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浙教版2022-2023学年八上数学第2章专题1等腰三角形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（ )
A．36° B．46° C．54° D．72°
（第1题） （第2题）
2．如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
3．等腰三角形一边长5cm，另一边长2cm，则该三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．12cm或9cm D．7cm
4．若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或或
5．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE；( )
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
（第5题） （第6题） （第7题）
6．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是（ ）
A．14° B．13° C．12° D．11°
7．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD、CF，则图中所有的等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（ ）
A．36° B．54° C．72°或36° D．54°或126°
9．如图，已知∠A=10°，在∠A两边上分别作点，并连接这些点，使 AB=BC=CD=DE……一直作下去，那么图中以这些线段为腰长的等腰三角形最多能找到（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
（第9题） （第10题）
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点.AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD＝DF；③AD＋DE= BE；④AB＋BC＝2AE.其中正确结论的序号是（ ）
A．只有①②③ B．只有②③ C．只有①②④ D．只有①④
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A= °．
（第11题） （第12题）
12．已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 °．
13．在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则 ．
14．如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝ °；第n个三角形的内角∠ABnCn＝ °．
15．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，当AB、BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝45°时，连结BE，∠ABE＝70°，延长BC交射线AE于D，AB不动，当BC绕点B顺时针转动 度或逆时针转动 度时，△BDE是等腰三角形.
（第15题） （第16题）
16．已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF 则AD的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知等腰△ABC，解答以下问题：
（1）若有一个内角为40°，求这个等腰三角形另外两个角的度数；
（2）若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和2a+1，求三边的长
18．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分判交BC于点E、F．
（1）如图，∠B=∠C=20°，求∠EAF的度数；
（2）如图，AB≠AC，且．
①若∠BAC=130°，则∠EAF= °；若∠BAC=n°，则∠EAF= °；
②当∠BAC= °时，AE⊥AF；
③若BC=a，则△AEF的周长为 ．（用含a的式子表示）
19．如图1所示，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 或 的延长线于点 ．
（1）如图1所示，若 ，求 的大小；
（2）如图2所示，如果将（1）中的 的度数改为 ，其余条件不变，再求 的大小；
（3）你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．
20．在中，，点E在AB上，点D在BC上，，AD与CE相交于点F．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图2中所有的等腰三角形．
21．如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．
（1）试说明：；
（2）当时，求∠DEF的度数；
（3）猜想：写出当∠A为多少度时，．
22．如图，在等腰 ABC中，AB=AC=6cm，∠B=30°，点D在BC边上由点C向点B匀速运动（点D不与点B，C重合），速度为2cm/s，连接AD，作∠ADE=30°，DE交线段AC于点E．
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA=75°，则∠BAD= °．
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD= cm．此时 ABD和 DCE是否全等，请说明理由．
（3）在点D运动过程中， ADE的形状也在变化．当 ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为 ．
23．综合与实践：
问题情境：
已知在△ABC中， ， ，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且 ，设 .
（1）如图1，若点D在BC边上，当 时，求∠BAD和∠CDE的度数；
（2）拓广探索：
如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；
（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系.
24．如图，在△ABC中，AB=AC，D在边AC上，且BD=DA=BC．
（1）如图1，填空：∠A= ．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章专题1等腰三角形 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（ )
A．36° B．46° C．54° D．72°
【答案】A
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C==72°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=36°.
故答案为：A.
2．如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】如图，分是三种情况，
当AP=AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1、P2，
当CA=CP时，以C为圆心， CA长为半径画圆，交直线l于点P3、 P4.
当PA=PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，
∵直线l是边AB的垂直平分线，
∴直线l上任意一点(与AB的交点除外)与A B构成的三角形均为等腰三角形，
∴满足条件的点P的个数共有5个，
故答案为：C．
3．等腰三角形一边长5cm，另一边长2cm，则该三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．12cm或9cm D．7cm
【答案】B
【解析】由于该三角形是等腰三角形，
∴第三边长为5cm或2cm，
又∵三角形中两边之和大于第三边，
∴第三边长为5cm，
故该三角形的周长为cm，
故答案为：B．
4．若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或或
【答案】C
【解析】由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且，
情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，
此时可爱角为∠A=72°，
情况二：当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴4∠C=180°，即∠C=45°，
此时可爱角为∠A=45°，
故答案为：C．
5．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE；( )
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】C
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
∴BD与CE不一定相等，故④不符合题意．
故答案为：C．
6．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是（ ）
A．14° B．13° C．12° D．11°
【答案】C
【解析】∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，
∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，
∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，
∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，
…，
∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，
∴∠AP7P8=∠AP8P7=7x，
在△AP7P8中， ∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180 ，
即x+7x+7x=180 ，
解得x=12 ，
即∠A=12 .
故答案为：C.
7．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD、CF，则图中所有的等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵将△CDE沿DE折叠，
∴CD=DF，EF=EC，
∴BD=CD=DF，
∴△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∴∠FAE=∠AFE，
∴EF=AE，
∴△AEF是等腰三角形，
∴图中所有的等腰三角形的个数为4．
故答案为：D．
8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（ ）
A．36° B．54° C．72°或36° D．54°或126°
【答案】D
【解析】【解答】①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=36°，
∴∠A=54°，
即顶角的度数为54°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=36°，
∴∠BAD=54°，
∴∠BAC=126°．
故答案为：D．
9．如图，已知∠A=10°，在∠A两边上分别作点，并连接这些点，使 AB=BC=CD=DE……一直作下去，那么图中以这些线段为腰长的等腰三角形最多能找到（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【解析】如图，取∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8等，
∵AB=AC，∴∠1=∠2，
∴∠3=∠1+∠2=2∠A=20°，
∵BC=CD，∴∠4=∠3=20°，
∴∠5=∠4+∠1=30°，
同理∠7=∠6+∠1=30°+10°=40°，
∠9=∠8+∠1=40°+10°=50°，
∠11=∠10+10°=60°，
∠13=∠12+10°=70°，
∠15=∠14+10°=80°，
∠17=∠16+10°=90°，
这时，再无相等线段可作为等腰三角形的腰长，
综上，共有8个.
故答案为：B.
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点.AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD＝DF；③AD＋DE= BE；④AB＋BC＝2AE.其中正确结论的序号是（ ）
A．只有①②③ B．只有②③ C．只有①②④ D．只有①④
【答案】A
【解析】①延长BA、CF，交于点H，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，故①正确；
②由①知，F为CH中点，又 为直角三角形
故
∴
∵
∴
∵
∴
又BF为 的平分线
∴
∴
∴
在 中，
∴，故② 正确；
③过E作 交AF于点M，由②知，CA为∠DAF的平分线
∴
△EMF为等腰直角三角形
∴
∴，故③ 正确；
④过E作 于点N，可知
在 中，
∴
即 ，而
∴
故
∴ ，故④错误.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A= °．
【答案】74
【解析】连接BD，如图所示：
∵DE垂直平分BC，AB=CD，
∴BD=CD=AB，
∵∠C=37°，
∴∠DBC=∠C=37°，
∴∠ADB=2∠C=74°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=74°，
故答案为74．
12．已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 °．
【答案】70或110
【解析】①
∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；
②
∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．
故答案为：70或110．
13．在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则 ．
【答案】66°或24°
【解析】如图，由题意得：是的垂直平分线，
如图，由题意得：是的垂直平分线，
综上：或
故答案为：或
14．如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝ °；第n个三角形的内角∠ABnCn＝ °．
【答案】40；
【解析】△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，
∴∠C1B1A＝ ，
∵B1B2＝B1C2，∠C1B1A是△B1B2C2的外角，
∴∠B1B2C2＝ ；
同理可得，
∠C3B3B2＝20°，∠C4B3B2＝10°，
∴∠ABnCn＝．
故答案为：40，．
15．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，当AB、BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝45°时，连结BE，∠ABE＝70°，延长BC交射线AE于D，AB不动，当BC绕点B顺时针转动 度或逆时针转动 度时，△BDE是等腰三角形.
【答案】25或40或55；50
【解析】∵∠BAE＝60°，∠ABE＝70°，
∴∠E＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝50°，
∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝70°﹣45°＝25°.
当BC绕点B顺时针转动，分三种情况：
若BD＝DE，如图，
∴∠DBE＝∠E＝50°，
∴旋转角∠CBD＝50°﹣25°＝25°.
若BD＝BE，如图，
∴∠DBE＝80°，
∴旋转角∠CBD＝80°﹣25°＝55°；
若BE＝DE，如图，
∴∠DBE＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴旋转角∠CBD＝65°﹣25°＝40°；
∴当BC绕点B顺时针转动25°或40°或55°时，△BDE是等腰三角形.
②当BC绕点B逆时针转动，如图，
∵∠AEB＝50°，
∴∠BED＝130°，
∴△BED为等腰三角形时，BE＝DE，
∴∠EBD＝25°，
∴旋转角∠CBD＝25°+25°＝50°.
故答案为：25或40或55；50.
16．已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF 则AD的长为 .
【答案】8
【解析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK.
∵EB=ET，
∴∠B=∠ETB，
∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，
∴∠AET=∠2，
∵AE=CD，ET=CK，
∴△AET≌△DCK（SAS），
∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，
∴∠ETB=∠DKB，
∴∠B=∠DKB，
∴DB=DK，
∴BD=AT，
∴AD=BT，
∵BT=2BF=8，
∴AD=8，
故答案为：8.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知等腰△ABC，解答以下问题：
（1）若有一个内角为40°，求这个等腰三角形另外两个角的度数；
（2）若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和2a+1，求三边的长
【答案】（1）解：当40°为底角时，则另外一个底角也为 ，顶角为
当40°为顶角时，则两个底角为
故答案为70°，70°；40°，100°；
（2）当腰长为 时，底边为 ， ，不满足三角形三边条件，舍去；
当腰长为 时，由题意可得： ，解得 ；
此时三边长分别为11、11、5，符合题意，
故答案为11、11、5．
18．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分判交BC于点E、F．
（1）如图，∠B=∠C=20°，求∠EAF的度数；
（2）如图，AB≠AC，且．
①若∠BAC=130°，则∠EAF= °；若∠BAC=n°，则∠EAF= °；
②当∠BAC= °时，AE⊥AF；
③若BC=a，则△AEF的周长为 ．（用含a的式子表示）
【答案】（1）解：∵∠B=∠C=20°，
∴∠BAC=180°-20°-20°=140°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴∠B=∠BAE=20°，∠C=∠CAF=20°，
∴∠EAF=140°-20°-20°=100°；
（2）80；（2n-180）；135；a
【解析】（2）①∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-130°=50°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=50°，
∴∠EAF=130°-50°=80°．
同理，∵∠BAC=n°，
∴∠B+∠C=180°-n°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∴∠BAE+∠CAF=180°-n°，
∴∠EAF=n°-180°+n°=（2n-180）°．
故答案为：80，（2n-180）°；
②设∠BAC=x°，
由①得，∠EAF=（2x-180）°，
∵AE⊥AF，
∴2x-180=90，
x=135．
故答案为：135；
③∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=a．
故答案为：a．
19．如图1所示，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 或 的延长线于点 ．
（1）如图1所示，若 ，求 的大小；
（2）如图2所示，如果将（1）中的 的度数改为 ，其余条件不变，再求 的大小；
（3）你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）同理（1）可得： ．
（3）猜想规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边延长线的夹角等于顶角的一半，即 ．
理由：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
20．在中，，点E在AB上，点D在BC上，，AD与CE相交于点F．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图2中所有的等腰三角形．
【答案】（1）证明：∵AB=BC
∴
在和△CEB中
∴
∴
∴，即
∴
（2）解：等腰三角形有，，，．
【解析】（2）∵
∴是等腰三角形；
∵
∴是等腰三角形；
∵
∴是等腰三角形；
由（1）知
∴
∵
∴
∴∴是等腰三角形；
所以，等腰三角形有，，，．
21．如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．
（1）试说明：；
（2）当时，求∠DEF的度数；
（3）猜想：写出当∠A为多少度时，．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
在和中，，
，
．
（2）解：，
，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设当时，，
，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∴，
，
，
解得，
即当时，
22．如图，在等腰 ABC中，AB=AC=6cm，∠B=30°，点D在BC边上由点C向点B匀速运动（点D不与点B，C重合），速度为2cm/s，连接AD，作∠ADE=30°，DE交线段AC于点E．
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA=75°，则∠BAD= °．
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD= cm．此时 ABD和 DCE是否全等，请说明理由．
（3）在点D运动过程中， ADE的形状也在变化．当 ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为 ．
【答案】（1）大；75
（2）解：6 ． 理由：∵点D匀速运动的速度为2cm/s， ∴ ， ∴ ． ∵ ． ∴ ． 在 中， ． 又∵ ． ∴ ． 在 和 中， ∴ ．
（3）60°或105°
【解析】（1）由三角形外角的性质可得：
逐渐增大，所以 变大
由三角形内角和性质可得：
故答案为：大；75．
（3） ADE是等腰三角形，分三种情况
当 时，
∴
∵ ，点D不与点B，C重合
∴
当 时，
∴
∴
当 时，
∴
∴
∴
综上所得： 为60°或105°．
23．综合与实践：
问题情境：
已知在△ABC中， ， ，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且 ，设 .
（1）如图1，若点D在BC边上，当 时，求∠BAD和∠CDE的度数；
（2）拓广探索：
如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；
（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：如图1， ，
∵在△ABC中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠ADE=∠AED，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
理由如下：
如图2，在△ABC中， ，
∴ ，
在△ADE中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）
【解析】（3） ，
如图3，在△ABC中， ，
∴ ，
在△ADE中， ，
∴ ，
∴∠BAD=100°+n，
∴ ，
∴ ，
∴ .
24．如图，在△ABC中，AB=AC，D在边AC上，且BD=DA=BC．
（1）如图1，填空：∠A= ．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）36°
（2）①∵BD=AD，
∴∠A=∠ABD
∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠BDC=2∠ABD
∵BD=BC，
∴∠BCD=2∠ABD
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2∠ABD，
∴∠ABD=∠CBD
∵MH⊥BD于H，
∴∠NHB=∠EHB
在△NBH与△EBH中
∴△NHB≌△EBH（ASA），
∴BN=BE，
∴△BNE为等腰三角形；
②AN+CE=CD
∵AB=AC
∴AN+BN=AD+DC
∵BN=BE，
∴AN+BE=AD+DC，
∴AN+BC+CE=AD+DC
∵BC=AD，
∴AN+CE=CD.
【解析】（1）∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠A=∠DBC，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∴∠A=∠DBA=∠DBC= ∠ABC= ∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=36°，∠C=72°；
故答案为：36°；
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