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3.2 不等式的基本性质
一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
一、单选题
1．已知，则下列各式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据不等式的性质，逐一判断各个选项即可．
【解答】解：A.当m＜0时，，故该选项不一定正确；
B. ，故该选项不一定正确；
C. 当时，，故该选项不一定正确；
D. ，故该选项一定正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
2．若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】分当y＞0时，当y＜0时，分别得到x，y的关系，进而即可得到答案．
【解答】解：当y＞0时，，则x＞y＞0，
当y＜0时，，则x＜y＜0，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键．
3．下面的几种推理正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若，则
【答案】B
【提示】根据不等式的性质逐项分析即可，不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】A. 若，，则，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若则，故该选项正确，符合题意；
C. 若则，故该选项不正确，不符合题意；
D. 若，则，故该选项不正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
4．以下说法中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞|b|，则a2＞b2
C．若a＞b，则 D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
【答案】B
【提示】根据不等式的性质和绝对值的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【解答】解：A．若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，即A选项不合题意，
B．|b|≥0，a＞|b|，则a＞0，即a2＞b2，即B选项符合题意，
C．若a＞b，a＞0，b＜0，则，如即C选项不合题意，
D．若a＞b，c＞d，则﹣c＜﹣d，则a﹣c和b﹣d大小无法判断，如a＝1，b＝﹣5，c＝﹣7，d＝﹣20，此时，a﹣c小于b﹣d，即D选项不合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，绝对值，正确掌握不等式的性质和绝对值的定义是解题的关键．
5．甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
【答案】A
【提示】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因．
【解答】解：根据题意得到5×＜3a+2b，
解得a＞b
故选：A．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．
6．若则a，b，-a，-b的大小顺序是（ ）
A．-a
【答案】B
【提示】由知异号，知，进而可知，<，则，即，利用不等式的性质得，则即可．
【解答】由知，异号，，则，<，，则，为此，
故选择：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质，会用商为负数，推出两数异号，会利用绝对值确定符号，会比较两个正数的大小，利用相反数比较负数的大小是解决问题额关键．
7．若，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】利用不等式的基本性质，分别求得x、x2及的取值范围，然后比较，即可做出选择．
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜x（不等式两边同时乘以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
0＜1＜（不等式两边同时除以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
∴x2＜x＜．
故选：C．
【点睛】考查了有理数大小比较，解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变．
8．已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据题意，确定的符号，进而根据不等式的性质即可求解．
【解答】，
，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【提示】如图（见解析），设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案．
【解答】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设，
在中，，即，
在中，，即，
所以，，
在中，，
所以，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
10．下列命题:
①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【提示】根据不等式的性质，逐个判断结果正确与否．
【解答】①错误，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；②正确，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号；③ 错误，因为乘以c2=0时；④ 错误，因为不知道a的值；⑤ 错误，则因此有一个正确．故选A
【点睛】本题主要考查不等式的性质，两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号．
二、填空题
11．用“>”“<”“=”填空：
（1）若，则a______；
（2）若，则_______0．
【答案】
【提示】（1）一个小于零的数乘以一个正数会越乘越小；
（2）两个小于零的数相乘结果大于零，再乘一个大于零的数结果仍然大于零．
【解答】（1）∵a<0，2>0
∴a>2a
（2）∵ab>0，c>0
∴abc>0
故答案为：> ；>
【点睛】本题考查有理数相乘的符号问题，掌握符号的运算规律是本题关键．
12．设，用“”或“”填空：
（1）________；
（2）________．
【答案】 ＞ ＞
【提示】由不等式的性质: 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：（1）∵
∴，
∴；
（2）∵
∴，
∴，
∴；
故答案为：＞；＞．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质；熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．
13．设，用适当的符号填空：
（1）______0；（2）______0；（3）______0．
【答案】 < > >
【提示】（1）根据a>b>0，进行解答即可得；
（2）根据a>b>0，得，即可得；
（3）根据a>b>0，得，即可得．
【解答】解：（1）∵a>b>0，
∴；
（2）∵a>b>0，
∴，
∴，
（3）∵a>b>0，
∴，
∴，
故答案为：（1）<，（2）>，（3）>．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
14．指出下列各题中不等式变形的依据：
（1）由得________；
（2）由，得________；
（3）由，得________；
（4）由，得________．
【答案】 不等式性质2 不等式性质1 不等式性质3 不等式性质1
【提示】根据不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；进行求解即可．
【解答】解：（1）由得依据是不等式的性质2；
（2）由，得依据是不等式的性质1；
（3）由，得依据是不等式的性质3；
（4）由，得依据是不等式的性质1．
故答案为：依据是不等式的性质2；依据是不等式的性质1；依据是不等式的性质3；依据是不等式的性质1．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质．
15．设、、、是四个正数，且满足下列条件：①，②，③，则、、、的大小关系是________．（用号连接）
【答案】
【提示】根据不等式的性质，由③可确定，结合条件②可得，根据条件①即可判断、、、的大小关系．
【解答】∵，
∴，
∵，a 、 b 、 c 、 d都是正数
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
16．若，则___．（填“”或“”）
【答案】
【提示】根据不等式的性质1进行分析．
【解答】解：，
在不等式两边同时加上a，不等式方向不变，
．
故答案是：.
【点睛】本题考查了不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
17．若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
【答案】
【提示】由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可．
【解答】，
,
,
同理可得,
又,
,
,
即．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．
18．已知两个整数a，b，有2a+3b=31，则ab的最大值是______．
【答案】40
【提示】由（2a-3b）2≥0变形ab≤（2a+3b）2，即可求得ab的最大值．
【解答】解：∵（2a-3b）2≥0，
∴（2a+3b）2-4（2a 3b）≥0，
∴（2a+3b）2≥4（2a 3b），
若ab取的最大值，则a、b都是正整数，
∴ab≤（2a+3b）2，
∴ab≤，
∵a，b是整数，
∴ab的最大值为40，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了不等式的性质及应用，主要考查学生的计算能力和思维转换能力，是基础题．
三、解答题
19．已知，下列不等式一定成立吗？
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）不成立；（2）不成立；（3）成立；（4）成立．
【提示】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可．
【解答】解：（1）∵
∴，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变；
不等式不成立；
（2）∵
∴，不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号方向不变；
不等式不成立；
（3）∵
∴，不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向改变；
不等式成立；
（4）∵
∴
∴
不等式成立
【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键．
20．用不等式表示下列数量之间的不等关系：
(1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加；
(2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【提示】（1）较去年有所增加，即比去年多的意思；
（2）由图可以得到放球的一边向下沉说明球的总重量比5g要大，即可得到答案.
【解答】解：（1）根据题意可知，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加，
则x＞480 ；
（2）观察图可知，三个乒乓球的质量大于5克的砝码，
则3x＞5.
【点睛】本题考查了不等式的定义，要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
21．若，试比较下列各式的大小并说明理由．
（1）与；（2）与．
【答案】（1）．理由见解析；（2）．理由见解析.
【提示】（1）先在x＜y的基础上，利用不等式性质2，同乘以3，不等号方向不变，再在此基础上，利用不等式性质1，同减去1，不等号方向不变，故3x-1＜3y-1；
（2）先在x＜y的基础上，利用不等式形式3，同乘以-，不等号方向改变，再在此基础上，利用不等式性质1，同加上6，不等号方向不变，故.
【解答】解：（1）．理由如下：
，
（不等式的性质2），
（不等式的性质1）．
（2）．理由如下：
，
（不等式的性质3），
（不等式的性质1）．
【点睛】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
22．已知，化简：．
【答案】．
【提示】先根据不等式的性质得出与的正负，再根据绝对值的性质、整式的加减法即可得．
【解答】因为，
所以，，
所以原式，
，
．
【点睛】本题考查了不等式的性质、绝对值的性质、整式的加减，掌握理解不等式的性质是解题关键．
23．将这四个数用“<”连接起来．
【答案】
【提示】观察这四个分数的分子与分母可发现，这四个分数可以化为同分子的分数，然后根据同分子的正分数，分母大的分数比较小来比较它们的大小即可．
【解答】解：，，，，
．
．
【点睛】此题考查了不等式的性质，解答本题时是借助不等式的两边同时加上同一个数，不等式的符号方向不变来比较有理数的大小的．
24．设，且，若，，，试比较M、N、P的大小．
【答案】
【提示】由a＋b＋c＝ 1可得b＋c＝ 1 a，所以，同理，，然后根据a、b、c的大小比较，，即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
同理可得，，
又，
，
，即．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．
25．若正数、、满足不等式组，试确定、、的大小关系．
【答案】
【提示】根据不等式的基本性质将三个不等式都变为a＋b＋c的取值范围，从而得出a、c的大小关系和b、c的大小关系，从而得出结论．
【解答】解：
①得
，④
②得
，⑤
③得
，⑥
由④，⑤得
，
所以
同理，由④，⑥得，
所以，，的大小关系为．
【点睛】此题考查的是解不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键．
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3.2 不等式的基本性质
一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
一、单选题
1．已知，则下列各式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下面的几种推理正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若，则
4．以下说法中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞|b|，则a2＞b2
C．若a＞b，则 D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
5．甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
6．若则a，b，-a，-b的大小顺序是（ ）
A．-a7．若，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
10．下列命题:
①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．用“>”“<”“=”填空：
（1）若，则a______；
（2）若，则_______0．
12．设，用“”或“”填空：
（1）________；
（2）________．
13．设，用适当的符号填空：
（1）______0；（2）______0；（3）______0．
14．指出下列各题中不等式变形的依据：
（1）由得________；
（2）由，得________；
（3）由，得________；
（4）由，得________．
15．设、、、是四个正数，且满足下列条件：①，②，③，则、、、的大小关系是________．（用号连接）
16．若，则___．（填“”或“”）
17．若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
18．已知两个整数a，b，有2a+3b=31，则ab的最大值是______．
三、解答题
19．已知，下列不等式一定成立吗？
（1）；（2）；（3）；（4）．
20．用不等式表示下列数量之间的不等关系：
(1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加；
(2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)．
21．若，试比较下列各式的大小并说明理由．
（1）与；（2）与．
22．已知，化简：．
23．将这四个数用“<”连接起来．
24．设，且，若，，，试比较M、N、P的大小．
25．若正数、、满足不等式组，试确定、、的大小关系．
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