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专题4.7 代数式 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·福建泉州市·七年级期末）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，无系数
C．多项式是二次三项式 D．多项式是三次三项式
【答案】D
【分析】根据单项式的系数、次数和多项式的定义判断即可.
【详解】解：A. 单项式 的系数是 ，次数是3，不符合题意；
B. 单项式 m 的次数是1，系数是1，不符合题意；
C.多项式x+x2y2+3y 是四次三项式， 不符合题意；
D.多项式 2x2+xy2+3 是三次三项式，正确，符合题意.故答案为：D.
【点睛】本题考查的知识点是多项式及单项式的概念及其系数、次数问题，属于基础题目，熟记各知识点是解题的关键.
2．（2022·安徽合肥市·七年级期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列四个代数式：①；②；③；④其中是完全对称式的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②④ D．②③④
【答案】D
【分析】若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，加法、乘法具有交换律，据此逐项判断即可．
【详解】①把b、c两个字母交换，不一定等于，减法没有交换律，故①不是完全对称式；③把a、b两个字母交换，变为：，不一致，故③不是完全对称式； 在②；④三个代数式中，若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，故②④都是完全对称式，故选：C．
【点睛】本题考查代数式、完全对称式的含义及应用，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．（2022·浙江七年级期末）若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（ ）
A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式
C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式
【答案】B
【分析】利用整式的加减法则判断即可．
【详解】解：若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式，
则A-B一定是五次多项式或单项式．故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022·浙江七年级期中）若，则A与B的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判定大小关系
【答案】B
【分析】利用作差法进行比较即可．
【详解】解：∵A=3x2-2x+3，B=2x2-2x+1，
∴A-B=（3x2-2x+3）-（2x2-2x+1）=3x2-2x+3-2x2+2x-1=x2+2＞0，∴A＞B．故选：B．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
5．（2022·苏州市初一期中）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式．如：x3+3xy2+4xz2+2y3 是 3 次齐次多项式，若 ax+3b2﹣6ab3c2 是齐次多项式，则 x 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据齐次多项式的定义一个多项式的各项的次数都相同,得出关于m的方程,解方程即可求出x的值.
【解析】由题意,得,解得.所以C选项是正确的.
【点睛】本题考查了学生的阅读能力与知识的迁移能力.正确理解齐次多项式与单项式的次数的定义是解题的关键.
6．（2022·河南七年级期末）如图，直线上的四个点，，，分别代表四个小区，其中小区和小区相距，小区和小区相距，小区和小区相距，某公司的员工在小区有人，小区有人．小区有人，小区有人，现公司计划在，，，四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．小区 B．小区 C．小区 D．小区
【答案】B
【分析】分别列出停靠点设在不同小区时，所有员工步行路程总和的代数式，选出其中最小的那个．
【详解】解：若停靠点设在A小区，
则所有员工步行路程总和是：（米），
若停靠点设在B小区，则所有员工步行路程总和是：
（米），
若停靠点设在C小区，则所有员工步行路程总和是：
（米），
若停靠点设在D小区，则所有员工步行路程总和是：
（米），
其中是最小的，故停靠点应该设在B小区．故选：B．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意列出路程和的代数式，然后比较大小．
7．（2021.西安交大附中七年级期末）如图，观察表1，寻找规律，表1、表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中m为整数且，则 （ ）
表1
1 2 3 4 …
2 4 6 8 …
3 6 9 12 …
4 8 12 16 …
… … … … …
表2
12
15
a
表3
b
表4
18
c
35
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】只要找出截取表一的那部分，并找出其规律即可解．
【详解】解：表1中的规律可知：第x行第y列的数字为xy，（x，y为正整数），
表2截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18；
表3截取的是两行一列的两个数字：在第m行，第m列，
则上一行的数b在第（m-1）行第m列，∴b=m（m-1）=m2-m；
表4中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍，则c应是4的7倍，即c=28．
∴a+b+c=18+m2-m+28=m2-m+46，故选C．
【点睛】本题考查了数字的变化，认真观察表格，熟知各个数字之间的关系：第一列是1，2，3，…；第二列是对应第一列的2倍；第三列是对应第一列的3倍．
8．（2022·河北七年级期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成化简代数式，规则是：每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，再将结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据整式的加减法则去括号、移项、加括号、合并同类项逐一判断即可．
【详解】解：由老师到甲，甲接力应为：，故甲错误；
由甲到乙,乙接力应为：，故乙错误；
由乙到丙，丙接力应为：，故丙错误；
由丙到丁，丁接力应为: ，故丁正确；故选D．
【点睛】本题考查了整式加减法则去括号、移项、加括号、合并同类项；关键在于要正确的进行括号、移项、加括号、合并同类项，不要出现符号错误的情况．
9．（2020·江苏省初三二模）当时，代数式的值为2021，则当时，代数式的值为（ ）
A．2020 B．-2020 C．2019 D．-2019
【答案】D
【分析】先将x=1代入代数式中，得到p、q的关系式，再将x=-1代入即可解答．
【解析】将x=1代入代数式中，得：，
将x=-1代入代数式中，得：
=，故答案为：D．
【点睛】本题考查的是代数式求值，会将所得关系式适当变形是解答的关键．
10．（2022·重庆西南大学附中七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（ ）
A．55 B．220 C．285 D．385
【答案】A
【分析】“三角形数”可以写为：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n层“三角形数”为，再把n＝10代入计算即可．
【详解】解：∵“三角形数”可以写为：
第1层：1，
第2层：3＝1+2，
第3层：6＝1+2+3，
第4层：10＝1+2+3+4，
第5层：15＝1+2+3+4+5，
∴第n层“三角形数”为，
∴若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为＝55．故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及数字变化规律，得出第n层“三角形数”为是解答本题的关键．
11．（2022·浙江七年级期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除D、E外，其余3块都是正方形，若阴影E的周长为8，下列说法中正确的是（ ）
①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【分析】设正方形A的边长为a， 正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，表示出阴影E的长和宽，阴影D的长和宽，然后结合图形逐项分析即可．
【详解】设正方形A的边长为a， 正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x=a+b,y=b+c，阴影E的长为c，宽为a+b-c，阴影D的长为a，宽为b-a，
①∵阴影E的周长为8，∴2(c+a+b-c)=8，∴a+b=4，即x=4，故①正确；
②∵阴影D的周长为6，∴2(a+b-a)=6，∴b=3，
∵a+b=4，∴a=1，∴正方形A的面积为1，故②正确；
③∵大长方形的面积为24，∴xy=24，∵x=4，∴y=6，∴b+c=6，
假设三个正方形周长的和为24，则4a+4b+4c=24，∴a+b+c=6，
∴a=0，不合题意，故③错误；故选B．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，用a，b，c表示出x，y是解答本题的关键．
12．（2022·山东九年级三模）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
【答案】B
【分析】由题将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算．
【详解】∵，，，，
∴是新数列第50项，
∵，，，，∴是新数列第50项，，
∴，故选．
【点睛】本题考查根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2022·广西贺州市·七年级期末）现规定，则______．
【答案】-11
【分析】直接根据题意中所表示的计算方法进行计算即可；
【详解】∵
∴ 原式=
故答案为：-11．
【点睛】本题考查了整式的加减，正确理解题意并掌握整式的加减是解题的关键．
14．（2022·湖北七年级期末）历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为__________．
【答案】4
【分析】由得到，整体代入求出结果．
【详解】解：∵，∴，即，
∴．故答案是：4．
【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的思想．
15．（2022·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为
【答案】
【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可.
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为所求.最后一个小长方形的面积= 故
即
【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，通过数形结合看出前面所有小长方形的面积等于总面积减去最后一个空白的小长方形的面积是解答此题的关键.
16．（2022·祥云县七年级期末）如图所示，这是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为，则第次输出的结果是______．
【答案】1
【分析】将=输入，计算每次结果，根据结果的规律：奇数次的结果为1，偶数次的结果为6得到答案．
【详解】解：当=时，第一次输出的结果为36，第二次输出的结果为6，第三次输出的结果为1，
第四次输出的结果为6，第五次输出的结果为1，，
从第二次开始依次为6,1循环，即除第一次外，其他奇数次的结果为1，偶数次的结果为6，
∴第次输出的结果是1，故答案为：1．
【点睛】此题考查有理数的计算，正确理解运算程序正确计算是解题的关键．
17．（2022·浙江九年级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是 根。
【答案】70
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，将每行每列的火柴棒数进行总结，可得出：当有n层时，需要根火柴，从而验证选项即可确定正确答案．
【详解】解：观察图形可以看出：搭1个正方形，一层，需要根火柴棒；
搭3个正方形，两层，需要根火柴棒；
搭6个正方形，三层，需要根火柴棒；
搭10个正方形，四层，需要根火柴棒；
因此当有n层时，需要 根火柴棒．
当时，根火柴棒．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形变化的规律，用变量代替数字总结规律，最终再代入数字求解即可，难度中等．
18．（2022·江苏常州市九年级期末）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝_____．
【答案】22020﹣1
【分析】先令x＝1，再令x＝﹣1得出a0+a2+a4…+a2020=22021÷2，最后令x＝0，a0＝1计算即可
【详解】解：令x＝1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0+a1+a2+a3+…+a2021＝22021；①
令x＝﹣1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝0；②
∴①+②得：a0+a1+a2+a3+…+a2021+a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021=22021
2（a0+a2+a4…+a2020）=22021 a0+a2+a4…+a2020=22021÷2
令x＝0，∴a0＝1；∴a2+a4+…+a2018+a2020＝22021÷2﹣1＝22020﹣1，故答案为：22020﹣1．
【点睛】本题考查赋值法求二项式系数和的问题，正确使用赋值法是解题关键
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·云南楚雄·七年级期末）小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下：
(1)已知小辉同学的解法是错误的，则他开始出现错误是在第_________步．
(2)请给出正确的计算过程．
【答案】(1)一 (2)．
【分析】（1）根据去括号法则，可得他开始出现错误的步骤是第一步；
（2）根据去括号法则、合并同类项法则计算即可．
（1）解：小辉同学开始出现错误的步骤是第一步．故答案为：一；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查的是整式的加减，掌握去括号法则、合并同类项法则是解题的关键．
20．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）已知含字母x、y的多项式是：．
(1)化简此多项式；(2)小红取x、y互为倒数的一对数值代入化简的多项式中，恰好计算得多项式的值等于0，那么小红所取的字母y的值等于多少？(3)聪明的小刚从化简的多项式中发现，只要字母y取一个固定的数，无论字母x取何数，整式的值恒为一个不变的数，请你通过计算求出小刚所取的字母y的值．
【答案】(1)2xy4x8(2)(3)y=-2
【分析】（1）直接去括号进而合并同类项得出答案；
（2）利用倒数的定义结合多项式的值为零进而求解；
（3）根据题意得出而得出答案．
（1）解：
；
（2）解：，互为倒数，，解得：，故；
（3）解：∵原式=2y4x8，由题可知：2y40，解得：y=-2，∴当y=-2时，无论x取何数，整式的值恒为-8．
【点睛】本题考查了多项式的化简、整式的加减运算、倒数的概念，解题的关键是正确合并同类项．
21．（2022·江苏连云港·七年级阶段练习）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：如果a﹣b＞0，则a＞b；如果a﹣b＝0，则a＝b；如果a﹣b＜0，则a＜b．
(1)若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．
(2)若A＝2m2+m+4，B＝m2﹣3m﹣2，试比较A与B的大小关系．
【答案】(1)x＞y (2)A＞B
【分析】（1）先求出x-y，然后再比较与0的关系，即可得出结论；
（2）先求出A-B，然后再比较与0的关系，即可得出结论．
（1）
解：∵x﹣y＝2a2+3b﹣（a2+3b﹣1）＝a2+1＞0，即x﹣y＞0．
∴x＞y．
（2）
解：∵A＝2m2+m+4，B＝m2﹣3m﹣2，
∴A﹣B＝2m2+m+4﹣（m2﹣3m﹣2）
＝2m2+m+4﹣m2+3m+2
＝m2+4m+6
＝m2+4m+4+2
＝（m+2）2+2
∵（m+2）2≥0，
∴（m+2）2+2＞0，即，
∴A＞B．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，是解题的关键．
22.（2022·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析，
【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可；（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32， n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，和为(n+1)2；（3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果．
【详解】解：（1）1+2+3+ +20=（1+20）×20=21×10=210；故答案为：210；
（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32， ，n个数时和为n2．
①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案为：625；(n+1)2；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，
第一次将正方形分割为和两部分，第二次将正方形的分割为和两部分， ，以此类推，
第2020次分割后，剩余的面积为，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：
，∴，
左右两边同除以2得：．∴原式．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考察学生数与形相结合，难度不大，仔细观察规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考察学生的发散性思维．
23．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）于老师要安装自己家里的窗户．如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，其上部是三个大小相等扇形组成半圆形的窗框构成如图所示，下面是由两个大小相等的长方形窗框构成，窗户半圆部分及两个长方形部分都安装透明玻璃．（本题中取3，长度单位：米）．
(1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的代数式表示）
(2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含，的代数式表示）
(3)于老师想要按照图2的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗布，图2中窗帘下部分是四个大小相等的半圆形，已知铝合金每米150元，玻璃每平方米40元，窗布每平方米60元，当、时，于老师安装这样的一扇窗户需花多少钱？
【答案】(1)米
(2)平方米
(3)元
【分析】（1）结合图形，将所有窗框的长度（包括半圆部分）相加即可得；
（2）结合图形，求出大长方形的面积与半圆面积之和即可得；
（3）结合（1）（2）的结果，再求出安装窗布的面积，然后求出铝合金、玻璃、窗布三者的费用之和即可得．
（1）
解：
（米），
答：一扇这样窗户一共需要铝合金米．
（2）
解：（平方米），
答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米．
（3）
解：安装窗布的面积为（平方米），
则总费用为
（元），
将代入得：
（元），
答：于老师安装这样的一扇窗户需花元．
【点睛】本题考查了整式加减的应用以及求值，列出各代数式，并正确计算是解题关键．
24．（2022·重庆八中七年级期中）2021 年，某葡萄园中“黑美人”喜获丰收，总产量为 24000 千克，且有两种销售方式①运往市区销售；②市民亲自去生态农业园采摘购买，若运往市区销售每千克售价为 a 元，市民亲自去生态园采摘购买每千克售价为 b 元（b＜a），若小张将葡萄运往生态区销售平均每天售出 1000 千克．需要请 6 名工人，每人每天付工资 300 元．农用车运费及其他各项税费平均每天 400 元，若市民亲自去生态农业园采摘则不再产生其他费用．
（1）请用 a 或 b 分表示出两种不同方式出售完该批葡萄的收入若采用方式①收入 ；若采用方式②收入 ；
（2）由于 2021 年葡萄销售良好，小张计划 2022年加大种植葡萄面积，但是现金不够，小张于 2022 年 1 月在工商银行借了 18 万元贷款，贷款期为 5 年，从开始贷款的下一个月起以等额本金的方式偿还：每月还贷款=平均每月应还的贷款本金+月利息．月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率，贷款月利率是 0.5%．
①小张贷款后第一个月应还款额是多少元？
②假设贷款月利率不变，若小张在贷款后第 n（1≤n≤60，n 是正整数）个月的还款额为 y，请写出 y 与 n 之间的关系．
【答案】（1）()元，元；（2）①第一个月应还款额是元；②()
【分析】（1）按两种不同销售方式列式即可；
（2）①求得平均每月应还的贷款本金与月利息的和即可；
②同理求得平均每月应还的贷款本金与月利息的和即可．
【详解】（1）运往市区销售葡萄的收入是：
(元)，
亲自去生态园采摘葡萄的收入是：元，
故答案为：()元，元；
（2）①平均每月应还的贷款本金：(元)，
月利息是：(元)，
∴第一个月应还款额是：(元)；
答：第一个月应还款额是元；
②平均每月应还的贷款本金：(元)，
第个月的月利息是：(元)，
∴() ．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，正确理解并利用“每月还款数额=每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率“这些公式是解题关键．
25．（2022·四川成都·七年级期末）如图所示数表，由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题：
(1)第六排从左往右第1个数为______；第七排从左往右第1个数为_____；
(2)第a排第1个数可以表示为______；（用含a的式子表示）
(3)若第n排的一个数和第（n+1）排的两个连续自然数能够放入如图所示的等边三角形中，则称该三角形为“天府三角形”，里面三个数字之和称为该数字三角形的“天府和”．若第n排和第（n+1）排中总共有39个“天府三角形”，其中一个“天府三角形”的“天府和”为2371，则该“天府三角形”中的三个数字分别为多少？
【答案】(1)16，22
(2)a2-a+1
(3)764，803和804
【分析】（1）观察数据得到每排数的个数等于排数，则先计算出第六排和第七排前面共有的数字，然后得到答案；
（2）先计算出第a排前面共有a（a-1）个数，然后可得答案；
（3）根据“天府三角形”的定义得出n=39，再列方程可得答案．
(1)
解：∵第六排前面共有1+2+3+4+5=15个数，第七排前面共有1+2+3+4+5+6=21个数，
∴第六排从左往右第1个数为16；第七排从左往右第1个数为22；
故答案为：16，22；
(2)
∵第a排前面共有1+2+3+…+（a-1）=a（a-1），
∴第a排的第一个数字为a（a-1）+1=a2-a+1，
故答案为：a2-a+1；
(3)
根据“天府三角形”的定义可得，
第n排和第（n+1）排中总共有n个“天府三角形”，
所以n=39，
设第n排的数是x，第（n+1）排的两个数分别是x+39，x+40，
由题意得，x+（x+39）+（x+40）=2371，
解得x=764，
所以三个数分别是764，803和804．
【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
26．（2022·重庆南岸·七年级期末）如图1，是（n为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，各项的系数与图2中某行的数一一对应．
当时，，其中表示的是项的系数，是常数项．如，其中．所以，展开后的系数和为．也可令．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)写出去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列的等式；
(2)若，求的值；
(3)已知，其中t为常数．若，求的值．
【答案】(1)（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1(2)21(3)1024或-32
【分析】（1）由题意可则，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，即可求解；
（2）由（2x+1）4=16x4+8x3+4x2+2x+1，求解即可；
（3）求出t=±3，当t=3时，令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=45=1024；当t=-3时，令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=（-2）5=-32．
(1)解：由题意可得，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，
∴（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1；
(2)∵（2x+1）4=16x4+8x3+4x2+2x+1，
∴a4+a2+a0=16+4+1=21；
(3)∵a3=10t2=90，∴t=±3，
当t=3时，（x+3）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=45=1024；
当t=-3时，（x-3）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=（-2）5=-32；
综上所述：a5+a4+a3+a2+a1+a0的值为1024或-32．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的阅读材料，找到展开式各项系数的规律是解题的关键．
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专题4.7 代数式 章末检测
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·福建泉州市·七年级期末）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，无系数
C．多项式是二次三项式 D．多项式是三次三项式
2．（2022·安徽合肥市·七年级期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列四个代数式：①；②；③；④其中是完全对称式的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②④ D．②③④
3．（2022·浙江七年级期末）若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（ ）
A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式
C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式
4．（2022·浙江七年级期中）若，则A与B的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判定大小关系
5．（2022·苏州市初一期中）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式．如：x3+3xy2+4xz2+2y3 是 3 次齐次多项式，若 ax+3b2﹣6ab3c2 是齐次多项式，则 x 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
6．（2022·河南七年级期末）如图，直线上的四个点，，，分别代表四个小区，其中小区和小区相距，小区和小区相距，小区和小区相距，某公司的员工在小区有人，小区有人．小区有人，小区有人，现公司计划在，，，四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．小区 B．小区 C．小区 D．小区
7．（2021.西安交大附中七年级期末）如图，观察表1，寻找规律，表1、表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中m为整数且，则 （ ）
表1
1 2 3 4 …
2 4 6 8 …
3 6 9 12 …
4 8 12 16 …
… … … … …
表2
12
15
a
表3
b
表4
18
c
35
A． B． C． D．
8．（2022·河北七年级期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成化简代数式，规则是：每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，再将结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（2020·江苏省初三二模）当时，代数式的值为2021，则当时，代数式的值为（ ）
A．2020 B．-2020 C．2019 D．-2019
10．（2022·重庆西南大学附中七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（ ）
A．55 B．220 C．285 D．385
11．（2022·浙江七年级期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除D、E外，其余3块都是正方形，若阴影E的周长为8，下列说法中正确的是（ ）
①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
12．（2022·山东九年级三模）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2022·广西贺州市·七年级期末）现规定，则______．
14．（2022·湖北七年级期末）历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为__________．
15．（2022·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为
16．（2022·祥云县七年级期末）如图所示，这是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为，则第次输出的结果是______．
17．（2022·浙江九年级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是 根。
18．（2022·江苏常州市九年级期末）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝_____．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·云南楚雄·七年级期末）小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下：
(1)已知小辉同学的解法是错误的，则他开始出现错误是在第_________步．
(2)请给出正确的计算过程．
20．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）已知含字母x、y的多项式是：．
(1)化简此多项式；(2)小红取x、y互为倒数的一对数值代入化简的多项式中，恰好计算得多项式的值等于0，那么小红所取的字母y的值等于多少？(3)聪明的小刚从化简的多项式中发现，只要字母y取一个固定的数，无论字母x取何数，整式的值恒为一个不变的数，请你通过计算求出小刚所取的字母y的值．
21．（2022·江苏连云港·七年级阶段练习）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：如果a﹣b＞0，则a＞b；如果a﹣b＝0，则a＝b；如果a﹣b＜0，则a＜b．
(1)若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．
(2)若A＝2m2+m+4，B＝m2﹣3m﹣2，试比较A与B的大小关系．
22.（2022·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
23．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）于老师要安装自己家里的窗户．如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，其上部是三个大小相等扇形组成半圆形的窗框构成如图所示，下面是由两个大小相等的长方形窗框构成，窗户半圆部分及两个长方形部分都安装透明玻璃．（本题中取3，长度单位：米）．
(1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的代数式表示）
(2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含，的代数式表示）
(3)于老师想要按照图2的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗布，图2中窗帘下部分是四个大小相等的半圆形，已知铝合金每米150元，玻璃每平方米40元，窗布每平方米60元，当、时，于老师安装这样的一扇窗户需花多少钱？
24．（2022·重庆八中七年级期中）2021 年，某葡萄园中“黑美人”喜获丰收，总产量为 24000 千克，且有两种销售方式①运往市区销售；②市民亲自去生态农业园采摘购买，若运往市区销售每千克售价为 a 元，市民亲自去生态园采摘购买每千克售价为 b 元（b＜a），若小张将葡萄运往生态区销售平均每天售出 1000 千克．需要请 6 名工人，每人每天付工资 300 元．农用车运费及其他各项税费平均每天 400 元，若市民亲自去生态农业园采摘则不再产生其他费用．
（1）请用 a 或 b 分表示出两种不同方式出售完该批葡萄的收入若采用方式①收入 ；若采用方式②收入 ；
（2）由于 2021 年葡萄销售良好，小张计划 2022年加大种植葡萄面积，但是现金不够，小张于 2022 年 1 月在工商银行借了 18 万元贷款，贷款期为 5 年，从开始贷款的下一个月起以等额本金的方式偿还：每月还贷款=平均每月应还的贷款本金+月利息．月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率，贷款月利率是 0.5%．
①小张贷款后第一个月应还款额是多少元？
②假设贷款月利率不变，若小张在贷款后第 n（1≤n≤60，n 是正整数）个月的还款额为 y，请写出 y 与 n 之间的关系．
25．（2022·四川成都·七年级期末）如图所示数表，由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题：
(1)第六排从左往右第1个数为______；第七排从左往右第1个数为_____；
(2)第a排第1个数可以表示为______；（用含a的式子表示）
(3)若第n排的一个数和第（n+1）排的两个连续自然数能够放入如图所示的等边三角形中，则称该三角形为“天府三角形”，里面三个数字之和称为该数字三角形的“天府和”．若第n排和第（n+1）排中总共有39个“天府三角形”，其中一个“天府三角形”的“天府和”为2371，则该“天府三角形”中的三个数字分别为多少？
26．（2022·重庆南岸·七年级期末）如图1，是（n为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，各项的系数与图2中某行的数一一对应．
当时，，其中表示的是项的系数，是常数项．如，其中．所以，展开后的系数和为．也可令．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)写出去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列的等式；
(2)若，求的值；
(3)已知，其中t为常数．若，求的值．
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