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专题4.4 整式
模块一：知识清单
单项式：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。
注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。
单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。
多项式：几个单项式的和。
项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。
整式：单项式与多项式统称为整式。
注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 奉贤区期末）下列说法正确的是（ ）
A．a2+2a+32是三次三项式 B．的系数是4 C．的常数项是﹣3 D．0是单项式
【分析】直接利用多项式以及单项式的相关定义分析得出答案．
【解析】A、a2+2a+32是二次三项式，故此选项错误；
B、的系数是，故此选项错误；C、的常数项是，故此选项错误；
D、0是单项式，故此选项正确．故选：D．
【点评】此题主要考查了多项式和单项式，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2022 拱墅区校级期中）下列说法正确的个数有（ ）
①单项式的系数是，次数是3；②xy2的系数是0；③﹣a表示负数；④﹣x2y+2xy2是三次二项式；⑤是单项式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据单项式的定义对①②⑤进行判断；根据代数式的表示方法对③进行判断；根据多项式的定义对④进行判断；
【解析】单项式的系数是，次数是4，所以①错误；
xy2的系数是1，所以②错误；﹣a可以表示正数，也可以负数，还可能为0，所以③错误；
﹣x2y+2xy2是三次二项式，所以④正确；是单项式，所以⑤正确．故选：B．
【点评】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．也考查了单项式．
3.（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）在式子，，，，，0，其中单项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据单项式的判断：单个的数字、字母及数字与字母的乘积的形式，由此问题可求解．
【详解】解：在式子，，，，，0，其中单项式有，，0，共4个；故选C．
【点睛】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
4.（2022·黑龙江省八五四农场学校七年级期末）在下列代数式：ab，，ab2+b+1，+，x3+ x2－3中，多项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：是单项式，中的和都不是整式，所以不是多项式，
都是多项式，共有3个，故选：B．
【点睛】本题考查了多项式，熟记多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式）是解题关键．
5.（2022·湖北襄阳·七年级期末）下列各式：a2＋5，－3，a2－3a＋2，π，，，其中整式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据整式的定义单项式与多项式统称对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：a2+5，-3，a2－3a＋2，π是整式，，为分式，整式有4个．故选B．
【点睛】本题题主要考察整式的定义，掌握整式的定义是解题关键．
6．（2022 泰兴市期中）下列说法：①若n为任意有理数，则﹣n2+2总是负数；②一个有理数不是整数就是分数；③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0；④﹣3x2y，，6a都是单项式；⑤若干个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定；⑥若a＜0，则|a|＝﹣a．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据多项式、单项式、有理数的乘法和有理数的加法法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】①若n为任意有理数，则﹣n2+2总是负数，错误；②一个有理数不是整数就是分数，正确；
③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0，正确；④是多项式；
⑤若干个有理数（0除外）相乘，积的符号由负因数的个数确定；⑥若a＜0，则|a|＝﹣a，正确；
其中错误的有①④⑤，共3个；故选：C．
【点评】本题考查了多项式、单项式、有理数的乘法和有理数的加法则，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
7．（2022·浙江·七年级）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是3 B． 的次数是3 C．的系数是 D．的次数是2
【答案】C
【分析】分析各选项中的系数或者次数，即可得出正确选项；
【详解】解：A.的系数是，是数字，不符题意，
B.的次数是2，x，y指数都为1，不符题意，C.的系数是，符合题意；
D.的次数是3，不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的系数：单项式的系数是单项式字母前的数字因数，单项式的次数，单项式的次数是单项式所有字母指数的和，正确理解和运用该知识是解题的关键．
8．（2022·四川资阳·七年级期末）关于多项式，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1
C．四次项系数是7 D．按y的降幂排列为
【答案】C
【分析】直接利用多项式的有关定义分析得出答案．
【详解】解：A选项：多项式 ，是五次四项式，故此选项正确；
B选项：它的常数项是1，故此选项正确；
C选项：四次项的系数是－7，故此选项错误；
D选项：按y降幂排列为，故此选项正确；故选：C．
【点睛】此题主要考查了多项式的知识，正确把握相关定义是解题关键．
9．（2022 浙江模拟）某九年级学生复习了整式有关概念后，他用一个圆代表所有代数式，画了下列图形来表示整式，多项式，单项式的关系，正确的是（ ）
A． B．C．D．
【分析】根据单项式、多项式、整式、分式、代数式的概念，作出判断．
【解析】代数式包括整式和分式，整式包括多项式和单项式，故正确的是选项D，故选：D．
【点评】此题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的分类，注意整式和分式的区别．
10.（2022·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
【答案】C
【分析】根据四次三项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m的值．
【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式，
∴|m|=4，m-4≠0，∴m=-4，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022·浙江·七年级）单项式的系数是__________，次数是_____________．
【答案】 -3 3
【分析】根据单项式的系数和次数的定义得出即可．
【详解】解：单项式的系数是-3；次数是3 ．故答案为：-3；3
【点睛】本题考查了单项式的系数和次数，能熟记单项式的系数和次数的定义是解此题的关键．
12．（2022·广东·广州市第二中学七年级阶段练习）把多项式次数是_____；最高次项的系数是_____；常数项是_____．
【答案】 5 ﹣2 ﹣1
【分析】根据多项式中每个单项式都是该多项式的一个项，多项式中的各项包括它前面的符号，多项式中不含字母的项叫做常数项，以及次数最高项的次数就是这个多项式的次数进行判断即可．
【详解】解：由题意知，多项式次数是5；最高次项的系数是﹣2；常数项是﹣1．
故答案为：5；﹣2；﹣1．
【点睛】本题考查了多项式的次数与项．解题的关键在于明确多项式中次数与项的定义．
13．（2021·上海同济大学实验学校期末）在代数式、1、、、、、、、、，单项式有______个，多项式有______个．
【答案】 4 4
【分析】根据单项式与多项式的定义分析即可．
【详解】单项式：1， ，，共4个，
多项式：，，，共4个，，不是整式． 故答案为：4，4．
【点睛】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或衣蛾字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．
14．（2022·黑龙江·密山市八五七学校七年级期末）在式子，，，﹣，﹣x﹣5xy2，x，6xy+1，a2﹣b2 中，其中整式有_______个．
【答案】6
【分析】根据整式的定义进行分析判断即可.
【详解】根据整式的定义可知，上述各式中属于多项式的有：，﹣，﹣x﹣5xy2，x，6xy+1，a2﹣b2，共计6个 故答案为：6
【点睛】本题考查了整式的判断，熟知“整式的定义：多项式和单项式统称为整式”是解答本题的关键.
15.（2022·河南南阳·七年级期末）写出一个只含字母x、y，并且系数为负数的三次单项式 _____．（提示：只要写出一个即可）
【答案】-x2y（答案不唯一）
【分析】只要根据单项式的定义写出此类单项式即可，（答案不唯一）．
【详解】详解：只要写出的单项式只含有两个字母x、y，并且系数为负数未知数的指数和为3即可．
故答案为：-x2y，（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是单项式的定义及单项式的次数，属开放性题目，答案不唯一．
16.（2022 乾安县七年级期末）任意写出一个含有字母a，b的五次三项式，其中最高次项的系数为2： ．
【解题思路】直接利用多项式的次数与项数的定义分析得出答案．
【解答过程】解：由题意可得：2a2b3+ab+1（答案不唯一）．故答案为：2a2b3+ab+1（答案不唯一）．
17.（2021 南岗区校级月考）已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ．
【分析】根据单项式的次数的概念列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：由题意得，|m|+1+1＝5，m﹣3≠0，解得，m＝﹣3，故答案为：﹣3．
18．（2022 巩义市期末）已知多项式﹣πx2ym+1+xy2﹣4x3﹣8是五次多项式，单项式3x2ny6﹣m与该多项式的次数相同，则m＝ ，n＝ ．
【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解析】∵多项式﹣πx2ym+1+xy2﹣4x3﹣8是五次多项式，∴2+m+1＝5，解得：m＝2，
∵单项式3x2ny6﹣m与该多项式的次数相同，
∴2n+6﹣m＝2n+6﹣2＝5，解得：n=．故答案为：2，．
【点评】此题主要考查了单项式和多项式，正确掌握单项式的次数以及多项式的次数确定方法是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·成都市 ·七年级期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上：①；②-x；③；④10；⑤6xy+1；⑥；⑦m2n；⑧2x2-x-5；⑨a7；⑩
单项式：____________________________；
多项式：________________________；
整式：________________________；
【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨．
【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类．
【解析】解：单项式有：-x，10，m2n，a7；
多项式有：，，6xy+1，2x2-x-5；
整式有：，-x，，10，6xy+1，m2n，2x2-x-5，a7．
【点睛】本题主要考查了整式的定义，掌握单项式、多项式和整式的概念和关系是解答此题的关键，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有字母．
20．（2022·山东 ·七年级期中）已知整式．
（1）若它是关于的一次式，求的值并写出常数项；
（2）若它是关于的三次二项式，求的值并写出最高次项．
【答案】（1），常数项为-4；（2），最高次项为
【分析】（1）已知多项式是一次式，则x的最高次数是1，由此可得a-1=0，据此可得a的值，求出常数项的值即可；
（2）根据多项式是三次二项式，结合多项式的概念可得到a-1≠0且a+3=0，求解的a的值，再求出即可解答此题．
【解析】解：（1）若它是关于的一次式，则，
∴，常数项为；
（2）若它是关于的三次二项式，
则，，，
∴，所以最高次项为．
【点睛】本题考查多项式的知识，需要根据多项式次数和项数的定义来解答．
21．（2022·浙江 ·七年级期中）已知多项式
（1）把这个多项式按的降冥重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常规项．
【答案】（1）；（2）该多项式的次数为4，二次项是，常数项是．
【分析】（1）按照x的指数从大到小的顺序把各项重新排列即可；
（2）根据多项式的次数的定义找出次数最高的项即是该多项式的次数，再找出次数是2的项和不含字母的项即可得二次项和常数项．
【解析】（1）按的降幂排列为原式．
（2）∵中次数最高的项是-5x4，
∴该多项式的次数为4，它的二次项是，常数项是．
【点睛】本题考查多项式的定义，正确掌握多项式次数及各项的判定方法及多项式升幂、降幂排列方法是解题关键．
22．（2022·成都市 七年级期中）写出一个含有字母m、n的多项式，并满足下列条件：
（1）该多项式共有4项；（2）它的最高次项的数为4，且系数为；（3）常数项为3，并求当时，这个多项式的值．
【答案】，6
【分析】根据多项式的概念和已知条件写出多项式，把代入多项式，根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：这个多项式可以是，
当代入，原式==．
【点睛】本题考查的是多项式的概念和求代数式的值，掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键．
23．（2022·兰州市七年级期末）已知多项式是关于、的四次三项式．（1）求的值；（2）当，时，求此多项式的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值；（2）将x，y的值代入求出答案．
【详解】解：（1）∵多项式是关于、的四次三项式．
∴，，解得：；
（2）当，时，此多项式的值为：．
【点睛】本题主要考查了多项式以及多项式的求值，正确得出m的值是解题关键．
24．（2022·湖北·七年级期中）观察下列单项式：–x，3x2，–5x3，7x4，…–37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．
（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式．
【答案】见解析.
【分析】所有式子均为单项式，先观察数字因数，可得规律：（-1）n（2n-1），再观察字母因数，可得规律为：xn，据此依次求解即可得.
【解析】（1）这组单项式的系数依次为：–1，3，–5，7，…系数为奇数且奇次项为负数，故单项式的系数的符号是：（–1）n，绝对值规律是：2n–1；
（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数；
（3）第n个单项式是：（–1）n（2n–1）xn；
（4）第2016个单项式是4031x2016，第2017个单项式是–4033x2017．
【点睛】本题考查了规律题，解答此题的关键是根据所给的单项式找出其系数与次数的规律，再根据题意解答.
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专题4.4 整式
模块一：知识清单
单项式：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。
注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例：的次数为3次。多项式：几个单项式的和。
项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。
整式：单项式与多项式统称为整式。
注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 奉贤区期末）下列说法正确的是（ ）
A．a2+2a+32是三次三项式 B．的系数是4 C．的常数项是﹣3 D．0是单项式
2．（2022 拱墅区校级期中）下列说法正确的个数有（ ）
①单项式的系数是，次数是3；②xy2的系数是0；③﹣a表示负数；④﹣x2y+2xy2是三次二项式；⑤是单项式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）在式子，，，，，0，其中单项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.（2022·黑龙江省八五四农场学校七年级期末）在下列代数式：ab，，ab2+b+1，+，x3+ x2－3中，多项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5.（2022·湖北襄阳·七年级期末）下列各式：a2＋5，－3，a2－3a＋2，π，，，其中整式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2022 泰兴市期中）下列说法：①若n为任意有理数，则﹣n2+2总是负数；②一个有理数不是整数就是分数；③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0；④﹣3x2y，，6a都是单项式；⑤若干个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定；⑥若a＜0，则|a|＝﹣a．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·浙江·七年级）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是3 B． 的次数是3 C．的系数是 D．的次数是2
8．（2022·四川资阳·七年级期末）关于多项式，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1
C．四次项系数是7 D．按y的降幂排列为
9．（2022 浙江模拟）某九年级学生复习了整式有关概念后，他用一个圆代表所有代数式，画了下列图形来表示整式，多项式，单项式的关系，正确的是（ ）
A． B．C．D．
10.（2022·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022·浙江·七年级）单项式的系数是__________，次数是_____________．
12．（2022·广东·广州市第二中学七年级阶段练习）把多项式次数是_____；最高次项的系数是_____；常数项是_____．
13．（2021·上海同济大学实验学校期末）在代数式、1、、、、、、、、，单项式有______个，多项式有______个．
14．（2022·黑龙江·密山市八五七学校七年级期末）在式子，，，﹣，﹣x﹣5xy2，x，6xy+1，a2﹣b2 中，其中整式有_______个．
15.（2022·河南南阳·七年级期末）写出一个只含字母x、y，并且系数为负数的三次单项式 _____．（提示：只要写出一个即可）
16.（2022 乾安县七年级期末）任意写出一个含有字母a，b的五次三项式，其中最高次项的系数为2： ．
17.（2021 南岗区校级月考）已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ．
18．（2022 巩义市期末）已知多项式﹣πx2ym+1+xy2﹣4x3﹣8是五次多项式，单项式3x2ny6﹣m与该多项式的次数相同，则m＝ ，n＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·成都市 ·七年级期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上：①；②-x；③；④10；⑤6xy+1；⑥；⑦m2n；⑧2x2-x-5；⑨a7；⑩
单项式：____________________________；
多项式：________________________；
整式：________________________；
20．（2022·山东 ·七年级期中）已知整式．
（1）若它是关于的一次式，求的值并写出常数项；
（2）若它是关于的三次二项式，求的值并写出最高次项．
21．（2022·浙江 ·七年级期中）已知多项式
（1）把这个多项式按的降冥重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常规项．
22．（2022·成都市 七年级期中）写出一个含有字母m、n的多项式，并满足下列条件：
（1）该多项式共有4项；（2）它的最高次项的数为4，且系数为；（3）常数项为3，并求当时，这个多项式的值．
23．（2022·兰州市七年级期末）已知多项式是关于、的四次三项式．（1）求的值；（2）当，时，求此多项式的值．
24．（2022·湖北·七年级期中）观察下列单项式：–x，3x2，–5x3，7x4，…–37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．
（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式．
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