定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是 。
【解答】8。解：由题意n＝9时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1…以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，∴第2017次运算结果8。
3、计算：
（1）（﹣）÷×（﹣）÷（﹣） （2）﹣3﹣[﹣5+（1﹣0.2×）÷（﹣2）]
（3）（4﹣3）×（﹣2）﹣2÷（﹣） （4）[50﹣（﹣+）×（﹣6）2]÷（﹣7）2
【解答】解：（1）原式＝﹣×××＝﹣；（2）原式＝﹣3+5+（1﹣）×＝﹣3+5+＝2；
（3）原式＝﹣+7+＝3；（4）原式＝（50﹣28+33﹣6）×＝49×＝1．
4、计算：
（1）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（﹣2）﹣（+1.75）﹣（﹣1）
（2）﹣4×（﹣2）﹣6×（﹣2）+17×（﹣2）﹣19÷
（3）﹣12+×[﹣22+（﹣3）2×（﹣2）+（﹣3）]÷（﹣）2
【解答】解：（1）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（﹣2）﹣（+1.75）﹣（﹣1）
＝（﹣3）+2+2+（﹣1）+1＝1；
（2）﹣4×（﹣2）﹣6×（﹣2）+17×（﹣2）﹣19÷
＝（﹣4﹣6+17）×（﹣2）﹣（19+）×9＝7×（﹣）﹣19×9﹣8＝（﹣18）﹣171﹣8＝﹣197；
（3）﹣12+×[﹣22+（﹣3）2×（﹣2）+（﹣3）]÷（﹣）2＝﹣1+
＝﹣1+＝﹣1+＝﹣1﹣＝﹣．
5、已知有理数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求式子ab++e的值．
【解答】解：根据题意得：ab＝1，c+d＝0，e＝±2，
当e＝2时，原式＝×1+0+2＝，当e＝﹣2时，原式＝×1+0﹣2＝﹣．
6、小张上周末买进股票1000股，每股20元，下表为本周每日股票的涨跌情况：
星 期 一 二 三 四 五
每股涨跌 +4 +5 ﹣1 ﹣3 ﹣6
（1）到本周三，小张所持股票每股多少元？
（2）本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？
（3）已知小张买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和3‰的交易税．如果小张在本周末卖出全部股票，他的收益如何？
【解答】解：（1）20+4+5﹣1＝28（元）．答：到本周三，小张所持股票每股28元．
（2）20+4+5＝29（元）．答：本周内，股票最高价出现在星期二，是29元．
（3）29﹣1﹣3﹣6＝19（元），1000×19＝19000（元），1000×20＝20000（元），
19000﹣20000﹣20000×1.5‰﹣19000×（1.5‰+3‰）＝﹣1000﹣30﹣85.5＝﹣1115.5（元）．
所以小张亏了1115.5元．
7、符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+，f（2）＝1+，f（3）＝1+，f（4）＝1+…
（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝　 　；（n为正整数）
（2）计算：f（1） f（2） f（3）…f（100）的值．
【解答】解：（1）∵f（1）＝1+，f（2）＝1+，f（3）＝1+，f（4）＝1+…∴f（n）＝1+．
（2）f（1） f（2） f（3） … f（100）＝（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）
＝××××…×＝＝5151。 故答案为：5151．
8、如果规定符号“*”的意义是a*b＝，求2*（﹣3）*4的值．
【解答】解：根据题意可得：，．
9、规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得（a+2）×2﹣b，即a※b＝（a+2）×2﹣b，
例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5，根据上面规定解答下题：
（1）求7※（﹣3）的值； （2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？
【解答】解：（1）7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21
（2）不相等．理由是：∵7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21，
（﹣3）※7＝（﹣3+2）×2﹣7＝﹣2﹣7＝﹣9，即：21≠﹣9，∴7※（﹣3）与（﹣3）※7的值不相等．
10、如果规定符号“*”的意义是a*b＝，比如3*1＝32﹣1＝8，2*3＝32+2＝11，
求（﹣3）*（﹣2）+4*（﹣1）的值．
【解答】解：（﹣3）*（﹣2）+4*（﹣1）＝（﹣2）2+（﹣3）+42﹣（﹣1）＝4﹣3+16+1＝18．
11、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示
（1）比较a、b、|c|的大小（用“＞”连接）；
（2）若n＝|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|，求1﹣2017 （n+a）2018的值；
（3）若a＝，b＝﹣2，c＝﹣3，且a、b、c对应的点分别为A、B、C，问在数轴上是否存在一点M，使M与B的距离是M与A的距离的3倍，若存在，请求出M点对应的有理数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图所示：由数轴可知|c|＞a＞b；
（2）由数轴可知：b+c＜0，c﹣1＜0，b﹣a＜0，则n＝|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|＝﹣b﹣c+c﹣1+b﹣a＝﹣1﹣a，
即a+n＝﹣1，∴1﹣2017 （n+a）2018＝1﹣2017×（﹣1）2018＝1﹣2017＝﹣2016；
（3）① 当点M在AB的右侧时，设点M对应的数为x，∵点A对应的数是，点B对应的数是点﹣2，
∴BM＝x+2，AM＝x﹣，∵BM＝3AM，∴x+2＝3（x﹣），x+2＝3x﹣，x＝；
② 当点M在AB的上时，此时，BM＝x+2，AM＝﹣x，∵BM＝3AM，∴x+2＝3（﹣x），x+2＝﹣3x，x＝；
③ 当点M在AB的左侧时，此时，BM＝﹣2﹣x，AM＝﹣x，∵BM＝3AM，∴﹣2﹣x＝3（﹣x），﹣2﹣x＝﹣3x，
x＝与M对应的数是负数相矛盾，所以AB的左侧不存在这样的点M，因此点M对应的有理数是或．
12、阅读下面的文字，完成解答过程．
（1）＝1﹣，＝﹣，＝﹣，则＝　 　，并且用含有n的式子表示发现的规律．
（2）根据上述方法计算：+++…+．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：＝　 　（其中n，k均为正整数），并计算+++…+．
【解答】解：（1）∵＝1﹣，＝﹣，＝﹣，∴＝﹣．
（2）∵＝＝（1﹣），＝＝（﹣），＝＝（﹣），
∴+++…+＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）＝．故答案为：；
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：＝（﹣）．
+++…+＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故答案为：（﹣）．
13、如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
① 设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
② 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
【解答】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，
ab＜0，∴a＝﹣10，b＝90，即a的值是﹣10，b的值是90；
（2）① 由题意可得，点C对应的数是：90﹣[90﹣（﹣10）]÷（3+2）×2＝90﹣100÷5×2＝90﹣40＝50，
即点C对应的数为：50；
② 设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）﹣20]÷（3+2）＝80÷5＝16（秒），
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）+20]÷（3+2）＝120÷5＝24（秒），
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
14、定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为S（x）．
例如，a＝13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31＝44，和44除以11的商为44÷11＝4，所以S（13）＝4．
（1）下列两位数：20，29，77中，“相异数”为　 　，计算：S（43）＝　 　；
（2）若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣1），且S（y）＝10，求相异数y；
（3）小慧同学发现若S（x）＝5，则“相异数”x的个位数字与十位数字之和一定为5，请判断小慧发现”是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例．
【解答】解：（1）根据“相异数”的定义可知29是“相异数”，S（43）＝（43+34）÷11＝7，故答案为：29，7；
（2）由“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k﹣1），且S（y）＝10得，
10k+2（k﹣1）+20（k﹣1）+k＝10×11，解得k＝4，∴2（k﹣1）＝2×3＝6，∴相异数y是46；
（3）正确；设“相异数”的十位数字为a，个位数字为b，则x＝10a+b，
由S（x）＝5得，10a+b+10b+a＝5×11，即：a+b＝5，因此，判断正确．
15、【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
（1）① 如图1，当输入数x＝﹣2时，输出数y＝　 　；
② 如图2，第一个“”内，应填　 　；第二个“”内，应填　 　；
（2）①如图3，当输入数x＝﹣1时，输出数y＝　 　；②如图4，当输出的值y＝17，则输入的值x＝　 　；
【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．请设计出一个“计算框图”，使得输入数为用水量x，输出数为水费y．
【解答】解：（1）① 把x＝﹣2代入得：y＝（﹣2）×2﹣5＝﹣4﹣5＝﹣9；
② 根据题意得：第一个“”内，应填×5；第二个“”内，应填﹣3；
（2）① 把x＝﹣1代入得：（﹣1）×2﹣3＝﹣2﹣3＝﹣5，把x＝﹣5代入得：（﹣5）×2﹣3＝﹣10﹣3＝﹣13，
把x＝﹣13代入得：（﹣13）×2﹣3＝﹣26﹣3＝﹣29，则y＝﹣29；
② 若x＞0，把y＝17代入得：x＝17+5＝22；若x＜0，把y＝17代入得：x2+1＝17，即x＝﹣4，则x＝22或﹣4；
（3）如图所示：故答案为：（1）①﹣9；②×；﹣3；（2）①﹣29；②22或﹣4．
16、（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作a ，
读作“a的圈n次方”．
（初步探究）（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，＝　 　．
（2）关于除方，下列说法错误的是 　 　．
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，1 ＝1．
C．3③＝4④． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝　　；5⑥＝　 ；＝　　．
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 　．
（5）算一算：．
【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝×2×2×2＝4．
故答案为：，4．
（2）∵3③＝3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4÷4＝，由于≠，∴3③≠4③，所以选项C错误，故选C．
（3）（﹣3）④＝（﹣）4﹣2＝（﹣）2＝（）2；5⑥＝（）6﹣2＝（）4；
（﹣）⑩＝（﹣2）10﹣2＝（﹣2）8＝28；故答案为：（）2；（）4；28；
（4）a ＝a÷a÷…÷a＝1××…×＝（）n﹣2，故答案为：（）2；（）4；28；
（5）原式＝144÷（﹣3）2×（﹣2）﹣（﹣3）2÷34＝﹣144÷9×2﹣32÷34＝﹣﹣＝﹣．