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浙教版2022-2023学年八上数学第1章 三角形的初步知识 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则第三边长可能是（ ）
A．6cm B．5cm C．3cm D．1cm
2．小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去.
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
（第2题） （第4题） （第6题） （第7题）
3．已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图， 平分 ，点P在 上，且 ，垂足为D，若 ，则P到 的距离d满足（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．若 ，则 . B．若 ，则 .
C．面积相等的两个三角形全等. D．同角的补角相等.
6．如图， ， ， ， ， ，连接 ，点 恰好在 上，则 （ ）
A．60 B．55 C．50 D．无法计算
7．如图，在 中， 是 的角平分线， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．20° D．22.5°
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF.正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB.下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③AB CD；④ ABD≌ CBD.其中所有正确结论的序号是 .
（第11题） （第12题） （第14题）
12．如图，已知 的周长是22，PB、PC分别平分 和 ， 于D，且 ， 的面积是 .
13．在△ABC中，AD，BE为三角形的高，M为AD，BE所在直线的交点，∠BMD=50°，则∠C的度数是 .
14．如图，OB平分∠MON，A为 OB的中点，AE⊥ON于点 E，AE＝4，D为
OM上一点，BCOM交 DA于点 C，则CD的最小值为 ．
15．如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
（第15题） （第16题）
16．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分线，BD，CE交于点O.过点O作OF⊥BC，垂足为F，若∠BAC=120°，OD OE=12，BC BE CD=5，则OF= .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知.用三种不同的方法作等于.要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法.
18．已知：如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．
19．如图，AD是 的角平分线，且AB>AC，E为AD上任意一点，
求证： .
20．如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．
21．如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
22．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
23．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式 ．
24．如图（1）， ， ， 垂足分别为A、B， ．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“ ， ”改为“ ”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
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浙教版2022-2023学年八上数学第1章 三角形的初步知识 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则第三边长可能是（ ）
A．6cm B．5cm C．3cm D．1cm
【答案】C
【解析】设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
3-2＜x＜3+2，
解得：1＜x＜5，
只有C选项在范围内.
故答案为：C.
2．小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去.
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【答案】D
【解析】由题意可知带第4块碎玻璃可以利用ASA判定方法得到跟原来一模一样的玻璃；
故答案为：D.
3．已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
4．如图， 平分 ，点P在 上，且 ，垂足为D，若 ，则P到 的距离d满足（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】如图所示，过点P作PE⊥AO于E，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥AO，
∴PE=PD=3cm，
∴d=PE=3cm，
故答案为：B.
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．若 ，则 . B．若 ，则 .
C．面积相等的两个三角形全等. D．同角的补角相等.
【答案】D
【解析】A、若
，则
，故本选项错误；
B、例如
，但
，故本选项错误；
C、若两个三角形的面积相等，则两个三角形不一定全等，故本选项错误；
D、同角的补角相等，故本选项正确.
故答案为：D.
6．如图， ， ， ， ， ，连接 ，点 恰好在 上，则 （ ）
A．60 B．55 C．50 D．无法计算
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
7．如图，在 中， 是 的角平分线， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：C．
8．有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【解析】
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
9．如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．20° D．22.5°
【答案】A
【解析】
∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，
故答案为：A.
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF.正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】∵BE是中线，
∴ ，
∴S△ABE＝S△BCE(等底同高的两个三角形面积相等)，故①正确；
∵CF是角平分线，
∴ ，
∵AD是高，
∴ ，
∵ ，
，
，
，故②正确；
根据已知条件不能推出 ，故③错误；
∵AD是高，
∵CF是角平分线，
即 ，故④正确.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB.下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③AB CD；④ ABD≌ CBD.其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【解析】∵ ， ，
∴BD垂直平分AC，①正确；
在 与 中，
，
∴ ，④正确；
由 可得：
，
∴BD平分 ，②正确；
③无法证明；
故正确结论有：①②④，
故答案为：①②④.
12．如图，已知 的周长是22，PB、PC分别平分 和 ， 于D，且 ， 的面积是 .
【答案】33
【解析】如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∵PB、PC分别平分
和
，
于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵ △ABC的周长是22，
∴ △ABC的面积是
.
故答案为：33.
13．在△ABC中，AD，BE为三角形的高，M为AD，BE所在直线的交点，∠BMD=50°，则∠C的度数是 .
【答案】50°或130°
【解析】①高AD，BE所在的直线交于点M在三角形内部，如图，
∵∠BMD=50°，
∴∠EMD=180°-∠BMD=130 ，
∵AD、BE是高，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
在四边形CDME中，
∠C=360°-∠EMD-∠BEC-∠ADC
=360°-130°-90° -90°
=50°；
②高AD，BE所在的直线交于点M在三角形外部，如图，
∵AD、BE是高，
∴∠BDM=∠AEM=90°，
在四边形CDME中，
∠DCE=360°-∠BMD-∠BDM -∠AEM
=360°-50°-90° -90°
=130°，
∴∠ACB=∠DCE=130°；
故答案为：50°或130°.
14．如图，OB平分∠MON，A为 OB的中点，AE⊥ON于点 E，AE＝4，D为
OM上一点，BCOM交 DA于点 C，则CD的最小值为 ．
【答案】8
【解析】∵A为OB的中点，
∴AB=AO，
∵BC∥OM，
∴∠B=∠DOA，且AB=AO，∠BAC=∠DAO，
∴△ABC≌△AOD（ASA）
∴AC=AD，
∴CD=2AD，
∴当AD有最小值时，CD有最小值，
∴当AD⊥OM是，AD有最小值，
∵OB平分∠MON，AE⊥ON，AD⊥OM，
∴AD=AE=4，
∴CD的最小值为8，
故答案为：8．
15．如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是 ．
【答案】①②
【解析】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC） a＝ab，③不符合题意．
故答案为：①②．
16．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分线，BD，CE交于点O.过点O作OF⊥BC，垂足为F，若∠BAC=120°，OD OE=12，BC BE CD=5，则OF= .
【答案】
【解析】在BC上取点G和H，使BG=BE，CH=DC，
∵BD，CE 是△ABC 的角平分线，
∴∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，
又∵BO=BO，CO=CO，
∴△BEO≌△BGO（SAS），△ODC≌△OHC（SAS），
∴∠BOG=∠BOE，∠HOC=∠DOC，
∵∠A=120°，
∴∠OBC+∠OCB= =30°，
∴∠BOE=30°，∠BOC=150°，
∴∠GOH=∠BOC-∠BOG-∠HOC
=150°-30°-30°
=90°，
∴S△OGH= GO HO= EO DO=6，
∵BC-BE-CD=5，
∴BC-BG-CH=5，
即 GH=5，
∴OF= ，
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知.用三种不同的方法作等于.要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法.
【答案】解：如图①、②、③，即为所求.
，
18．已知：如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．
【答案】解：∵BC∥FE，
∴∠1 ＝∠2
∵AF＝DC，
∴AF＋FC＝DC＋CF．
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA） ．
∴AB＝DE．
19．如图，AD是 的角平分线，且AB>AC，E为AD上任意一点，
求证： .
【答案】证明：如图，在AB上截取AF=AC，连接EF，
∵AD是 的角平分线
∴∠1=∠2
在 与 中
∵AF=AC，∠1=∠2，AE=AE
∴ ≌ （SAS）
∴
在 中，
而
∴
即 .
20．如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．
【答案】解：∵AD⊥BE，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝10°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，
∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，
∴，
又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝．
21．如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
【答案】（1）证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，
∵∠DFB=∠C+∠CDE，
∠DFB=∠E+∠CBE，
∴∠CDE=∠CBE，
∵∠ABD=∠CBE=20°，
∴∠CDE=20°.
22．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
【答案】（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
23．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式 ．
【答案】（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC= ，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ，
∴∠AED=∠B+∠BAE= ，
∵AD是高线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE= ；
（2）
∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠ ， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE= = ∴∠AED=∠B+∠BAE= = ∵AD是高线， ∴AD⊥BC， ∴∠DAE= = ， 故答案为： ．
24．如图（1）， ， ， 垂足分别为A、B， ．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“ ， ”改为“ ”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【答案】（1）解：△ACP≌△BPO，PC⊥PQ．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=BQ=2，
∴BP=7，
∴BP=AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C=∠BPQ，
∵∠C+∠APC=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
可得：7=9-2t，2t=xt，
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，可得：7=xt，2t=9-2t
解得：x＝ ，t= ，
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或 ．
标.
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