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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
3．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5
4．小李同学在学习“2.7探索勾股定理”时发现，公式 中的 、 、 可以看成以 、 、 为边的正方形面积，利用面积之间的等量关系 ，验证了勾股定理，他对这个发现进一步进行思考，如果分别以这三边向外构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形（ 、 、 为底）、半圆，其中不满足 这个关系的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF=1，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
（第5题） （第6题）
6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D，若∠ACD＝α，则∠BDC度数为（ ）
A．45°﹣α B． C．90°﹣2α D．
7．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE相交于F点，BH⊥AD于H点，FH＝3，EF＝0.5，则AD的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
10．如图：在△ABC中，∠B=45°，D是AB边上一点，连接CD，过A作AF⊥CD交CD于G，交BC于点F.已知AC=CD，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）
①∠ACD=2∠FAB ②③④ AC=AF
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知长方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M为线段AD上一点且AM＝8，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当 AMP为等腰三角形时，t的值为 ．
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）
12．如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC= cm.
14．已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF 则AD的长为 .
15．如图，在直线 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 、 、 ，则 .
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，O是AB上一点，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点P从点A出发，沿折线A－B－C－A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．点Q从点B出发，沿折线B－C－A以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P、Q两点重合时，求t的值．
（2）当△BPQ是以PQ为底边的等腰三角形时，求t的值．
（3）当△BPQ是直角三角形时，直接写出t的值．
18．已知， 中， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，D是 外一点连接 、 ，且 ，作 的平分线交 于点E，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点F，若 ， ，求 的长．
19．（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．
（1）（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．
（2）（定理应用）在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，BD平分∠ABC．动点P从点B出发，沿折线BA-AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点D重合时，连结P、B、D三点．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 ；
（2）当DP⊥AB时，t= ；
（3）求线段BD的长；
（4）当∠DBP与∠DPB相等时，直接写出t的值．
21．解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
22．如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠△ABC，
（1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长；
（2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长.
23．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
24．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
求证：△ABD是“准直角三角形”．
（2）关于“准直角三角形”，下列说法正确的是 （填写所有正确结论的序号）
①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是准直角三角形；
②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．
（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
2．如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】C
【解析】如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
3．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5
【答案】D
【解析】如图，连接AM、AD
∵EF垂直平分线段AC
∴CM=AM
∴CM+MD=AM+MD≥AD
即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长
∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD
∴△CMD的周长的最小值为AD+CD
∵D为BC的中点，AB=AC
∴ ，AD⊥BC
∴
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△CDM周长的最小值为13.5
故答案为：D.
4．小李同学在学习“2.7探索勾股定理”时发现，公式 中的 、 、 可以看成以 、 、 为边的正方形面积，利用面积之间的等量关系 ，验证了勾股定理，他对这个发现进一步进行思考，如果分别以这三边向外构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形（ 、 、 为底）、半圆，其中不满足 这个关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，三角形ABC是等边三角形，BD是AC上的高，
∴ ，
∴ ，
∴
A、∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，故A选项不符合题意；
B、 ， ， ，
∵ ，
∴ ，故B选项不符合题意；
C、∵等腰三角形的面积=底×高，设面积为 的三角形AB边上的高为 ，设面积为 的三角形BC边上的高为 ，设面积为 的三角形AC边上的高为 ，
∴ ， ， ，
∵无法确定 ， ， 的值，
∴不能得到 ，故C选项符合题意；
D、 ， ， ，
∵ ，
∴ ，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
5．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF=1，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中， ，
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠BOD=∠ABE+∠BAD，∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠ABE+∠BAC+∠CAD=∠ABE+∠BAC+∠CBE=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°.
∴∠AOF=180°-∠BOD=180°-120°=60°，
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，OF=1，
∴AF= .
故答案为： .
6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D，若∠ACD＝α，则∠BDC度数为（ ）
A．45°﹣α B． C．90°﹣2α D．
【答案】C
【解析】∵CO平分∠ACB，
∴∠BCO=∠ACD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB=2α，
∵∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，
∴BO平分∠ABC，
∴∠CBO=∠ABO= ，
∵ ，
∴ ，
∵AD⊥AO，
∴∠OAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠OAB= ，
∴∠BAD=∠ABC，
∴BC∥AD，
∴∠BCD=∠ADC= ，
∴AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB= ，
∴ .
故答案为：C.
7．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE相交于F点，BH⊥AD于H点，FH＝3，EF＝0.5，则AD的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】B
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD，
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°；
∵BH⊥AD，
∴∠BHF＝90°
∴∠FBH＝30°，
∴FH＝ BF，即BF＝2FH，
∵FH＝3，EF＝0.5，
∴BF＝6，BE＝BF+EF＝6.5，
∴AD＝BE＝6.5.
故答案为：B.
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠B＝20°
∴∠ECB＝∠B＝20°，
∵AD＝BD，∠B＝20°，
∴∠DAB＝∠B＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝20°+20°＝40°，
∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°.
故答案为：D.
9．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
10．如图：在△ABC中，∠B=45°，D是AB边上一点，连接CD，过A作AF⊥CD交CD于G，交BC于点F.已知AC=CD，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）
①∠ACD=2∠FAB ②③④ AC=AF
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【解析】如图，过点C作 于点H，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∴ ，
在 中， ，故③正确.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知长方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M为线段AD上一点且AM＝8，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当 AMP为等腰三角形时，t的值为 ．
【答案】 或2或
【解析】 四边形 是矩形，
， ， ，
当 为等腰三角形时，分三种情况：
①当 时，点 在 的垂直平分线上，
取 的中点 ，过点 作 交 于 ，如图1所示：
则四边形 是矩形，
，
；
②当 时，如图2所示：
在 中，由勾股定理得： ，
；
③当 时，过点 作 于 ，如图3所示：
则四边形 为矩形，
， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
；
综上所述， 的值为： 或2或 ，
故答案为： 或2或 ．
【分析】由四边形 是矩形， ， ， ，当 为等腰三角形时，分三种情况：①当 时，点 在 的垂直平分线上，②当 时，③当 时，过点 作 于 ，分类讨论即可。
12．如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
【答案】2.5
【解析】如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5.
故答案为：2.5.
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC= cm.
【答案】32
【解析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，
∵BE=30，DE=2，
∴DM=28，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=14，
∴BN=16，
∴BC=2BN=32，
故答案为：32.
14．已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF 则AD的长为 .
【答案】8
【解析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK.
∵EB=ET，
∴∠B=∠ETB，
∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，
∴∠AET=∠2，
∵AE=CD，ET=CK，
∴△AET≌△DCK（SAS），
∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，
∴∠ETB=∠DKB，
∴∠B=∠DKB，
∴DB=DK，
∴BD=AT，
∴AD=BT，
∵BT=2BF=8，
∴AD=8，
故答案为：8.
15．如图，在直线 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 、 、 ，则 .
【答案】4
【解析】设正放置的四个正方形的边长分别为 ， ， ， ，
则
如图，
由正方形的性质得： ，
，
，即
在 和 中，
， ，
在 中， ，即
同理可得：
故答案为：4.
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，O是AB上一点，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 .
【答案】4 或4 或4
【解析】如图1，当∠AMB＝90°时，
∵O是AB的中点，AB＝8，
∴OM＝OB＝4，
又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM＝BO＝4，
∴Rt△ABM中，AM＝ ＝4 ；
如图2，当∠AMB＝90°时，
∵O是AB的中点，AB＝8，
∴OM＝OA＝4，
又∵∠AOC＝60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM＝AO＝4；
如图3，当∠ABM＝90°时，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴MO＝2BO＝2×4＝8，
∴Rt△BOM中，BM＝ ＝4 ，
∴Rt△ABM中，AM＝ ＝4 ，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为 或4 或4.
故答案为：4 或4 或4.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点P从点A出发，沿折线A－B－C－A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．点Q从点B出发，沿折线B－C－A以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P、Q两点重合时，求t的值．
（2）当△BPQ是以PQ为底边的等腰三角形时，求t的值．
（3）当△BPQ是直角三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：∵P比Q快1个单位长度，P落后Q4个单位长度，
∴追上的时间为
（2）解：如图，当点P在边AB上，点Q在边BC上时，BP＝BQ，
即，
∴，
如图，当点P、Q都在边AC上时，AP＝CQ，
即，
∴，
综上，t的值为或；
（3）t的值为，5，1，6
如图，当，点P在边AB上，点Q在边BC上时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
如图，当，点P、Q都在边AC上时，
∵是等边三角形，
∴点P为AC中点，
，
如图，当，点P在边AB上，点Q在边BC上时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
如图，当，点P、Q都在边AC上时，
∵是等边三角形，
∴点Q是AC中点，
，
综上：t的值为，5，1，6．
18．已知， 中， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，D是 外一点连接 、 ，且 ，作 的平分线交 于点E，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点F，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC
∴∠A+∠B+∠C=180°
∵
∴∠A+∠B+∠C=∠A+2∠B
∴∠B=∠C
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°
设∠ABD=x，则∠D=∠ABD=x，
∵四边形ACBD
∴∠C+∠DBC+∠D+∠DAC=360°，即60°+60°+x+x+∠DAC=360°
∴∠DAC=240°-2x
∵作 的平分线交 于点E
∴∠EAD= ∠DAC=120°-x
∵△AED
∴∠D+∠AED+∠EAD=180°，即∠x+∠AED+120°-x =180°，解得∠AED=60°；
（3）解：作AM⊥BD
∵AB=AD
∴MD=MB
∵AC=AD，AE平分∠CAD
∴AE⊥CD
∵由（2）得∠AED=60°，设ME=x
∴AE=2x，DE=2EF，BM=MF=x+3
∴DE=MD+ME=2x+3
∴EF=
∴AE=EF+AF= +3
∴ +3=2x，解得：x=
∴DE=2x+3=10．
19．（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．
（1）（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．
（2）（定理应用）在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵．
∴．
∵直角梯形的面积可以表示为，也可以表示为，
∴，
整理，得．
（2）解：在中，，
∴；
∵．
∴．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，BD平分∠ABC．动点P从点B出发，沿折线BA-AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点D重合时，连结P、B、D三点．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 ；
（2）当DP⊥AB时，t= ；
（3）求线段BD的长；
（4）当∠DBP与∠DPB相等时，直接写出t的值．
【答案】（1）13
（2）5
（3）解：由（2）知DC=DP，AB=13，BP=5，
设DC=DP=x，则AP=8，AD=12-x，
在Rt△APD中，AP2+PD2=AD2，即82+x2=(12-x)2，
解得：x=，即CD=，
在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即52+()2=BD2，
∴BD=；
（4）t的值为：10或．
【解析】(1)∵∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= ，
故答案为：13；
（2）∵BD平分∠ABC，DP⊥AB，DC⊥CB，
∴DC=DP．
在Rt△DCB和Rt△DPB中，
，
∴Rt△DCB≌Rt△DPB（HL）．
∴BC=BP=5．
∴t=BP÷1=5．
故答案为：5；
(4)①当点P在AB上时，
∵∠DBP=∠DPB，
∴DB=DP．
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
由（2）知：Rt△DCB≌Rt△DEB，
∴BE=BC=5．
∵DB=DP，DE⊥AB，
∴PE=BE=5．
∴PB=2BE=10．
∴t=BP÷1=10(s)；
②当点P在AC上时，
∵∠DBP=∠DPB，
∴DB=DP．
由（3）知：BD=，CD=，
∴PD=．
∴PA=AC-CD-PD=．
∴点P运动的距离为：AB+PA=．
∴t=（）÷1=(s)．
综上，t的值为：10或．
21．解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
【答案】（1）证明：如图1中，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：如图2中，延长CD到T，使得DT=CD，连接BT.
由（1）可知△ADC≌△BDT，
∴AC=BT=5，∠ACD=∠T=90°，
∴CT=，
∴CD=DT=6，
∴S△ACB=S△ADC+S△CDB= AC DC+ BT CD=×5×6+×5×6=30；
（3）解：如图3中，延长AC到R，使得CR=CA，连接DR.
由（1）可知，△ACB≌△RCD，
∴AB=DR，∠A=∠R，
∵FE=FA，
∴∠A=∠AEF，
∵∠AEF=∠DER，
∴∠DER=∠R，
∴DE=DR=AB，
设DE=DR=AB=x，则BF=x-2，DF=x+2，
在Rt△DBF中，BF2+BD2=DF2，
∴（x-2）2+62=（x+2）2，
∴x=，
∴DE=.
22．如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠△ABC，
（1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长；
（2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长.
【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10.
设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x.
在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，(8－x) 2＋62＝x2，
解得x＝，AD的长为；
（2）解：过点B作BH⊥BC交DF于点H.
在△DGC与△HBG中，
∵∠DCB＝∠HBG，∠DGC＝∠BGH，CG＝BG，
∴△DGC≌△HBG.
∴DC＝BH，DG＝GH，∠CBH＝∠DCB，
∴ AC//BH.
∴∠A＝∠HBF.
由折叠可知∠A＝∠F，
∴∠HBF＝∠F.
∴HB＝HF.
设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，
∴DG＝DH＝(8－y－y) ＝4－y，
在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，y2＋32＝(4－y) 2，
解得y＝，
∴AD=8－y＝，即AD的长为.
23．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
24．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
求证：△ABD是“准直角三角形”．
（2）关于“准直角三角形”，下列说法正确的是 （填写所有正确结论的序号）
①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是准直角三角形；
②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．
（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．
【答案】（1）证明：∵∠BDC=∠ABD+∠A，
∴∠BDC+∠CBD=∠ABD+∠A+∠CBD=90°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠A+2∠ABD=90°，
∴△ABD是“准直角三角形”.
（2）①③
（3）解：10°、20°、40°、110°
【解析】(2) ①∵2∠C+∠B=90°，∴△ABC是“准直角三角形” ，正确；
② 若∠B=20°，∠C=2∠B=40°<90°，不符合题意；
若∠B=20°，∠C=2∠A=120°，∴∠A+∠B+∠C=200°，错误；
③ 设2∠A+∠B=90°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）>90°，∴是钝角三角形，正确；
综上，正确的是 ①③ .
故答案为：①③ .
(3)如图，①当2∠A+∠APB=90°，
∵∠ABC=∠A+∠APB=50°，
∴∠A=40°，
∴∠APB=10°；
②当2∠ABP+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠APB==20°；
③当∠A+2∠APB=90°时，
∵∠ABC=∠A+∠APB=50°，
∴∠APB=40°；
④当2∠A+∠ABC=90°，
∵∠ABC=50°，
∴∠APB=180°-∠A-∠ABC=110°；
综上， 10°、20°、40°、110° .
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