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4.2 由平行线截得的比例线段
一、平行线截线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立.
要点：上图的变式图形：分A型和X型；
A型 X型
则常用的比例式：依然成立.
二、把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法
1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.
依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式
∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，
∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
要点：
在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.
一、单选题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．
3．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，DE＝4，则DF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
4．如图，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与直线l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝2，BC＝3，DE＝1.6，则EF的长为( )
A．2.4 B．4 C． D．
7．如图，，下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
10．如图，点A，B的坐标分别为、，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，当最大时，M点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知中，D为边上一点，过D作，交于点E，若，，，则______．
12．已知中，分别是直线和上的点，若且，则_________．
13．已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，则_______．
14．如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF=____cm．
16．如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝_________．
17．如图，已知，，，则______.
18．如图，在中，，，点是边上一点，且，连接，并取的中点，连接并延长，交于点，则的长为________．
三、解答题
19．如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，，求的长．
20．如图，在中，D，E分别是和上的点，且．
（1）如果，，，，那么的长是多少？
（2）如果，，，那么的长是多少？
21．如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．
求证：DE∥BC
22．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．
23．已知：点D、E、F分别是等边△ABC三边上的三等分点，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R点，（如图所示），求△PQR的面积与△ABC面积的比值．
24．如图，△ABC中，于点D，E是AB上一点，连接DE，．
(1)求证；
(2)若，，求证；
(3)若，，则的值为______（用含m，k的式子表示）．
25．如图，在中，，，点为的中点，点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点出发后，过点作，交于点，连接．设点的运动时间为．
(1)用含的式子表示的长；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)当时（点和点，点和点是对应顶点），求的值；
(4)连接，当的某一个顶点在的某条边的垂直平分线上时，直接写出的值．
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4.2 由平行线截得的比例线段
一、平行线截线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立.
要点：上图的变式图形：分A型和X型；
A型 X型
则常用的比例式：依然成立.
二、把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法
1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.
依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式
∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，
∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
要点：
在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.
一、单选题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：，
，
即，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
2．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．
【答案】B
【提示】根据平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，据此可得结论．
【解答】解：∵，
∴根据平行线分线段成比例定理可得，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例运用，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，DE＝4，则DF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】D
【提示】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，又DE＝4，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝10，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．如图，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，，进而求解．
【解答】∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
5．如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据平行线分线段成比例逐项判断即可．
【解答】∵，
∴，，
所以A，D，不正确；C正确．
B中的线段不是对应线段，所以不正确.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分得的线段中，对应线段成比例是解题的关键．
6．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与直线l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝2，BC＝3，DE＝1.6，则EF的长为( )
A．2.4 B．4 C． D．
【答案】A
【提示】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．计算求值即可；
【解答】解：由题意得：AB∶BC=DE∶EF，
∴2∶3=1.6∶EF，
∴EF=3×1.6÷2=2.4，
故选： A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质；掌握定理是解题关键．
7．如图，，下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】根据平行线分线段成比例定理得到，，然后根据比例的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB//CD//EF，
∴，，
∴AC DF=BD CE；AC BF=BD AE；CE BF=AE DF．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
8．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可．
【解答】解：∵，交GA于点E，
∴，，，，
∴A，B，D正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．找准对应关系是解题的关键．
9．如图，在中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】过点D作交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是BD的中点，可得BE=EF，进而解答即可．
【解答】解：过点D作交BC于F，如图，
∵，
∴，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵，
∴，
∴CF=2EF，
∴BE:EC=BE:3BE=1:3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
10．如图，点A，B的坐标分别为、，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，当最大时，M点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据同圆的半径相等可知，点C在半径为1的上运动，取OD=OA，根据三角形的中位线定理知，点C在BD与的交点时，OM最小，在DB的延长线与的交点时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而确定中点M的坐标即可．
【解答】解：∵点C在坐标平面内，BC=1，
∴C在半径为1的上，
如图所示，取，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM为△ACD的中位线，
∴，
当OM最大时，即CD最大，
此时D，B，C三点共线，
∵，∠BOD=90°，
∴BD=2，
∴CD=2+1=3，
作CE⊥x轴于E点，
∵CE∥OB，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∵M是AC的中点，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等，确定OM最大时动点C的位置关系是解题关键．
二、填空题
11．已知中，D为边上一点，过D作，交于点E，若，，，则______．
【答案】
【提示】根据DE∥BC，得到，即可求出，然后求出CE的长即可.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AB=6， AD=2， AC=4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12．已知中，分别是直线和上的点，若且，则_________．
【答案】4或8
【提示】通过比例式，可以确定AE的长度，点E是直线AB上的点，没有限定E的位置，只限定AE的长度，以点A为圆心，AE长为半径的圆与直线AB的交点是点E位置，有两个，要分类求即可．
【解答】如图
∵AB=6，AC=9，AD=3，，
∴AE==2，
当E在AB上,
∴BE=AB-AE=6-2=4,
当E在AB延长线上，
BE=AB+AE=6+2=8,
则BE的长为4或8．
故答案为：4或8．
【点睛】本题考查比例式下的线段问题，用比例求出的线段只限定长度，要考虑线段的位置，要会分类计算是解题关键．
13．已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，则_______．
【答案】
【提示】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
14．如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ．
【答案】
【提示】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出，由GH∥CD，得出，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【解答】解：，
，
即①，
，
，
即②，
①②，
得，
，
，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF=____cm．
【答案】4
【提示】延长CF交AB于点H，连接DH．利用直角三角形斜边中线的性质求出CH，再根据三角形中位线定理推出DH∥AC，AC=2DH，可得，推出FG=2FH，由此即可解决问题；
【解答】解：延长CF交AB于点H，连接DH．
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴CH是△ABC的中线，
∵∠ACB=90°，
∴CH=AB=6cm，
∵BD=CD，BH=AH，
∴DH∥AC，AC=2DH，
∴，
∴CF=2FH，
∴CF=CH=4cm．
故答案为：4
【点睛】本题考查三角形的重心，直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识可解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝_________．
【答案】
【提示】由已知可得到GE是△ADF的中位线，从而根据平行线分线段成比例定理可求得的值．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵AE=EF=FC，
∴F是CE中点，
∴DF∥GE，
∴=．
故答案为．
17．如图，已知，，，则______.
【答案】
【提示】由，可得，由，可得，然后根据等量代换得，然后即可得到.
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为.
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是求出，注意等量代换和数形结合思想的应用．
18．如图，在中，，，点是边上一点，且，连接，并取的中点，连接并延长，交于点，则的长为________．
【答案】##
【提示】利用△ABC是直角三角形构造直角坐标系，过点D作DM⊥AC于M，过点D作DN⊥AB于N，利用图中各线段的长度，再结合一次函数、中点坐标公式可以求出图中各点的坐标，即可求出EF的长．
【解答】根据∠BAC=90°可知△ABC是直角三角形，则以直角△ABC的顶点A点为坐标原点O，以AC为x轴，以AB为y轴构造直角坐标系，过点D作DM⊥AC于M，过点D作DN⊥AB于N，如图，
由AB=AC=4，可知B点坐标为(4,0)，C点坐标为(0,4)，
则直线BC的解析式为，
∵BD=3CD，
∴4CD=BC，
∵DM⊥AC，DN⊥AB，
∴有，，
则有，即有：，
则可求得D点坐标为：(1,3)，
又∵E点为AD中点，
∴根据中点坐标公式又E点坐标为：，
则直线BE的解析式为：，
则易得F点坐标为：，
则EF的长度为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了运用直角坐标系求线段的长度的问题，设计根据点的坐标求解一次函数解析式、中点坐标公式、线段长度公式等知识，利用直角三角形的特点构建直角坐标系是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，，求的长．
【答案】．
【提示】由直线，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，，即可求得的长，则可求得答案．
【解答】解：，
，
，，，
，
解得：，
．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
20．如图，在中，D，E分别是和上的点，且．
（1）如果，，，，那么的长是多少？
（2）如果，，，那么的长是多少？
【答案】（1）；（2）．
【提示】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求；
（2）根据平行线分线段成比例定理得，然后利用比例性质求．
【解答】解（1），
，即，
；
（2），
，即，
．
【点睛】本题考查了比例的性质和平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，熟悉相关性质是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．
求证：DE∥BC
【答案】证明过程见解析
【提示】由FE∥CD，可得，由AD是线段AF与AB的比例中项，可得，进而可得，可得结论．
【解答】∵FE∥CD，
∴，
∵AD是线段AF与AB的比例中项，
∴，
∴，
∴DE∥BC．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，根据平行判断成比例线段是解题的关键．
22．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．
【答案】6，2.5
【提示】由平行线分线段成比例解答即可．
【解答】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB=3，AD=2，DE=4，
∴，
解得：BC=6，
∵l1∥l2∥l3，
∵AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，
∴，
∴，
解得：BF=2.5．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是由平行得到线段AB与已知条件中的线段之间的关系．
23．已知：点D、E、F分别是等边△ABC三边上的三等分点，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R点，（如图所示），求△PQR的面积与△ABC面积的比值．
【答案】S△PQR：S△ABC=1：7．
【提示】可作AG∥BC交BE延长线于点G，作DH∥AB交CF于点H，由平行线分线段成比例可得线段之间的比例关系，进而转化为三角形的面积关系，即可求解结论．
【解答】解：作AG∥BC交BE延长线于点G，作DH∥AB交CF于点H，
则得：
AG：BC=AE：EC=1：2，AG：BD=3：4，
又由于DH：BF=1：3，DH：AF=1：6，
所以DR：AR=1：6，DR：DA=1：7，
从而S△CDR=S△BFC=S△ABC，
同理可得S△BFQ= S△APE=S△ABC，
∵S△PQR＝S△BCE （S△BCF S△BFQ） （S△ACD S△APE S△CDR）＝S△ABC-（S△ABC S△ABC） （S△ABC S△ABC S△ABC）= S△ABC
因此S△PQR：S△ABC=1：7．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及三角形的性质和面积问题，能够熟练运用平行线的性质求解一些计算问题．
24．如图，△ABC中，于点D，E是AB上一点，连接DE，．
(1)求证；
(2)若，，求证；
(3)若，，则的值为______（用含m，k的式子表示）．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【提示】（1）由，得到，即，由，得＝2（90°－∠C），结论得证；
（2）在BD上取点F，使，则CF＝2CD，连接AF，过点B作AF的平行线与DE延长线交于点G．先证△AFC是等腰三角形，得，，再证，则，，进一步证得 ，得，则BE＝CF，结论得证；
（3）在BD上取点M，使DM＝DC，连接AM，过点E作EHAM与 BD交于点H．先证明△AMC是等腰三角形，得到∠MAC＝2∠CAD，∠AMC＝∠C，进一步得到∠MAC＝∠BDE，再证△DEH是等腰三角形，DE＝DH，由EHAM，，得到＝，得到，结合，进一步推导出DE＝，即可得到答案．
(1)
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴＝2（90°－∠C），
∴；
(2)
证明：如图1，在BD上取点F，使，则CF＝2CD，连接AF，过点B作AF的平行线与DE延长线交于点G．
∵，，
∴AD垂直平分CF，
∴，
∴△AFC是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠C＝∠GBD，
又∵，
∴（ASA），
∴，，
∴，
∵，，
∴∠C＝∠BEG，
∴，
∴，
∴BE＝CF，
∵，
∴．
(3)
解：如图2，在BD上取点M，使DM＝DC，连接AM，过点E作EHAM与 BD交于点H．
∵DM＝CD，，，
∴AD垂直平分MC，
∴AM＝AC，
∴△AMC是等腰三角形，
∴∠MAC＝2∠CAD，∠AMC＝∠C，
∵，
∴∠MAC＝∠BDE，
∵EHAM，
∴∠EHD＝∠AMC＝∠C，
∴∠EHD＋∠BDE＋∠HED＝180°，∠AMC＋∠MAC＋∠C＝180°，
∴∠HED＝∠C，
∴∠HED＝∠EHD，
∴△DEH是等腰三角形，
∴DE＝DH，
∵EHAM，，
∴，
∴，
∵，
∴BH＋HM＝BH＋kBH＝（k＋1）BH，BH＋HM＝BD－DM＝BD－CD＝mCD－CD＝（m-1）CD，
∴（k＋1）BH＝（m-1）CD，
∴BH＝，HM＝，
∴DE＝DH＝HM＋DM＝＋CD＝，
∴＝，
即＝
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键．
25．如图，在中，，，点为的中点，点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点出发后，过点作，交于点，连接．设点的运动时间为．
(1)用含的式子表示的长；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)当时（点和点，点和点是对应顶点），求的值；
(4)连接，当的某一个顶点在的某条边的垂直平分线上时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)或或或3
【提示】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据等边对等角，平行线的性质，等角对等边证明等腰三角形即可；
（3）根据全等三角形的性质可得，列出一元一次方程解方程求解即可；
（4）分四种情形，①当点C在DQ的垂直平分线上时，连接CD，过点D作DT⊥BC于T，过点作于点，连接，②当点A在DQ的垂直平分线上时，③当点C在PD的垂直平分线上时，④当点B在PD的垂直平分线上时，分别求解即可
（1）
（2）
是等腰三角形
（3）
即
解得
（4）
①当在的垂直平分线上时，
连接，过点作于点，过点作于点，连接，如图，
中，
为的中点，为的中点
，
，
即
解得
当点在的垂直平分线上时，如图，
此时，此时
③当在的垂直平分线上时，如图，
此时
④当点在的垂直平分线上时，，此时
综上所述，满足条件的的值为或或或3
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，分类讨论是解题的关键．
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