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浙教版2022-2023学年八上数学第1章 三角形的初步知识 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图， ， ，欲证 ，则可增加的条件是（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图， 是 的角平分线， 于点E， ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
（第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
5．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF=CD；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
6．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
7．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，若想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；
乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；
丙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求．
对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（ ）
A．甲、丙正确，乙错误 B．甲正确，乙、丙错误
C．三人皆正确 D．甲错误，乙、丙正确
8．如图， ， ， ， ， ，连接 ，点 恰好在 上，则 （ ）
A．60 B．55 C．50 D．无法计算
（第8题） （第9题）
9．有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
10．五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．为说明命题“如果 ，那么 ”是假命题，你举出的一个反例是 .
12．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En＝1度，那∠BEC等于 度。
（第13题）
13．如图，在 △ABC 中，BE平分 ∠ABC ， AE⊥BE 于点E， △BCE 的面积为2，则 △ABC 的面积是 .
14．若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
15．如图，在 中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③ ；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确的是 ．
（第15题） （第16题）
16．如图，在四边形 中， 于点 ，且 平分 ，若 的面积为 ，则 的面积为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）．
18．如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
19．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式 ．
20．如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
21．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
22．如图，在 中， ， 平分 ．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）证明： ．
23．在
中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，
①求证：
≌
；
②求证：
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
24．如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
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浙教版2022-2023学年八上数学第1章 三角形的初步知识 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图， ， ，欲证 ，则可增加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意；
B、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意；
C、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意；
D. ，
，
即 ，
， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ，故本选项符合题意.
故答案为：D.
2．如图， 是 的角平分线， 于点E， ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】如图，过点D作 DF⊥AC ，
， AD是△ABC 的角平分线，
， ，
即
解得
故答案为：C.
3．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由折叠可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴①，
过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，
∴ ， ，
∵BD＝4AD，
∴ ，
∴②，
①－②得： ，
∵CM⊥AB，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
4．如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【解析】过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
5．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF=CD；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
【答案】D
【解析】∵∠BCA=90°，CG⊥AD，
∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，
∴∠E=∠ADC，
∵BE⊥BC，
∴∠EBC=∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），∴①符合题意；
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，
假设DF=CD，则BD= DF=CD，
∴∠CFB=90°，
∵AG⊥CE，
∴∠DGC=90°，
∵AB与DG相交，
∴∠CFB≠∠DGC≠90°，
∴假设不成立，
∴DF≠CD，∴②不符合题意；
∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，
∴BE=CD=BD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠DBF=∠EBF=45°，
在△BEF和△BDF中，
，
∴△BEF≌△BDF（SAS），
∴∠E=∠BDF，又∠E=∠ADC，
∴∠ADC=∠BDF，∴③符合题意；
∵△BEF≌△BDF，
∴EF=DF，
在Rt△DFG中，DF＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中点，∴④不符合题意；
综上可知正确的有①③共两个，
故答案为：D．
6．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【解析】如图，连接AG，GD，并延长GD，
∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC，
∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC）
=∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，
∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°.
故答案为：B.
7．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，若想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；
乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；
丙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求．
对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（ ）
A．甲、丙正确，乙错误 B．甲正确，乙、丙错误
C．三人皆正确 D．甲错误，乙、丙正确
【答案】A
【解析】如图1，
∴∠BAP=∠APB，
∵∠BPC+∠APB=180°
∴∠BPC+∠BAP=180°， ∴甲正确；
如图2，
乙：如图2，延长AC交⊙C于E，连接PE，PD，
∴∠A+∠DPE=∠A+∠DPC+∠CPE=180°，
∵PC=CE，
∴∠CPE=∠E，
∵∠E>∠DPB，
∴∠A+∠BPC=∠A+∠DPC+∠DPB<∠A+∠DPC+∠CPE，
即∠A+∠BPC<180°，
∴乙不正确，
如图，
丙：如图3，过P作PG⊥AB于G，作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，
∴PG=PH，
∵PD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），
∴∠BPG=∠CPH，
∴∠BPC=∠GPH，
∵∠AGP=∠AHP=90°，
∴∠BAC+∠GPH=180°，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∴丙正确；
综上，甲丙正确，乙错误.
故答案为：A.
8．如图， ， ， ， ， ，连接 ，点 恰好在 上，则 （ ）
A．60 B．55 C．50 D．无法计算
【答案】B
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
9．有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【解析】
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
10．五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
【答案】A
【解析】根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，
∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2；
若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3 a2≥1，
∴a3≥3；
若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5 a4≥a3，即a4≤a5 a3＝6；
若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4 a2＝4；
此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除；
∴a3＝3．
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．为说明命题“如果 ，那么 ”是假命题，你举出的一个反例是 .
【答案】 ， （答案不唯一）
【解析】∵ ，
∴ 或 ，
例如： ， 时， ，
∴命题“如果 ，那么 ”是假命题，
故答案为： ， （答案不唯一）.
12．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En＝1度，那∠BEC等于 度。
【答案】2n
【解析】如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝ ∠ABE+ ∠DCE＝ ∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝ ∠ABE1+ ∠DCE1＝ ∠CE1 B＝ ∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝ ∠ABE2+ ∠DCE2＝ ∠CE2B＝ ∠BEC；
…
以此类推，∠En＝ ∠BEC．
∴当∠En＝1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．
13．如图，在 △ABC 中，BE平分 ∠ABC ， AE⊥BE 于点E， △BCE 的面积为2，则 △ABC 的面积是 .
【答案】4
【解析】延长AE交BC于D，
∵BE平分
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在
和
中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴
故答案为：4.
14．若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
【答案】5
【解析】设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
15．如图，在 中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③ ；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确的是 ．
【答案】①②③④
【解析】①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，故①符合题意；②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，故②符合题意；③∠ABD=90°-∠BAC，
∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°-∠C，
∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE，
∴∠F= （∠BAC﹣∠C），故③符合题意；④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，故④符合题意．
故答案是：①②③④．
16．如图，在四边形 中， 于点 ，且 平分 ，若 的面积为 ，则 的面积为 .
【答案】20
【解析】延长BC和AD相交于点M，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACM=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠MAC，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△AMC，
∴BC=CM，
∴ ，
∵ 与 同高，
∴
∵ 与△BDM 同高，
∴
∴
∵ 的面积为 ，
∴ ；
∴
故答案为：20.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）．
【答案】解：如图，先作线段 ，再作 ，再作 的角平分线 ， 与 的交点为C，则 即为所求作的三角形
18．如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
【答案】（1）证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，
∵∠DFB=∠C+∠CDE，
∠DFB=∠E+∠CBE，
∴∠CDE=∠CBE，
∵∠ABD=∠CBE=20°，
∴∠CDE=20°.
19．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式 ．
【答案】（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC= ，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ，
∴∠AED=∠B+∠BAE= ，
∵AD是高线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE= ；
（2）
∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠ ， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE= = ∴∠AED=∠B+∠BAE= = ∵AD是高线， ∴AD⊥BC， ∴∠DAE= = ， 故答案为： ．
20．如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
21．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
【答案】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∵ ，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
即CE＝ CF，
∴CE＝ BD．
22．如图，在 中， ， 平分 ．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）证明： ．
【答案】（1）解：∵AD⊥BC，∠B＝82°，
∴∠BAD＝8°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝58°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝29°，
∴∠DAE＝∠BAE ∠BAD＝29° 8°＝21°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90° ∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ （180° ∠B ∠C），
∴∠DAE＝∠BAE ∠BAD＝ （180° ∠B ∠C） （90° ∠B）＝ （∠B ∠C）．
23．在
中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，
①求证：
≌
；
②求证：
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
【答案】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
24．如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
标.
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