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浙教版八上数学
第二章 特殊三角形章末复习
--------------探求最短路径
最短问题
两点之间，线段最短
垂线段最短
对称处理
平移处理
垂直处理
将军饮马-
造桥选址，
斜大于直
药
处理
处理
化折为直，必用翻折
斜大于直，垂直处理
1.如图：直线L1，L2表示一条河的两岸，且L1∥L2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处，才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，
与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，
CD就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形AA′CD为平行四边形，
AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，
由于河宽不变，CD即为桥．
L1
L2
A
B
A′
C
D
L1
L2
结论2:两条平行线间的距离处处相等
在一条直线上任取一点作另一条平行线的垂线，
这点与垂足之间的线段长度叫做平行线间的距离
结论1:两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长
造桥选址---------------------
平移处理
两点间线段最短
平移处理---------------
平行四边形------------
送线段到恰当位置
A1
B1
A2
B2
A3
B3
构造
2.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，求BP的最小值
A
B
C
P
P1
解：当BP1⊥AC时，BP1最短，
理由：斜大于直
D
过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∵AB＝AC＝5
×6=3
∴BD=
.
∴AD==4
面积算两次
×
×
×
×
6×4=5×
.
.
两点之间，线段最短
斜大于直
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，求△BDM周长的最小值
∴C△BDM最小＝（BM+MD）最小+BD＝AD+BD＝6+2＝8．
A
B
C
E
F
M
D
解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC AD＝ ×4×AD＝12，AD＝6cm，
.
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，AM＝BM，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
垂直平分线--------对称轴
两点间线段最短--------将军饮马模型
4．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝DC ，连接BD，△BCD 的面积为 ，，点E 是边AB 边上一动点，点P 在线段BD 上，连接PA，PE ，求PA+PE 的最小值．
.
A
B
C
D
P
E
．解：连接AC，∵AB＝BC＝4，AD＝DC ， ∴ BD垂直平分AC，
E1
┛
P1
∴点A与点C关于直线BD对称，过C作CE1⊥AB于E1交BD于P1，
则此时，P1A+P1E 1的值最小，且P1A+P1E 1的最小值＝CE1，
∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△BCD，∴AB CE1＝4CE1＝，∴CE1＝ ，
.
垂线段最短--------斜大于直
两点间线段最短
夹在两条平行线间的距离处处相等
同底等高的两个三角形面积相等
PA+PE 的最小值
5．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，求小虫爬到蜜糖处的最短距离
对称处理-------翻上来
化折为直，必用翻折
根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，
得PB==10，
。
解：把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，
6.如图所示，在△ABC中，AB=3,AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点G，点P为直线EF上一动点，求△ABP周长的最小值
解：∵EF垂直平分BC，∴点B、C关于EF对称，PB=PC，
∵AP+BP=AP+PC≥AC,
∴C△ABP=AB+AP+BP=3+AP+PC≥3+AC=3+4=7
A
B
C
D
E
F
G
P
口诀：线段垂直平分线，常向两端把线连
也可将图对折看，对称以后关系现
7.长方体共顶点的三条棱长如图所示,三只蚂蚁同时从点A出发,同速沿长方体表面爬行去点M处觅食,蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为A→B→M、A→C→M、A→D→M,若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径,通过计算说明哪只蚂蚁最先到达,哪只蚂蚁最后到达
解：如图：AM分别为甲、乙、丙三只蚂蚁所走的最短路径.
∵145<169<185,
∴蚂蚁甲最先到达,蚂蚁丙最后到达.
甲：AM2=82+92=145.
乙：AM2=52+122=169
丙:AM2=132+42=185.
甲：正中向上打开；
乙：左侧向上打开
丙：右侧展开
探求最短路径
最短问题
两点之间，线段最短
垂线段最短
对称处理
平移处理
垂直处理
将军饮马-
造桥选址，
斜大于直
药
处理
处理
化折为直，必用翻折
斜大于直，垂直处理探求最短-----化折为直，必用翻折+垂直处理你，斜大于直
1.如图：直线L1，L2表示一条河的两岸，且L1∥L2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处，才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，求△BDM周长的最小值
4．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝DC ，连接BD，△BCD 的面积为 ，点E是边AB边上一动点，点P在线段BD上，连接PA，PE，求PA+PE的最小值．
5．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，求小虫爬到蜜糖处的最短距离
6.如图所示，在△ABC中，AB=3,AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点G，点P为直线EF上一动点，求△ABP周长的最小值
7.长方体共顶点的三条棱长如图所示,三只蚂蚁同时从点A出发,同速沿长方体表面爬行去点M处觅食,蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为A→B→M、A→C→M、A→D→M,若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径,通过计算说明哪只蚂蚁最先到达,哪只蚂蚁最后到达
