浙教版数学八年级上册 2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习 2022-2023学年(含答案)

2022-2023学年浙教版数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点P，若∠B=x°，则∠APE的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（　　）.
A．20°或70° B．20°、70°或100°
C．40°或100° D．40°、70°或100°
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（　　)
A．36° B．46° C．54° D．72°
4．如图，在 中， 是BC边上的高，点 在AD上，且 ，则△ABE的面积为s，则是△ABE的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=35°，则∠BAD=（　　）
A．110° B．70° C．55° D．35°
6．如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC=BD=DA且∠ECF=27°，则∠ADF的度数为（　　）
A．54° B．91° C．81° D．101°
7．若一个等腰三角形的两边长分别为2、3，则这个等腰三角形的周长为(　　)．
A．7 B．8 C．6或8 D．7或8
8．如图所示，△ABC与△ADE顶点A重合，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AC，AD＝DE，∠B＝∠ADE＝40°，则∠EDC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50
9．等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点D，E，连接CD．有以下四个结论：①∠BCD＝∠ACD＝36°；②AD＝CD＝CB；③△BCD的周长等于AC＋BC；④点D是线段AB的中点．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是　 　海里.
12．一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是　 　．
13．等腰三角形中，一条边长是2cm，另一条边长是3cm，这个等腰三角形的周长是　 　．
14．等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A=　 　°．
16．已知等腰△ABC，AB＝AC，∠ABC＝20°，P为直线上一点，BP＝AB，则∠PAC的度数为　 　．
17．AD为等腰△ABC底边BC上的高，且AD＝8，腰AB的垂直平分线EF交AC于F，M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　 　．
18．如图，在中，AB＝AC，AD，CE是的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是　 　．
19．规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为　 　．
20．若等腰三角形的一个外角为40°，则它的顶角的度数为　 　.
三、解答题
21．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长.
22．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF.求证：AF＝BF.
24．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A.求证：∠1＝∠2
四、综合题
25．已知：如图，，相交于点O，，.
求证：
（1）
（2）.
26．已知：如图，在ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，∠C＝75°.
（1）求∠A的度数；
（2）求∠CBD的度数.
27．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE.
（2）若∠DAE=∠B=28 °，求∠BAD的度数.
28．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】20
12．【答案】20
13．【答案】或
14．【答案】22
15．【答案】74
16．【答案】60°或150°
17．【答案】8
18．【答案】6
19．【答案】45°或15°或75°
20．【答案】140°
21．【答案】解：如答图所示．设AD=DC=x，BC=y，由题意得
或
解得 或
当时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系．
当时，等腰三角形的三边为14，14，5，
∴这个等腰三角形的底边长是5．
22．【答案】解：设∠A=x°，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠A=36°.
23．【答案】证明：连接FC，如图
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，BD=CD
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC
∵FE是AC的垂直平分线
∴AF=FC
∴AF=BF
24．【答案】证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，
∵AF⊥AD，
∴AF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠1＝∠2.
25．【答案】（1）证明：在△ABO与△DCO中，
∵，
∴（AAS）
（2）证明：∵，
∴OB=OC，
∴.
26．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠C=75°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠A=180°-75°-75°=30°，
∴∠A的度数30°；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-30°=45°，
∴∠CBD的度数为45°.
27．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在 △ABD和△ACE中，
∵，
∴ △ABD≌△ACE（SAS）.
（2）解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵ ∠DAE=∠B=28 °，
∴∠C=∠B=28°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴2∠BAD+∠DAE+∠B+∠C=180°，
∴∠BAD==53°.
28．【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．