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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
3．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= ，∠PQN= ，当MP+PQ+QN最小时，则 的值为( )
A．10° B．20° C．40° D．60°
5．如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD＝AE，已知BC＝6，AB＝8，则BD+CE的最小值是（ ）
A． B．10 C．9.6 D．5+
（第5题） （第6题） （第7题）
6．如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点H，若CE＝4，BD＝5，则 的值（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE=∠A，DE交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．3.5
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
10．如图，在 中， ， ，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且 ，给出以下四个结论：（1） ；（2） 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF面积 ；（4） 的最小值为2.其中正确的有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则 ．
12．已知在 中， ， ，以 为一边在 外部作等腰直角三角形 ，线段 的长为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 .
（第13题） （第14题） （第15题）
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、点E在直线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若∠BAD＝∠CAE，∠AGH＝∠E，AF+AD＝BF，AC＝3，则AE的长为 ．
15．如图，线段AB＝4，E为AB中点，点C、D为直线AB同侧不重合的两点，且∠ACB＝∠ADB＝90°，连接CE、DE、CD，设△CDE的面积为S，则S的范围是 .
16．如图，等腰直角三角形ABC中， ，AC＝BC，点M为△ABC外一点，BM＝13，MA＝5， ，则MC的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．
18．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．
（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）若∠CBA＝60°，求证AC＝3OC．
19．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.
20．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD=CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
21．如图，是等边三角形，，分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：是等边三角形；
（2）点F在线段DE上，点G在外，，，求证：.
22．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．
（1）若AF=3，求AD的长；
（2）求证：DE=2DF．
23．问题发现：
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数.
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高交AE于M，连接BE.请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 .
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝ ，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝ ，求△PDC的面积.
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 培优测试卷
（答案解析）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
2．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【解析】如图所示，作AB的垂直平分线，
①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P2，P3为满足条件的点；
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点；
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、 P6为满足条件的点；
综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.
故答案为：C.
3．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
4．如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= ，∠PQN= ，当MP+PQ+QN最小时，则 的值为( )
A．10° B．20° C．40° D．60°
【答案】C
【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，
∴∠OPM= (180°-α)，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠1=20°+ (180°-α)=110°- α，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，
∴∠3= (180°-β)，
∴∠MQP=∠3= (180°-β)，
在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，
即110°- α+α+ (180°-β)=180°，
∴β-α=40°，
故答案为：C.
5．如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD＝AE，已知BC＝6，AB＝8，则BD+CE的最小值是（ ）
A． B．10 C．9.6 D．5+
【答案】A
【解析】过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，则∠FAC＝90°，
∴∠FAE+∠EAC＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCD＝90°，
∴∠FAE＝∠BCD，
∵AF＝CB，AE＝CD，
∴△BCD≌△FAE（SAS），
∴EF＝BD，
∴BD+CE＝EF+CE，
连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，
∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AF＝BC＝6，AC＝10，
∴CF＝ ＝ ，
∴BD+CE的最小值是 .
故答案为：A.
【分析】过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，则∠FAC＝90°，由同角的余角相等可得∠FAE＝∠BCD，证明△BCD≌△FAE，得到EF＝BD，连接CF，可得CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，据此求解.
6．如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝ AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH＝ ×60°＝30°，CG＝ AB＝ ×9＝ ，
∴MG＝ CG＝ × ＝ ，
∴HN＝ ，
故答案为：B.
7．如图△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点H，若CE＝4，BD＝5，则 的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△BDA中，∠A=60°，BD=5，
∴∠ABD=30°，
∴AB=2AD，
∵AB2=AD2+BD2，即4AD2=AD2+52，
∴AD= ，
在Rt△ACE中，∠A=60°，CE=4，
∴∠ACE=30°，
∴AC=2AE，
∵AC2=AE2+CE2，即4AE2=AE2+42，
∴AE= ，AC= ，
∴CD= AC- AD= = ，
在Rt△CDH中，∠DCH=30°，CD= ，
∴CH=2DH，
∵CH2=DH2+CD2，即4DH2=DH2+( )2，
∴DH=1，
∴BH=BD-DH=5-1=4，
∴ ，
故答案为：C.
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE=∠A，DE交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．3.5
【答案】D
【解析】过点E作EH⊥CD于点H，
∵∠ACB=90°， 点D是斜边AB的中点
∴CD=AD=BD=2，
∴∠A=∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∴点F为BC的中点，
∴；
∵CE=DE
∴DH=CD=1=AC，
∴△EHD≌△ACB（ASA），
∴DE=BA=4，
∴EF=DE-DF=4-0.5=3.5.
故答案为：D.
9．如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】设BD＝x，则CD＝10﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，
∴BE＝ BD＝
同理可得，CF＝ ，
∴BE+CF＝ ＝5.
故答案为：A.
10．如图，在 中， ， ，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且 ，给出以下四个结论：（1） ；（2） 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF面积 ；（4） 的最小值为2.其中正确的有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】∵ ，
∴
∴
∵点D是AB的中点
∴ ，且
∴
∴ ，
在 和 中
∴ ≌
∴ ，
∵
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵ ≌
∴ 和 的面积相等
∵D为AB中点
∴ 的面积 的面积
∴四边形CEDF面积 ；
当 ， 时， 值最小
根据勾股定理得：
此时四边形CEDF是正方形
即
∴
∴正确的个数是4个
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则 ．
【答案】66°或24°
【解析】如图，由题意得：是的垂直平分线，
如图，由题意得：是的垂直平分线，
综上：或
故答案为：或
12．已知在 中， ， ，以 为一边在 外部作等腰直角三角形 ，线段 的长为 ．
【答案】 或 或4．
【解析】分三种情况讨论：
如解图，以 为直角顶点，向外作等腰直角三角形 ，
，且 ，
；
如解图，以 为直角顶点，向外作等腰直角三角形 ，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
是等腰直角三角形， ，
， ，
又 ，
，
，
，
在 中， ，
，
；
如解图，以 为斜边，向外作等腰直角三角形 ，
， ，且 ，
，
又 ， 是等腰直角三角形，
，
，
在 中， ．
综上所述， 的长为4或 或 ．
故答案为：4或 或 ．
13．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 .
【答案】或
【解析】∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF=
AC=
×1=
；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD=
，
∴AF=AD=
，
故答案为：
或
.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、点E在直线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若∠BAD＝∠CAE，∠AGH＝∠E，AF+AD＝BF，AC＝3，则AE的长为 ．
【答案】
【解析】如图所示，过点C作CI⊥BE交AE于I，
∴∠ICD=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACI=45°，
∴∠ABD=∠ACI，
在△ABD和△ACI中，
，
∴△ABD≌△ACI（ASA），
∴AI=AD，∠ADB=∠AIC，BD=CI，
延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，KD，DI，
∴∠AKD=∠ADK，∠ADI=∠AID，
∵∠AKD+∠KDI+∠AID=180°，
∴∠ADK+∠ADI=90°，即∠KDI=90°，
∵∠BAD=∠CAE，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=90°，即∠DAI=90°，
∴△ADK和△ADI都是等腰直角三角形，
∴∠DKI=∠DIK=∠ADK=45°，
∴KD=ID，∠BDK+∠ADK=∠DIK+∠DIC，
∴∠DIC=∠KDB，
在△KDB和△DIC中，
，
∴△KDB≌△DIC（SAS），
∴∠KBD=∠DCI=90°，
∴∠BKE+∠E=90°，∠KBF+∠EBF=90°，
∵BF=AF+AD，
∴BF=AF+AK=KF，
∴∠BKF=∠KBF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠BFA=∠E+∠EBF=2∠E，
∵∠AGH=∠E，∠GAF=90°，
∴3∠E=90°，
∴∠E=30°，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠ACM=45°，
∴∠MAC=45°，
∴∠ACM=∠MAC，
∴AM=CM，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，线段AB＝4，E为AB中点，点C、D为直线AB同侧不重合的两点，且∠ACB＝∠ADB＝90°，连接CE、DE、CD，设△CDE的面积为S，则S的范围是 .
【答案】
【解析】由题意知：，即S>0，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，AB＝4，
∴CE=AB=2，DE=BE=AB=2，
当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，
∴，即S的最大值为2，
∴.
故答案为：.
16．如图，等腰直角三角形ABC中， ，AC＝BC，点M为△ABC外一点，BM＝13，MA＝5， ，则MC的长为 .
【答案】
【解析】过点 作 ，且 ，
连接 ，如下图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： .
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．
【答案】解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，
又∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵在△AED与△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE=FE，AD=FC．
∵AD=5，BC=10．
∴BF=5
在Rt△ABF中，AF＝ ，
∴AE= AF=6.5．
18．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．
（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）若∠CBA＝60°，求证AC＝3OC．
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
即△OAB是等腰三角形；
（2）解：由（1）得：∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
∵∠CBA＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAB＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝∠CBA﹣∠DBA＝30°，
∴AO＝BO＝2OC，
∵AC＝AO+OC，
∴AC＝3OC．
19．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.
【答案】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，
∵AE＝AB，AC=AF，
∴△EAF≌△BAC，
∴EF＝BC；
（2）解：∵△EAF≌△BAC，
∴∠AEF=∠ABC＝65°，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC＝65°，
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.
20．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD=CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，
∴BD×AH=CE×AF，
∴AH=AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE；
（3）解：PE=AP+PD，理由如下：
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
又∵OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP=AO，
∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，
∴∠NPD=∠DAE=α=60°，
∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，
又∵AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，
又∵AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD．
21．如图，是等边三角形，，分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：是等边三角形；
（2）点F在线段DE上，点G在外，，，求证：.
【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：连接AG，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
∵，，
∴△ABF≌△ACG（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
22．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．
（1）若AF=3，求AD的长；
（2）求证：DE=2DF．
【答案】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
∵D为AC中点，
∴CD=AD=AC，
∵CE=BC，
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=∠CDE=30°，
∴∠ADF=∠CDE=30°，
∵∠A=60°，
∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，
∵AF=3，
∴AD=2AF=6，
（2）解：连接BD，
∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，
∵∠BFD=90°，
∴BD=2DF，
∵∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE，
∴DE=2DF，
23．问题发现：
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数.
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高交AE于M，连接BE.请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：①证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°﹣∠DCB＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC.
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BEC＝120°.
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°.
（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM.
理由如下： 如图2所示：由题意得：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°.
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°，
∴∠BEC＝135°.
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°.
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME.
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM.
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM.
24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 .
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝ ，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝ ，求△PDC的面积.
【答案】（1）A
（2）
（3）解：由题意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根据“方倍三角形”定义可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝ ，
∴AD＝2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PE＝ AD＝AE＝1，
∴BE＝ ＝ ，
∴PB＝BE﹣PE＝ ﹣1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC＝ PB＝ ﹣ ，
∴S△PDC＝ PC PD＝ （ ﹣ ）× ＝ ﹣1.
【解析】（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则a2+a2＝2a2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
a2+b2＝c2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足a2+b2＝3，
根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2+3＝2b2，
联立解得 ，
则Rt△ABC的面积为： ；
故答案为： ；
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