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浙教版2022-2023学年八上数学第2章专题1等腰三角形 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
2．如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣ m° B．180°﹣2m°
C．30°+ m° D． m°
【答案】D
【解析】∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝
（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝
[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝
[180°﹣（180°﹣m°）]＝
m°，
故答案为：D.
3．如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）.
A．20°或70° B．20°、70°或100°
C．40°或100° D．40°、70°或100°
【答案】D
【解析】当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
.
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
故的度数是：、或.
故答案为：D.
4．如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若，则（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【解析】连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线，相交于点O，，分别与AB，BC交于D，E，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2∠ABC=2×40°＝80°；
故答案为：B.
5．△ABC 中，AB＝AC，过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形，则∠BAC（ ）
A．36°，90°， ， 108°
B．36°，72°， ，90°
C．90°，72°，108°，
D．36°，90°，108°，
【答案】A
【解析】①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC，AD=CD=BD，
设∠B=x°，
则∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°，
∴∠CAD=∠C=x°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
则顶角是90°；
②如图2，
AB=AC=CD，BD=AD，
设∠C=x°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°.
③如图3，
当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB=AC，BC=BD=AD，
设∠BAC=x°，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAC=x°，
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2x°，
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36，
则顶角是36°.
④如图4，
当∠BAC=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合，
AD=BD，BC=DC，
∠BAC=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
则x+3x+3x=180°，
x=( )°
则∠BAC=90°或108°或36°或（ ）°.
故答案为：A.
6．在等腰 中， ，中线 将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（ ）
A．9 B．9或13 C．10 D．10或12
【答案】B
【解析】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得
或
解得
或 ，
经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．
故答案为：B
7．下列说法中：①线段是轴对称图形，②成轴对称的两个图形对称点的连线互相平行，③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，④已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，错误的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①线段是轴对称图形，正确，不符合题意；
②成轴对称的两个图形对称点的连线互相平行，也有可能重合，错误，符合题意；
③等腰三角形的角平分线所在的直线就是底边的垂直平分线，错误，符合题意；
④已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，角度不能确定，错误，符合题意.
故答案为：C.
8．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵在 △ABA1 中，
∠A=70°，AB=A1B，
∴∠BA1A=70°，
∵A1A2=A1B1， ∠BA1A 是 △A1A2B1 的外角，
∴∠B1A2A1===35°.
同理可得，
∠B2A3A2==17.5°，∠B3A4A3==.
∴∠An-1AnBn-1=
故答案为：C.
9．如图，在 中， 、 分别是 和 的平分线， 于P，交 于M， 于Q，交 于N， ， ， ， ，结论① ；② ；③ ；④ .其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP=∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC=∠MPC=90°，
∴∠CAM=∠CMA，
∴AC=CM，
∴AP=PM，
①符合题意；
②同理得：BN=AB=6，
∵CM=AC=5，
∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，
②符合题意；
③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，
由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，
∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，
∴∠MAN=35°，
③符合题意；
④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，
∵AB=6≠AC=5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，
④不符合题意；
所以本题错误的有④，
故答案为：B．
10．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题.如图1，在 中， ，CD平分 ， ， ，求BC的长，解决办法：如图2，在BC边上取点E，使 ，连接DE，可得 且 是等腰三角形，所以BC的长为5，试通过构造等腰三角形解决问题：如图3， 中， ， ，BD平分 ，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（ ， ， ）（ ）
A．a和b B．b和c C．a和c D．a、b和c
【答案】A
【解析】如图，
∵AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠C=80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=40°，∠BDC=180°-∠C-∠2=60°，
在BA上取一点E，使BE=BC=a，连接DE，
在△DEB和△DCB中，
∵，
∴△DEB≌△DCB(SAS)，
∴∠BED=∠C=80°，
∴∠4=∠BDC=60°，
在DA上取一点F，使DF=DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE（SAS），
∴∠5=∠1=40°，BE=EF=a,
∵∠A=20°，
∴∠6=20°，
∴AF=EF=a,
∵BD=DF=b,
∴AD=AF+DF=a+b.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．等腰三角形中，一条边长是2cm，另一条边长是3cm，这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】或
【解析】①当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
②当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
故答案为：或．
12．如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝ .
【答案】72°
【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴ ，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝72°，
故答案为：72°.
13．如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 .
【答案】5
【解析】 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5.
14．在等腰 中， ，过点 作直线 ， 是 上的一点，且 ，则 的度数为 .
【答案】75 或15
【解析】分两种情况：
①当点 在点 的左边时，作 于 ， 于 ，如图1所示：
，
，
等腰 中， ， ，
， ，
，
， ，
，
；
②当点 在点 的右边时，作 于 ， 于 ，如图2所示：
同①得： ，
，
，
，
；
综上所述， 的度数为75 或15 ，
故答案为：75 或15 .
15．如图， 是一角度为 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 、 、 …，且 …，在 、 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 的范围为 .
【答案】0°＜α＜
【解析】∵OE=EF，
∴∠EOF=∠EFO=α，
∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，
∵最多能添加这样的钢管6根，
∴7α＜90°，
∴0°＜α＜
，
故答案为：0°＜α＜
.
16．如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是 ．
【答案】5
【解析】如图，
作点B关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
当P、、C在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．
故答案为：5．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知的两边长a和b满足.
（1）若第三边长为c，求c的取值范围.
（2）若是等腰三角形，求的周长.
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
第三边长为c，求c的取值范围是：，
即.
（2）解：由（1）得，，，
是等腰三角形，当a为腰时，的周长为：9+9+4=22，
当b为腰时，4+4＜9，不能构成三角形，舍去.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE.
（2）若∠DAE=∠B=28 °，求∠BAD的度数.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在 △ABD和△ACE中，
∵，
∴ △ABD≌△ACE（SAS）.
（2）解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵ ∠DAE=∠B=28 °，
∴∠C=∠B=28°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴2∠BAD+∠DAE+∠B+∠C=180°，
∴∠BAD==53°.
19．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【解析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
20．如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BM交AD于G，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．
【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）．
（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△FDB中
，
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，
∵AM＝GM，
∴∠CAD＝∠AGM，
∵∠AGM＝∠BGF，
∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，
∴BG＝BF＝AC，
即BG＝AC．
21．在 中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．
（1）{计算发现}
若∠B＝70°，∠ADE＝80°，则∠BAD＝ ，∠CDE＝ ．
（2）{猜想验证}
当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系是，并证明你的猜想．
（3）{拓展思考}
①当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ ▲ ．
②当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ ▲ ．
【答案】（1）20°；10°
（2）解：∠BAD＝2∠CDE．
理由如下：
设∠B＝x，∠ADE＝y，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝x，
∵∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝y，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）①12.5°；②12.5°或102.5°
【解析】（1）∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∠B＝70°，∠ADE＝80°，
∴∠C＝70°，∠AED＝80°，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝10°，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝20°，
故答案为：20°；10°；
（3）①由（2）知，∠BAD＝2∠CDE，
∴∠CDE＝ ∠BAD＝ ×25°=12.5°，
故答案为：12.5°；
②当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，
分两种情况：
当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；
当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，
∵∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝AE′，
∴∠ADE＝∠AE′D，
由①知，∠CDE′＝12.5°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，
∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D＝90°，
∴∠CDE＝90°+12.5°＝102.5°．
故答案为：12.5°或102.5°．
22．如图1，在 中， ，点 是直线 上一点（不与点 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ，连接 ．设 ．
（1）求证： ．
（2）当点 在线段BC上运动时，
① ，则 ＝ ▲ °．
②猜想 与 之间的数量关系，并对你的结论进行证明．
（3）如图2，当点 在线段 BC的反向延长线上运动时，猜想 与 之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【答案】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，∴∠CAE＝∠BAD，
在△DAB和△EAC中， ，∴△DAB≌△EAC（SAS）
（2）解：①130；
②α+β＝180°，
理由：由（1）知，△DAB≌△EAC，∴∠ABC＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，
∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝90°﹣ α+90°﹣ α＝180°﹣α，
∴α+β＝180°
（3）解：β＝α
【解析】（2）①由（1）知，△DAB≌△EAC，∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝65°+65°＝130°，故答案为130
（3）由（1）知，△DAB≌△EAC，∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠ACB+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
即 β＝α .
23．已知，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BD＝BE，连接CD.
（1）如图1，若∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，求证：AD＝DE；
（2）如图2，点F在AD上，连接EF，若∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，求证：AD＝EF.
【答案】（1）证明：∵BD=BE，
∴∠BDE=∠DEB，
∴∠ADE=∠CED=∠ADC+∠EDC，
∵∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，
∴∠ADC+∠EDC=2∠ADC，
∴∠EDC=∠ADC，
在△ADC和△EDC中，
∴△ADC≌△EDC（AAS）
∴AD=ED；
（2）证明：在BC边上截取BG=BF，
在△BEF和△BDG中，
∴△BEF≌△BDG（SAS）
∴EF=DG，∠BEF=∠BDG，∠BFE=∠BGD，
∴∠ADG=∠CEF，∠AFE=∠CGD=∠CAD，
∵∠CEF＝2∠ADC，
∴∠GDC+∠ADC=∠CEF=2∠ADC，
∴∠GDC=∠ADC，
在△ADC和△GDC中，
∴△ADC≌△GDC（AAS）
∴AD=GD；
∵EF=DG，
∴AD=EF.
24．（定义）
如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”.
（1）（理解）
如图（1），在 中， ，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数.
（2）如图（2），已知 是一个顶角为 的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数.
（3）（应用）
小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”.
①你认为直角三角形的 就是它的“二分等腰线”；
②如图（3），在 中， ，请你在图（3）中帮助小丽画出 的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（4）在 中， 和 分别是 的“三分等腰线”，点 在边 上，点 在 边上，且 ，请根据题意写出 度数的所有可能的值 .
【答案】（1）解：如图（1）所示：
（2）解：如图（2）所示：
（3）解：①斜边上的中线 ；
②作 的垂直平分线，得等腰 ； 作 边上的中线，得等腰 和 . 如图（3）所示，
（4）22°或38°
【解析】（4）如图，当AD=DE时，
∵AD=CD，∠C=33°，
∴∠DAC=∠C=33°，
∵DE=BE，
∴∠EDB=∠B，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，
∵∠C+∠CAD+∠B=180°，
∴∠C+∠C+2∠B+∠B=180°，即66°+3∠B=180°，
即∠B=38°；
当AD=AE时，
∵AD=CD，∠C=33°，
∴∠DAC=∠C=33°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=66°，
∵DE=BE，
∴∠EDB=∠B，∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=3∠B=66°，即∠B=22°，
综上所述，∠B=22°或38°.
故答案为：22°或38°.
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章专题1等腰三角形 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣ m° B．180°﹣2m°
C．30°+ m° D． m°
3．如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）.
A．20°或70° B．20°、70°或100°
C．40°或100° D．40°、70°或100°
4．如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若，则（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
5．△ABC 中，AB＝AC，过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形，则∠BAC（ ）
A．36°，90°， ， 108° B．36°，72°， ，90°
C．90°，72°，108°， D．36°，90°，108°，
6．在等腰 中， ，中线 将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（ ）
A．9 B．9或13 C．10 D．10或12
7．下列说法中：①线段是轴对称图形，②成轴对称的两个图形对称点的连线互相平行，③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，④已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，错误的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， 、 分别是 和 的平分线， 于P，交 于M， 于Q，交 于N， ， ， ， ，结论① ；② ；③ ；④ .其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
（第9题） （第10题）
10．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题.如图1，在 中， ，CD平分 ， ， ，求BC的长，解决办法：如图2，在BC边上取点E，使 ，连接DE，可得 且 是等腰三角形，所以BC的长为5，试通过构造等腰三角形解决问题：如图3， 中， ， ，BD平分 ，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（ ， ， ）（ ）
A．a和b B．b和c C．a和c D．a、b和c
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．等腰三角形中，一条边长是2cm，另一条边长是3cm，这个等腰三角形的周长是 ．
12．如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝ .
（第12题） （第13题） （第15题） （第16题）
13．如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 .
14．在等腰 中， ，过点 作直线 ， 是 上的一点，且 ，则 的度数为 .
15．如图， 是一角度为 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 、 、 …，且 …，在 、 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 的范围为 .
16．如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知的两边长a和b满足.
（1）若第三边长为c，求c的取值范围.
（2）若是等腰三角形，求的周长.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE.
（2）若∠DAE=∠B=28 °，求∠BAD的度数.
19．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
20．如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BM交AD于G，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．
21．在 中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．
（1）{计算发现}
若∠B＝70°，∠ADE＝80°，则∠BAD＝ ，∠CDE＝ ．
（2）{猜想验证}
当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系是，并证明你的猜想．
（3）{拓展思考}
①当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ ▲ ．
②当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ ▲ ．
22．如图1，在 中， ，点 是直线 上一点（不与点 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ，连接 ．设 ．
（1）求证： ．
（2）当点 在线段BC上运动时，
① ，则 ＝ ▲ °．
②猜想 与 之间的数量关系，并对你的结论进行证明．
（3）如图2，当点 在线段 BC的反向延长线上运动时，猜想 与 之间的数量关系，并直接写出你的结论．
23．已知，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BD＝BE，连接CD.
（1）如图1，若∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，求证：AD＝DE；
（2）如图2，点F在AD上，连接EF，若∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，求证：AD＝EF.
24．（定义）
如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”.
（1）（理解）
如图（1），在 中， ，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数.
（2）如图（2），已知 是一个顶角为 的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数.
（3）（应用）
小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”.
①你认为直角三角形的 就是它的“二分等腰线”；
②如图（3），在 中， ，请你在图（3）中帮助小丽画出 的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（4）在 中， 和 分别是 的“三分等腰线”，点 在边 上，点 在 边上，且 ，请根据题意写出 度数的所有可能的值 .
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