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4.1 成比例线段
一、比例线段
1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。
2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。
3．比例的性质：
（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）
（2）合比性质：如果
如果
要点：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
二、黄金分割
1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
要点：
≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
图4－7
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
要点：
一条线段的黄金分割点有两个.
一、单选题
1．以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．2、3、4、5 B．2、3、4、6 C．1、2、3、4 D．1、4、9、16
【答案】B
【提示】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A. 3×4≠2×5，故选项不符合题意；
B. 3×4=6×2，故选项符合题意；
C. 1×4≠2×3，故选项不符合题意；
D. 1×16≠9×4，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．若，则=（ ）
A．3 B．-3
C． D．
【答案】A
【提示】根据已知可得a＝2b，然后代入所求的代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟记性质是解题的关键．
3．在比例尺为1∶100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（ ）
A．100km B．2000m C．10km D．20km
【答案】B
【提示】根据实际距离=图上距离÷比例尺列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：2÷=200000（cm）=2（km），
答：甲、乙两地的实际距离是2000m．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解题的关键，注意单位的换算．
4．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，若AB＝2，则BC＝（ ）
A． B． C．－1 D．
【答案】A
【提示】由黄金分割的定义求出AC的长，即可求解．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=2，
∴，
∴BC=AB-AC=3-，
故选：A．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
5．已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是（ ）
A．3.5 B．6 C． D．
【答案】C
【提示】根据题意列出比例式，计算即可求得答案
【解答】
（负值舍去）
故选C
【点睛】本题考查了成比例线段，比例中项的概念，理解比例的性质是解题的关键．比例式为 ，则内项 称为外项 和 的比例中项．
6．已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为（ ）
A． B．－ C． D．
【答案】D
【提示】根据黄金分割的定义即可解答．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍．
7．是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据黄金分割的特点即可求解．
【解答】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据得到是解答本题关键．
8．1、若，则分式 的值为（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．1
【答案】D
【提示】根据题意设，则x=2k，y=5k，z=7k，代入分式即可得答案.
【解答】解：设，
∴x=2k，y=5k，z=7k，
∴==1
故选：D.
【点睛】本题考查比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
9．如图，点C是线段AB的黄金分割点，（），下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解答】设AB为整体1，BC的长为x，则AC=1-x，
根据黄金分割定义，得，
∴，
所以B选项正确，不符合题意；
由，得：，
解得（不符合题意，舍去）．
∴，
所以A、D选项正确，不符合题意；
所以C选项错误，符合题意；
故选 C
【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题关键．
10．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案．
【解答】解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
．
所以线段的长度是，
故选：．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点；其中，并且线段的黄金分割点有两个．
二、填空题
11．若，则＝_____．
【答案】
【提示】根据，设，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵，设，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
12．在一张比例尺为的地图上，、两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是______千米．
【答案】3
【提示】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．
【解答】解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得
1：100000=3：x，
解得：x=300000，
300000厘米=3km．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，解题的关键是注意单位之间的换算．
13．已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB BP，则AP长为____．
【答案】
【提示】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，得出，代入数据即可得出的长．
【解答】解：是线段上的一点，且满足，
∴，
为线段的黄金分割点，且是较长线段，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；熟练掌握黄金分割点的定义以及黄金比为是解决本题的关键．
14．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______．
【答案】2
【提示】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积求解即可得出答案．
【解答】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴舍去，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若，则是的比例中项”是解本题的关键．
15．已知，则________．
【答案】
【提示】根据合比性质，可得答案．
【解答】解：
由合比性质，得
故答案为．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用了合比性质：．
16．若，则的值为_____．
【答案】-1或8
【提示】设=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据=k3即可得答案．
【解答】设=k，
∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，
∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），
∴（a+b+c）(2-k)=0，
当a+b+c=0时，即a+b=-c，
∴k===-1，
∴==k3=-1，
当a+b+c≠0时，则2-k=0，
解得：k=2，
∴==k3=8，
故答案为：-1或8
【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键．
17．已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __．
【答案】+##0.6875
【提示】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
【解答】解：设，则，，，
．
，，为非负实数，
，
解得：．
当时，取最大值，当时，取最小值．
，
．
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键．
18．已知三个数1，2，，请你添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数可以是______.
【答案】或或
【提示】根据题意要求的数和其余三个数可以构成比例式，考虑要根据比例式的定义进行求解；设这个数为x，分别考虑x＜1，1＜x＜2和x＞2这三种情况列出比例式；
【解答】可设所求数字为x（x≠0），只需从1、、2、x任选两个做比值，使其等于另外两个数的比值，求出x的值就可以解答此题．
令，可求出x=2；
令，得x=；
令得x=，
故答案为或或.
【点睛】本题重点考查比例的性质，解答本题的关键在于根据比例式的定义写出关系式.
三、解答题
19．已知a：b＝3：2，求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)-1
【提示】（1）根据已知条件设a∶b=3：2=k（k≠0），得出a=3k，b=2k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案；
（2）根据已知条件设a∶b=3：2=k（k≠0），得出a=3k，b=2k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案；
（1）
解：∵a：b＝3：2，
∴设a＝3k，b＝2k（k≠0），
；
（2）
解：∵a：b＝3：2，
∴设a＝3k，b＝2k（k≠0），
．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，较简单．
20．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
【答案】（1）；（2）
【提示】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．
【解答】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
21．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
【答案】
【提示】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化简求解即可．
【解答】∵x：y：z＝3：5：7，
∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，
∴
＝
＝
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．
22．在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？
【答案】75小时
【提示】先根据比例尺的定义求出实际距离，再根据时间=路程÷速度得出答案．
【解答】解：（厘米）
900000000厘米＝9000千米，
9000÷120＝75（小时），
答：从甲地开往乙地，需要75小时．
【点睛】本题主要考查了比例尺的知识，掌握定义是解题的关键．即比例尺＝图上距离÷实际距离．
23．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
【答案】（1）；（2）
【提示】（1）由c是a，b的比例中项，可得，由此求解即可；
（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，
∴，
∴；
（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．
24．如图，一张矩形纸片的长，宽，按照图中所示方式将它裁成矩形与矩形.若矩形与矩形的短边与长边之比相等，求的长.
【答案】的长为1或4或.
【提示】根据题意设未知数，分和两种情况进行讨论，求解即可.
【解答】解：设，
则.
应分两种情况进行讨论：
⑴当，
即时，解得或；
⑵当，即时，解得.
综上所述，的长为1或4或.
【点睛】此题考查成比例的线段，矩形的性质，解题关键在于掌握比例式两边的关系以及分情况讨论.
25．阅读理解：
如图①，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图②，在△ABC中，已知D是AB的黄金分割点．
(1)研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
【答案】(1)对．理由见解析；（2）三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．（3）直线EF也是△ABC的黄金分割线．
【提示】（1）根据黄金分割的定义得，再根据三角形面积公式得到，，所以，然后根据黄金直线的定义得直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）根据三角形中线的性质和三角形面积公式得到，而＜1，由此可根据黄金直线的定义判断三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；
（3）根据两平行线之间的距离定值，得到S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，则S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC，然后由得到，则可根据黄金直线的定义判断直线EF也是△ABC的黄金分割线．
【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
∵点D是AB的黄金分割点，
∴，
∵，，
∴，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD=BD，
∴，，
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；
（3）∵DF∥CE，
∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，
∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC，
∵，
∴，
∴直线EF是△ABC的黄金分割线．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
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4.1 成比例线段
一、比例线段
1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。
2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。
3．比例的性质：
（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）
（2）合比性质：如果
如果
要点：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
二、黄金分割
1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
要点：
≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
图4－7
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
要点：
一条线段的黄金分割点有两个.
一、单选题
1．以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．2、3、4、5 B．2、3、4、6 C．1、2、3、4 D．1、4、9、16
2．若，则=（ ）
A．3 B．-3
C． D．
3．在比例尺为1∶100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（ ）
A．100km B．2000m C．10km D．20km
4．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，若AB＝2，则BC＝（ ）
A． B． C．－1 D．
5．已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是（ ）
A．3.5 B．6 C． D．
6．已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为（ ）
A． B．－ C． D．
7．是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．1、若，则分式 的值为（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．1
9．如图，点C是线段AB的黄金分割点，（），下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若，则＝_____．
12．在一张比例尺为的地图上，、两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是______千米．
13．已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB BP，则AP长为____．
14．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______．
15．已知，则________．
16．若，则的值为_____．
17．已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __．
18．已知三个数1，2，，请你添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数可以是______.
三、解答题
19．已知a：b＝3：2，求：
(1)
(2)
20．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
21．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
22．在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？
23．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
24．如图，一张矩形纸片的长，宽，按照图中所示方式将它裁成矩形与矩形.若矩形与矩形的短边与长边之比相等，求的长.
25．阅读理解：
如图①，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图②，在△ABC中，已知D是AB的黄金分割点．
(1)研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
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