第1章 二次函数
— 考点突破 —
考点1：二次函数的定义
1、下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x
C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2
2、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
3、若y＝ax2+x﹣2+a是y关于x的二次函数，则a的取值范围是 ．
考点2：二次函数的图象
1、某同学为了画抛物线y＝2x2+bx+c的图象，取自变量的四个值x1，x2，x3，x4，并求得其对应的y值分别为y1＝4，y2＝0，y3＝﹣1，y4＝2．经检验，其中恰有一个y值计算错误，若x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3＝1，则算错的y值是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
2、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
3、如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
考点3：二次函数图象与系数的关系
1、在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣＜a≤﹣或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣
C．≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥1
2、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、在平面直角坐标系xOy中，矩形四个顶点坐标分别为（1，1），（1，2），（3，1），（3，2），若抛物线y＝ax2的图象与矩形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ．
4、已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，且s＜b，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示）
考点4：二次函数图象上点的坐标特征
1、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、若二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论：
①a＞0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点（1，﹣3）；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是＜a＜．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
3、如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 ．
4、已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
考点5：二次函数图象与几何变换
1、若抛物线y＝（x+4）2﹣1平移得到y＝x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
2、将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
3、把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
4、如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
考点6：二次函数的性质
1、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
2、抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
3、如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
4、若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
考点7：二次函数的最值
1、已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（ ）
A．16 B．15 C．9 D．7
2、已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3、如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
4、若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
5、如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6）．
（1）求b和c的值；
（2）点M（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值．
考点8：待定系数法求二次函数解析式
1、一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝﹣2（x﹣2）2+4
C．y＝2（x+2）2﹣4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
2、设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式 ．
3、请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
考点9：二次函数的三种形式
1、用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
2、把二次函数y＝x2+2x﹣4配方成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
3、将二次函数y＝x2+4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝ ．
4、把二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y＜0时x的取值范围，并画出图象．
考点10：二次函数与不等式（组）
1、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是 ．
2、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 ．
3、已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
考点11：根据实际问题列二次函数关系式
1、据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
2、长方形的周长为12cm，其中一边为x（0＜x＜6）cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（ ）
A．y＝（12﹣x）2 B．y＝（6﹣x）2 C．y＝x（12﹣x） D．y＝x（6﹣x）
3、退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
考点12：二次函数的应用
1、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
2、五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
3、如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过 米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
5、用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y．
（1）则正方形的周长表示为 ；长方形的周长表示 ．由此可得x、y、m之间的等量关系为 ．
（2）比较正方形面积m2和长方形面积xy的大小．
【尝试】（用“＜”，“＝”或“＞”填空）
①当x＝4，y＝2时，xy m2；
②当x＝1，y＝3时，xy m2；
③当x＝y＝3时，xy m2；
【猜想验证】对于任意实数x，y，代数式xy与m2有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明．
【应用】当xy＝1时，请直接写出x+y的最小值．
考点13：二次函数综合题
1、如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
3、已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的是 ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．
考点14：抛物线与x轴的交点
1、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2，有下列结论：①c＜0；②4a+b＝0；③4a+c＞2b；④若y＞0，则﹣1＜x＜5；⑤关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等的实数根；⑥若M（3，y1）与N（4，y2）是此抛物线上两点，则y1＞y2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点是（﹣2，3），与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间．下列四个结论：①abc＜0；②一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间；③点P1（﹣7，y1），P2（π，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④b2+2b＞4ac．其中正确的结论是 （填写序号）．
3、抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
考点15：图象法求一元二次方程的近似根
1、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
2、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：
①对称轴为直线x＝﹣2；
②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；
④0＜a＜1；
其中结论正确结论是 （填写序号）．第1章 二次函数
— 考点突破 —
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考点1：二次函数的定义
1、下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x
C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2
［思路分析］根据二次函数的定义判断即可．
［答案详解］解：A、当a＝0时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
［思路分析］直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．
［答案详解］解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1），
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
3、若y＝ax2+x﹣2+a是y关于x的二次函数，则a的取值范围是 ．
［思路分析］根据二次函数的定义，可得答案．
［答案详解］解：由题意，得
a≠0，
故答案为：a≠0．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
考点2：二次函数的图象
1、某同学为了画抛物线y＝2x2+bx+c的图象，取自变量的四个值x1，x2，x3，x4，并求得其对应的y值分别为y1＝4，y2＝0，y3＝﹣1，y4＝2．经检验，其中恰有一个y值计算错误，若x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3＝1，则算错的y值是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
［思路分析］因为x的值是等间隔增加，则求出相邻两数的差，以及再求相邻两组差的差，应该相等，据此可以得出答案．
［答案详解］解：∵x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x7﹣x6＝1，
∴y2﹣y1＝2x22+bx2+c﹣（2x12+bx1+c）
＝2（x2﹣x1）（x2+x1）+b（x2﹣x1）
＝2（x2+x1）+b，
∴（y3﹣y2）﹣（y2﹣y1）＝2（x3﹣x1）＝4．
∵y2﹣y1＝﹣4，
y3﹣y2＝﹣1，
y4﹣y3＝3，
∴（y3﹣y2）﹣（y2﹣y1）＝3≠4，
（y4﹣y3）﹣（y3﹣y2）＝4，
由于y1参加运算的结果，可知y1错了，
故选：A．
［经验总结］本题主要考查二次函数的性质和图象，此题是一道难题，求相邻两数的差，以及再求相邻两组差的差是此题的关键．
2、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］分类讨论正比例函数和二次函数的图像性质即可得出正确答案．
［答案详解］解：当a＞0时，y＝ax的函数图像经过原点和一，三象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向下，与y轴交于正半轴．
当a＜0时，y＝ax函数图像经过原点和二，四象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向上，与y轴交于负半轴．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查了正比例函数和二次函数的图像性质以及分析能力和读图能力，要掌握他们的函数性质才能灵活解题．
3、如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
［思路分析］根据二次函数图象得出其对称轴和与x轴交点，进而得出二次函数解析式，即可求出最小值．
［答案详解］解：由函数图象可得：﹣＝﹣＝﹣1，
解得：b＝2，
∵图象经过（﹣3，0）点，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3，
则二次函数的最小值为：＝＝﹣4．
故答案为：﹣4．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的最值以及二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解题关键．
考点3：二次函数图象与系数的关系
1、在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣＜a≤﹣或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣
C．≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥1
［思路分析］分两种情况讨论：当a＞0时，，求出a的取值范围；当a＜0时，求出直线AB的解析式，联立方程组，由判别式Δ＝+4a＞0和函数经过点（﹣2，3）结合求出a的取值范围．
［答案详解］解：当a＞0时，x＝﹣2时y≥3，x＝2时，y≥1，
∴，
解得a≥1，
当a＜0时，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2，
联立方程组，
∴ax2﹣x﹣1＝0，
∴Δ＝+4a＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
当x＝﹣2时，y＝4a+4+1＝3，
∴a＝﹣，此时抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴﹣＜a≤﹣，
综上所述：a≥1或﹣＜a≤﹣时，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．
2、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
3、在平面直角坐标系xOy中，矩形四个顶点坐标分别为（1，1），（1，2），（3，1），（3，2），若抛物线y＝ax2的图象与矩形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ．
［思路分析］根据a值对抛物线开口的作用进行判断即可．
［答案详解］由题意得：抛物线过点（1，2）时开口最小，过点（3，1）时，开口最大．
当抛物线过点（1，2）时，2＝a×1．
∴a＝2．
当抛物线过点（3，1）时，1＝9a，
∴a＝．
∴≤a≤2．
过答案为：≤a≤2．
［经验总结］本题考查二次函数的图象，确定a 取最值时的条件是求解本题的关键．
4、已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，且s＜b，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示）
［思路分析］（1）求出抛物线的对称轴的解析式，再根据二次函数的性质，列出k的不等式，进而求得k的最小整数值；
（2）代入M（k+2，s），N（a，b）求得b与s的解析式，再由s＜b列出不等式，根据二次函数与不等式的关系求得结果便可．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k＝（x﹣k）2﹣k，
∴对称轴为x＝k，
∴当x≤k时，y2随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，
∴k≥1，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1；
（2）y＝y2﹣y1＝x2﹣2kx+k2﹣k+x＝x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k，
∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，
∴s＝（k+2）2﹣（2k﹣1）（k+2）+k2﹣k＝6，
b＝a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k，
∵s＜b，
∴a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＞6，
∵当a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＝6时，a＝k﹣3或k+2，
∴a＜k﹣3或a＞k+2，
故答案为：a＜k﹣3或a＞k+2．
［经验总结］本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与不等式的关系，难度适中，关键是掌握二次函数的性质．
考点4：二次函数图象上点的坐标特征
1、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］由对称轴为x＝即可判断①；根据点（，y1），（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，对称轴x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．
［答案详解］解：∵对称轴x＝﹣＝，
∴b＝﹣3a，
∴3a+b＝0，①正确；
∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，
∴y1＜y2，故②正确；
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵对称轴x＝﹣＝，
∴a＝﹣b，
∴﹣b﹣b+c＝0，
∴3c＝4b，
∴4b﹣3c＝0，故③错误；
∵对称轴x＝，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
2、若二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论：
①a＞0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点（1，﹣3）；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是＜a＜．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
［思路分析］求得顶点坐标，根据题意即可判断①正确；根据二次函数的性质即可判断②错误；二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的顶点（1，﹣3），即可判断③错误；根据题意x＝3时y≤0，x＝4时y＞0，即可判断④正确．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，
∴顶点为（1，﹣3），在x轴的下方，
∴函数的图象与x轴交于A、B两点，
∴抛物线开口向上，a＞0，故①正确；
∴x＞1时，y随x的增大而增大，故②错误；
由题意可知当a＞0，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象一定经过点（1，﹣3），故③正确；
∵线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，
∴x＝3时y≤0，x＝4时y＞0，
∴，
解得＜a≤，故④错误；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
3、如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 ．
［思路分析］根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
［答案详解］解：由点A（0，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，得
A（0，3）与B（m，3）关于对称轴x＝2对称，
m﹣2＝2﹣0，
解得m＝4，
故答案为：4．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣2＝2﹣0是解题关键．
4、已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
［思路分析］（1）利用待定系数法求函数解析式，然后将函数解析式化为顶点式求其顶点坐标；
（2）利用等高三角形面积之比为底边的比，结合平行线分线段成比例定理求解．
［答案详解］解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入函数解析式，
可得，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
又∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）如图，过点D作DM⊥y轴，
由y＝﹣x2﹣2x+3，当x＝0时，y＝3，
∴C点坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
可得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴，，
又∵DM⊥y轴，
∴DM∥OB，
∴，
∴，
解得：OM＝2，
在y＝x+3中，当y＝2时，x＝﹣1，
∴D点坐标为（﹣1，2）．
［经验总结］本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数基本知识、平行线分线段成比例定理等相关知识，理解相关性质定理，利用数形结合思想解题是关键．
考点5：二次函数图象与几何变换
1、若抛物线y＝（x+4）2﹣1平移得到y＝x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
［思路分析］确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
［答案详解］解：抛物线y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），
y＝x2的顶点坐标为（0，0），
抛物线y＝（x+4）2﹣1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
2、将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
［思路分析］根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
［经验总结］此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
3、把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
［思路分析］可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
［答案详解］解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
［经验总结］本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4、如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
［思路分析］（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
［答案详解］解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x ﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x ﹣4x．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
考点6：二次函数的性质
1、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
［思路分析］分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
［答案详解］解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
2、抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
［思路分析］根据二次函数的性质判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
3、如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
［思路分析］根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围．
［答案详解］解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故答案为：＜t＜1．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．
4、若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
［思路分析］由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．
［答案详解］解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
考点7：二次函数的最值
1、已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（ ）
A．16 B．15 C．9 D．7
［思路分析］用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入y整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．
［答案详解］解：∵a+b＝3，c﹣3a＝﹣6，
∴b＝3﹣a，c＝3a﹣6，
∵b，c都是非负数，
∴，
解不等式①得，a≤3，
解不等式②得，a≥2，
∴2≤a≤3，
y＝a2+b+c＝a2+（3﹣a）+3a﹣6，
＝a2+2a﹣3，
∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，
∴a＝2时，最小值n＝22+2×2﹣3＝5，
a＝3时，最大值m＝32+2×3﹣3＝12，
∴m﹣n＝12﹣5＝7．
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出y关于a的函数关系式．
2、已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
［思路分析］由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．
［答案详解］解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
［经验总结］此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
3、如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
［思路分析］由已知可证明△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），再证明四边形EFGH是正方形，设AE＝x，则AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，在Rt△EAH中，由勾股定理得EH2＝x2+（4﹣x）2，所以S四边形EFGH＝EH2＝2（x﹣2）2+8，可知当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
［答案详解］解：设AE＝x，则AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵正方形ABCD，边长为4，
∴AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠EFB+∠GFC＝90°，∠FGC+∠HGD＝90°，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，
∵EF＝EH＝HG＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
在Rt△EAH中，EH2＝AE2+AH2，即EH2＝x2+（4﹣x）2，
∴S四边形EFGH＝EH2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
故答案为8．
［经验总结］本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质、二次函数求最值的方法是解题的关键．
4、若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
［思路分析］由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
［答案详解］解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为：s≥9．
［经验总结］此题考查了非负数的性质，用一个未知数表示另一个未知数，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是关键．
5、如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6）．
（1）求b和c的值；
（2）点M（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值．
［思路分析］（1）待定系数法求解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴为x＝﹣1，且此时y＝2，所以当m＞﹣1时，x＝m时取得最小值，代入即可求出m的值；当当m＜﹣1＜m+3时，该函数的最小值为2≠11；当m+3＜﹣1时，x＝m+3时取得最小值，代入即可求出m的值．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6），
∴，
解之得．
（2）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴该函数图象开口向上，当x＝﹣1时取得最小值2，
∵当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，
∴当m＞﹣1时，m2+2m+3＝11，得m1＝﹣4（舍去），m2＝2；
当m＜﹣1＜m+3时，该函数的最小值为2，不符合题意；
当m+3＜﹣1时，（m+3）2+2（m+3）+3＝11，得m3＝﹣1（舍去），m4＝﹣7；
综上，m的值是2或﹣7．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，以对称轴为分界点分别讨论取得最小值的情况是解决本题的关键．
考点8：待定系数法求二次函数解析式
1、一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝﹣2（x﹣2）2+4
C．y＝2（x+2）2﹣4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
［思路分析］根据二次函数的顶点式求解析式．
［答案详解］解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），
∴设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，
把（0，﹣4）代入得a＝﹣2，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．
故选：B．
［经验总结］主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k或y＝a（x+m）2+k
2、设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式 ．
［思路分析］先根据抛物线的解析式求出其顶点D和抛物线与y轴的交点C的坐标．然后根据C的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将D点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），
设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，
∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数解析式，属于新定义题，难度适中，关键是正确理解题意再用待定系数法求函数解析式．
3、请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
［思路分析］根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c＝2即可．
［答案详解］解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．
［经验总结］本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
考点9：二次函数的三种形式
1、用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
［思路分析］直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
［答案详解］解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
2、把二次函数y＝x2+2x﹣4配方成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
［思路分析］由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
［答案详解］解：y＝x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣4﹣1＝（x+1）2﹣5．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
3、将二次函数y＝x2+4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝ ．
［思路分析］利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
［答案详解］解：y＝x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5．
故答案为：y＝（x+2）2﹣5．
［经验总结］本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
4、把二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y＜0时x的取值范围，并画出图象．
［思路分析］利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．根据顶点式方程找出该图象的顶点坐标和对称轴方程．画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴（y轴）的交点，再根据图形求y＜0时x的取值范围．
［答案详解］解：y＝x2﹣3x+4＝（x﹣3）2﹣，
则顶点坐标（3，﹣），对称轴方程x＝3，
当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，x＝4或x＝2，
所以该函数图象与x轴的交点是（4，0）、（2，0）；与y轴的交点是（0，4）．
其图象如图所示：
根据图象知，当y＜0时，2＜x＜4．
［经验总结］本题综合考查了二次 函数的三种形式、二次函数的图象与性质．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
考点10：二次函数与不等式（组）
1、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是 ．
［思路分析］根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，
∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．
故答案为﹣5≤x≤2．
［经验总结］本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．
2、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 ．
［思路分析］根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c＞n的解集，本题得以解决．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3，
∴ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
［经验总结］本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3、已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
［思路分析］（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；
（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．
［答案详解］解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
∴，，
解得，，
∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．
②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．
（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），
∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），
当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，
当抛物线顶点在线段AB下方时，
当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a＝，
当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a＝，
∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为≤a＜或a＝3．
［经验总结］本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
考点11：根据实际问题列二次函数关系式
1、据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
［思路分析］根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．
［答案详解］解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，
故选：C．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键．
2、长方形的周长为12cm，其中一边为x（0＜x＜6）cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（ ）
A．y＝（12﹣x）2 B．y＝（6﹣x）2 C．y＝x（12﹣x） D．y＝x（6﹣x）
［思路分析］由长方形的周长，可知一组邻边和，由一边长为xcm，可知另一边为（6﹣x）cm，则可表示面积．
［答案详解］解：∵长方形的周长为12cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（6﹣x）cm，
面积y＝x（6﹣x），
故选：D．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，理解长方形的边长、周长以及面积之间的关系是解题的关键．
3、退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
［思路分析］若和墙相邻的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（30+1﹣2x）米，利用矩形的面积计算公式，即可得出y与x之间的函数关系式，再结合院墙长15米及平行于墙的一边长非负，即可得出x的取值范围．
［答案详解］解：若和墙相邻的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（30+1﹣2x）米，
依题意得：y＝x（30+1﹣2x）＝﹣2x2+31x．
又∵，
∴8≤x＜15.5，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）．
故答案为：y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
考点12：二次函数的应用
1、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
［思路分析］首先建立平面直角坐标系，可设函数关系式为y＝ax2．根据AB＝1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），利用待定系数法即可求解析式，再把y＝﹣0.5代入进而得出答案．
［答案详解］解：建立如图所示的坐标系，
设函数关系式为y＝ax2，
A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），
那么﹣2＝0.8×0.8×a，
即a＝﹣，
故y＝﹣x2；
当y＝﹣0.5时，﹣0.5＝﹣x2，
解得x＝±0.4，
∴水面的宽度为0.8m．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题中的信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
2、五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
［思路分析］（1）由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可．
（2）根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米．
（3）观察图得出，抛物线的顶点对应的高度为45米，与42米不符．
（4）从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为3米，即可当得到结论．
［答案详解］解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟.9﹣3＝6．
∴A选项正确．
由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．
∴B选项正确．
抛物线的顶点对应的高度为45米．
∴C选项错误，符合题意．
摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．
∴D选项正确．
故选：C．
［经验总结］本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．
3、如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
［思路分析］先设抛物线的解析式为y＝ax2，设出点D坐标（5，b），继而得出B（10，b﹣3），代入解析式后可求解得出抛物线的解析式，由b的值可得水面CD到拱顶的距离，进而求出时间
［答案详解］解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得，
∴y＝﹣x2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
［经验总结］本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过 米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
［思路分析］以拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立平面直角坐标系．根据题中数据求出抛物线解析式．桥下水面的宽度不得小于18米，即求当x＝9时y的值，然后根据正常水位进行解答．
［答案详解］解：设抛物线解析式为y＝ax2，
把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4＝a×102，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2，把x＝9代入，得：
y＝﹣＝﹣3.24，
此时水深＝4+2﹣3.24＝2.76米．
［经验总结］本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
5、用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y．
（1）则正方形的周长表示为 ；长方形的周长表示 ．由此可得x、y、m之间的等量关系为 ．
（2）比较正方形面积m2和长方形面积xy的大小．
【尝试】（用“＜”，“＝”或“＞”填空）
①当x＝4，y＝2时，xy m2；
②当x＝1，y＝3时，xy m2；
③当x＝y＝3时，xy m2；
【猜想验证】对于任意实数x，y，代数式xy与m2有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明．
【应用】当xy＝1时，请直接写出x+y的最小值．
［思路分析］（1）根据周长公式表示周长．
（2）通过计算比较大小．
猜想验证：先猜想，再用公式验证．
应用：利用猜想中的结论求最值．
［答案详解］解：（1）∵正方形的边长为m，
∴正方形的周长＝4m
∵长方形长为x，宽为y．
因此长方形的周长＝2（x+y）＝2x+2y．
由题意得：4m＝2x+2y，
∴x+y＝2m．
故答案为：4m，2x+2y，x+y＝2m．
（2）①当x＝4，y＝2时，m＝＝3，
∵xy＝8，m2＝9，
∴xy＜m2，
②当x＝1，y＝3时，m＝＝2，
∴xy＝3，m2＝4，
∴xy＜m2．
③当x＝y＝3时，m＝3，
xy＝m2＝9，
故答案为：①＜，②＜，③＝．
猜想验证：xy≤m2．
证明：∵m2﹣xy＝﹣xy＝﹣xy
＝≥0，
∴xy≤m2．
应用：∵xy≤m2，xy＝1，
∴m2≥1，
∴≥1，当且仅当x＝y时取“＝”．
∴x+y≥2．
∴当x＝y＝1时，x+y有最小值2．
［经验总结］本题考查完全平方公式的应用，找到x，y和m的关系是求解本题的关键．
考点13：二次函数综合题
1、如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］①错误．由图象可知当a＜x＜b时，y＞0．
②错误．当a＝﹣1时，b＝3
③错误．△MCE的周长的最小值为2+2．
④正确．设x1关于对称轴的对称点x1′，由题意推出x1＜1＜x1′＜x2，因为函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，所以y2＜y1．
［答案详解］解：①当a＜x＜b时，y＞0．故①错误．
②＝＝1，
∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误．
③当m＝2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，
∴E′（2，﹣3），
∴CE′＝2，
∴△MCE的周长的最小值为2+2，故③错误．
④设x1关于对称轴的对称点x1′，
∴x1′＝2﹣x1，
∵x1+x2＞2，
∴x2＞﹣x1+2，
∴x2＞x1′，
∵x1＜1＜x2，
∴x1＜1＜x1′＜x2，
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y2＜y1，∴④正确．
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题．
2、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
［思路分析］①正确．利用图中信息，求出AB，再利用勾股定理求出AC即可．
②正确．如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC sinC＝（14﹣2t），y＝ BQ PH＝ t （14﹣2t）＝﹣t2+t（4≤t≤7）．
③错误．当点P与A重合时，PQ的值最大．根据题意求得PQ的最大值．
④正确．分两种情形讨论求解即可．
［答案详解］解：如图1中，作AD⊥BC于D．
由题意AB＝4×2＝8cm，
在Rt△ABC中，BC＝10cm，AB＝8cm，
∴AC＝＝＝6cm，故①正确，
∵ BC AD＝ AB AC，
∴AD＝（cm），
由题意当点P运动到A时，S△BPQ＝（cm2），
∴×BQ×＝，
∴BQ＝4（cm），
∴点Q的运动速度为1cm/s，
当点P与A重合时，PQ的值最大，
∵BD＝＝（cm），
∴QD＝BD﹣BQ＝﹣4＝（cm），
∴PQ＝＝＝（cm），
∴PQ的最大值为，故③错误．
如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC sinC＝（14﹣2t），
∴y＝ BQ PH＝ t （14﹣2t）＝﹣t2+t（4≤t≤7）．故②正确，
如图2中，若△PQC与△ABC相似，点P只有在线段AC上，
如果＝，则△CPQ∽△CAB，
∴＝，
∴t＝．
如果＝时，△CPQ∽△CBA，
∴＝，
解得t＝﹣8不合题意．
综上所述，t＝s时，△PQC与△ABC相似．故④正确，
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，学会读懂图象信息解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3、已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的是 ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．
［思路分析］将m＝2，x＝2代入解析式可判定①，将x＝1代入解析式可得y＝0，可判断②，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而判断③，由m的取值范围可判断抛物线对称轴的位置，从而判断④．
［答案详解］解：当m＝2时，y＝x2﹣4x+3，
将x＝2代入y＝x2﹣4x+3得y＝4﹣8+3得y＝﹣1，
∴（2，﹣1）在抛物线上，①错误．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1＝x2﹣2x﹣mx+m+1＝x2﹣2x﹣m（x﹣1）+1，
∴当x＝1时，y＝1﹣2+1＝0，
∴抛物线经过定点（1，0），
∴②正确．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1+，
当m＞0时，1+＞1，
∴当x＞1+时，y随x增大而增大，③错误．
点A（﹣3，0），B（1，0）关于直线x＝﹣1对称，
当﹣4≤m＜0时，﹣1≤1+＜1，
∴抛物线对称轴在直线x＝﹣1与点B之间，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线与线段AB有2个交点，④正确．
故答案为：②④．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
考点14：抛物线与x轴的交点
1、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2，有下列结论：①c＜0；②4a+b＝0；③4a+c＞2b；④若y＞0，则﹣1＜x＜5；⑤关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等的实数根；⑥若M（3，y1）与N（4，y2）是此抛物线上两点，则y1＞y2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
［思路分析］根据对称轴为直线x＝2可判断②正确；将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可判断①；根据a＜0，抛物线图象经过点（﹣1，0），可知x＝﹣2，y＜0可判断③；根据图象可直接判断④和⑤；根据增减性可判断⑥．
［答案详解］解：根据题意对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
即4a+b＝0，
故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，
∵a＜0，
∴c＞0，
故①错误；
当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，
故③错误；
由对称得：抛物线与x轴交点为（﹣1，0），（5，0），
∴y＞0，则﹣1＜x＜5，
故④正确；
当y＝﹣1时，关于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不等的实数根，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等的实数根；
故⑤正确；
∵a＜0，4﹣2＞3﹣2，
∴y1＞y2．
故⑥正确．
综上，正确的结论是②④⑤⑥．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，增减性，对称轴，抛物线与x轴的交点，应数形结合、充分掌握二次函数各系数a、b、c的意义以及对图象的影响和对一元二次方程根个数的关系．
2、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点是（﹣2，3），与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间．下列四个结论：①abc＜0；②一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间；③点P1（﹣7，y1），P2（π，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④b2+2b＞4ac．其中正确的结论是 （填写序号）．
［思路分析］由题意可知抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＜0，c＜0，即可判断①④；根据二次函数的对称性即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③．
［答案详解］解：由题意可知抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，c＜0，
∵顶点坐标是（﹣2，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（﹣2，3），与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点P1（﹣7，y1）到对称轴的距离小于P2（π，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③错误；
∵a＜0，c＞0，b＜0，
∴b2＞0，﹣2b＞0，4ac＜0，
∴b2+2b＞4ac，故④正确；
故答案为：①②④．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3、抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
［思路分析］直接利用根的判别式得到△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，再利用二次函数的意义得到k﹣1≠0，然后解两不等式得到k的范围．
［答案详解］解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
考点15：图象法求一元二次方程的近似根
1、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
［思路分析］利用二次函数和一元二次方程的性质．
［答案详解］解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
［经验总结］本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
2、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：
①对称轴为直线x＝﹣2；
②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；
④0＜a＜1；
其中结论正确结论是 （填写序号）．
［思路分析］①用对称轴x＝﹣解答；
②判断纵坐标大小关系，只需要确定出横坐标与对称轴距离关系，当a＞0时，离对称轴越远纵坐标越大，反之越小；
③两根与对称轴距离关系；
④抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，即知道有两个不等根，即b ﹣4ac＞0，又知经过点（0，3）得知c＝3，又知4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，所以可解得＜a＜1．
［答案详解］解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意；
②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意；
③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意；
④，
解得＜a＜1，故④错误，不合题意．
故答案是：①③．
［经验总结］本题考查二次函数性质的运用，难点在于④，要根据题意，列出所有不等式，方可解得a的范围．读懂题意是有两个不等实根．
